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8. 如图，AB是$\odot O$的直径，与弦CD交于点P。已知$∠ APC=60°$，$\overset{\frown}{BD}=75°$，AB=8，求$\overset{\frown}{AC}$的长。
答案
连结BC。由 $\overset{\frown}{BD}=75°$,得$∠BCP=37.5°$,所以$∠ABC=∠APC-∠BCP=60°-37.5°=22.5°$。从而得$\overset{\frown}{AC}$所对圆心角为45°,$\odot O$的半径为4,$\overset{\frown}{AC}=π$。
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AC}$的长，需先确定$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数和圆的半径：①半径可由直径AB=8直接得到为4；②求圆心角的思路：先通过弧的度数与圆周角的关系，由$\overset{\frown}{BD}=75°$求出对应的圆周角∠BCP的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ABC的度数，最后根据圆周角定理得到$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角度数，代入弧长公式即可求解。
【解析】
解：连结BC。
1. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于弧度数的一半，已知$\overset{\frown}{BD}=75°$，可得$∠ BCP=\frac{1}{2}×75°=37.5°$。
2. $∠ APC$是$△ BPC$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，即$∠ APC=∠ ABC+∠ BCP$，已知$∠ APC=60°$，因此$∠ ABC=∠ APC-∠ BCP=60°-37.5°=22.5°$。
3. $∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$2×∠ ABC=2×22.5°=45°$。
4. 已知AB=8，因此$\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=4$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数），代入$n=45°$、$r=4$计算：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{45×π×4}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的基础综合题，解题核心是通过添加辅助线BC，将已知的弧的度数、角的条件与所求弧的圆心角关联起来，侧重对基础定理的应用考查，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AC}$的长，需先确定$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数和圆的半径：①半径可由直径AB=8直接得到为4；②求圆心角的思路：先通过弧的度数与圆周角的关系，由$\overset{\frown}{BD}=75°$求出对应的圆周角∠BCP的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ABC的度数，最后根据圆周角定理得到$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角度数，代入弧长公式即可求解。
【解析】
解：连结BC。
1. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于弧度数的一半，已知$\overset{\frown}{BD}=75°$，可得$∠ BCP=\frac{1}{2}×75°=37.5°$。
2. $∠ APC$是$△ BPC$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，即$∠ APC=∠ ABC+∠ BCP$，已知$∠ APC=60°$，因此$∠ ABC=∠ APC-∠ BCP=60°-37.5°=22.5°$。
3. $∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$2×∠ ABC=2×22.5°=45°$。
4. 已知AB=8，因此$\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=4$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数），代入$n=45°$、$r=4$计算：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{45×π×4}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的基础综合题，解题核心是通过添加辅助线BC，将已知的弧的度数、角的条件与所求弧的圆心角关联起来，侧重对基础定理的应用考查，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
9. 如图，从扇形AOB残料中，分别以O为圆心，OC，OE为半径切割两块曲边四边形ABDC，CDFE做成装饰品。已知AC=CE=10 cm，$\overset{\frown}{AB}$比$\overset{\frown}{CD}$长$\frac{10}{3}π$ cm，曲边四边形CDFE的周长是$(\frac{70}{3}π +20)$ cm，求∠AOB的度数及OA的长度。
答案
设$∠AOB$的度数为$n$,$OE=r$,则$OC=r+10$,$OA=r+20$。由题意,$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{CD}=\frac{n}{180}π×10=\frac{10}{3}π$,解得$n=60$,所以$∠AOB=60°$。因为曲边四边形CDFE的周长是$(\frac{70}{3}π+20)$ cm,所以$\frac{60}{180}πr+\frac{60}{180}π(r+10)+20=\frac{70}{3}π+20$,解得$r=30$,所以OA=50。
解析
【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题时可按以下思路思考：①回忆弧长公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径），本题中三个弧的圆心角都是$∠ AOB$，可设$∠ AOB$的度数为$n$，最小半径$OE=r$，根据线段长度关系依次表示出$OC=r+10$，$OA=r+20$；②根据$\overset{\frown}{AB}$比$\overset{\frown}{CD}$长$\frac{10}{3}π$的条件，利用弧长公式列方程，先求出圆心角$n$的度数；③曲边四边形$CDFE$的周长由$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{EF}$、$CE$、$DF$四部分组成，其中$CE=DF=10\mathrm{cm}$，结合已求出的圆心角度数，根据周长已知条件列方程求出$r$，最后计算$OA$的长度即可。
【解析】
设$∠ AOB$的度数为$n$，$OE=r\mathrm{cm}$，则$OC=(r+10)\mathrm{cm}$，$OA=(r+20)\mathrm{cm}$。
1. 求$∠ AOB$的度数：
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长度为$\frac{nπ· (r+20)}{180}$，$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{nπ· (r+10)}{180}$，由题意得：
$\frac{nπ· (r+20)}{180}-\frac{nπ· (r+10)}{180}=\frac{10}{3}π$
化简得：$\frac{10nπ}{180}=\frac{10}{3}π$，
两边同时约去$π$，解得$n=60$，即$∠ AOB=60°$。
2. 求$OA$的长度：
曲边四边形$CDFE$的周长为$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{EF}+CE+DF$，其中$CE=DF=10\mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{EF}$的长度为$\frac{60π r}{180}$，代入周长条件：
$\frac{60π (r+10)}{180}+\frac{60π r}{180}+10+10=\frac{70}{3}π +20$
化简得：$\frac{π(r+10)}{3}+\frac{π r}{3}+20=\frac{70}{3}π +20$，
两边减20，整理得：$\frac{2rπ +10π}{3}=\frac{70π}{3}$，
约去$π$，解得$r=30$，
因此$OA=r+20=30+20=50\mathrm{cm}$。
【答案】
$∠ AOB=60°$，$OA$的长度为$50\mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算公式、一元一次方程的应用、曲边图形周长计算
【点评】
本题是弧长公式与方程结合的典型应用题，解题的关键是明确同圆心角的弧长差与半径差的关系，同时要准确识别曲边四边形的周长组成部分，避免漏算直边长度。
【难度系数】
0.7
本题考查弧长公式的应用，解题时可按以下思路思考：①回忆弧长公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径），本题中三个弧的圆心角都是$∠ AOB$，可设$∠ AOB$的度数为$n$，最小半径$OE=r$，根据线段长度关系依次表示出$OC=r+10$，$OA=r+20$；②根据$\overset{\frown}{AB}$比$\overset{\frown}{CD}$长$\frac{10}{3}π$的条件，利用弧长公式列方程，先求出圆心角$n$的度数；③曲边四边形$CDFE$的周长由$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{EF}$、$CE$、$DF$四部分组成，其中$CE=DF=10\mathrm{cm}$，结合已求出的圆心角度数，根据周长已知条件列方程求出$r$，最后计算$OA$的长度即可。
【解析】
设$∠ AOB$的度数为$n$，$OE=r\mathrm{cm}$，则$OC=(r+10)\mathrm{cm}$，$OA=(r+20)\mathrm{cm}$。
1. 求$∠ AOB$的度数：
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长度为$\frac{nπ· (r+20)}{180}$，$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{nπ· (r+10)}{180}$，由题意得：
$\frac{nπ· (r+20)}{180}-\frac{nπ· (r+10)}{180}=\frac{10}{3}π$
化简得：$\frac{10nπ}{180}=\frac{10}{3}π$，
两边同时约去$π$，解得$n=60$，即$∠ AOB=60°$。
2. 求$OA$的长度：
曲边四边形$CDFE$的周长为$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{EF}+CE+DF$，其中$CE=DF=10\mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{EF}$的长度为$\frac{60π r}{180}$，代入周长条件：
$\frac{60π (r+10)}{180}+\frac{60π r}{180}+10+10=\frac{70}{3}π +20$
化简得：$\frac{π(r+10)}{3}+\frac{π r}{3}+20=\frac{70}{3}π +20$，
两边减20，整理得：$\frac{2rπ +10π}{3}=\frac{70π}{3}$，
约去$π$，解得$r=30$，
因此$OA=r+20=30+20=50\mathrm{cm}$。
【答案】
$∠ AOB=60°$，$OA$的长度为$50\mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算公式、一元一次方程的应用、曲边图形周长计算
【点评】
本题是弧长公式与方程结合的典型应用题，解题的关键是明确同圆心角的弧长差与半径差的关系，同时要准确识别曲边四边形的周长组成部分，避免漏算直边长度。
【难度系数】
0.7
