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1. 已知在半径为$R$的圆中，长为$l$的弧所对的圆心角度数为$n°$，则下列关系不正确的是（
A.$l=\frac{π n R}{180}$
B.$n=\frac{180 l}{π R}$
C.$R=\frac{180 l}{n π}$
D.$l=2n R$
D
）。A.$l=\frac{π n R}{180}$
B.$n=\frac{180 l}{π R}$
C.$R=\frac{180 l}{n π}$
D.$l=2n R$
答案
D
解析
【分析】解题的核心是掌握弧长公式的推导与变形：整个圆的圆心角为360°，周长为2πR，因此n°圆心角对应的弧长是圆周长的$\frac{n}{360}$，先推导出弧长基本公式，再对公式进行恒等变形，逐一验证每个选项即可选出不正确的选项。
【解析】首先推导弧长基本公式：
n°圆心角对应的弧长 $l = \frac{n}{360} × 2π R = \frac{π n R}{180}$
选项A的表达式与推导得到的弧长公式完全一致，因此A正确；
将弧长公式两边同时乘以180，再除以$π R$，可得$n = \frac{180l}{π R}$，与选项B一致，因此B正确；
将弧长公式两边同时乘以180，再除以$π n$，可得$R = \frac{180l}{nπ}$，与选项C一致，因此C正确；
选项D的$l=2nR$不符合弧长公式的推导结果，是错误的。
本题要求选出关系不正确的选项，故选D。
【答案】D
【知识点】弧长公式，等式变形
【点评】本题属于基础题型，重点考查对弧长公式的理解和变形应用，熟练掌握弧长公式的推导过程就能快速判断正误。
【难度系数】0.9
【解析】首先推导弧长基本公式：
n°圆心角对应的弧长 $l = \frac{n}{360} × 2π R = \frac{π n R}{180}$
选项A的表达式与推导得到的弧长公式完全一致，因此A正确；
将弧长公式两边同时乘以180，再除以$π R$，可得$n = \frac{180l}{π R}$，与选项B一致，因此B正确；
将弧长公式两边同时乘以180，再除以$π n$，可得$R = \frac{180l}{nπ}$，与选项C一致，因此C正确；
选项D的$l=2nR$不符合弧长公式的推导结果，是错误的。
本题要求选出关系不正确的选项，故选D。
【答案】D
【知识点】弧长公式，等式变形
【点评】本题属于基础题型，重点考查对弧长公式的理解和变形应用，熟练掌握弧长公式的推导过程就能快速判断正误。
【难度系数】0.9
2. (1) 已知圆的半径为4 cm，则120°的圆心角所对的弧长为
(2) 已知圆弧长为2π cm，弧的度数为40°，则弧所在圆的半径为
(3) 已知圆弧长为6π cm，弧所在圆的半径为6 cm，则弧所对圆周角的度数为
$\frac{8}{3}π$ cm
。(2) 已知圆弧长为2π cm，弧的度数为40°，则弧所在圆的半径为
9 cm
。(3) 已知圆弧长为6π cm，弧所在圆的半径为6 cm，则弧所对圆周角的度数为
90°
。答案
(1) $\frac{8}{3}π$ cm (2) 9 cm (3) 90°
解析
【分析】
本题考查弧长公式的应用及圆周角定理，解题核心是熟练掌握弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径），根据各小问已知条件选择公式的正用或变形求解即可：
(1) 已知圆心角度数和半径，直接代入弧长公式计算弧长；
(2) 已知弧长和圆心角度数，将弧长公式变形为$R=\frac{180l}{nπ}$代入求半径；
(3) 已知弧长和半径，先变形公式求对应圆心角，再根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”计算圆周角度数。
【解析】
弧长计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径。
(1) 已知$R=4\mathrm{cm}$，$n=120°$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×4}{180}=\frac{8}{3}π\ \mathrm{cm}$
(2) 已知$l=2π\ \mathrm{cm}$，$n=40°$，将公式变形为$R=\frac{180l}{nπ}$，代入得：
$R=\frac{180×2π}{40π}=9\ \mathrm{cm}$
(3) 已知$l=6π\ \mathrm{cm}$，$R=6\ \mathrm{cm}$，先将公式变形为$n=\frac{180l}{π R}$，求对应圆心角：
$n=\frac{180×6π}{π×6}=180°$
根据圆周角定理，同弧所对圆周角为圆心角的一半，故圆周角的度数为$180°÷2=90°$
【答案】
(1) $\frac{8}{3}π$ cm (2) 9 cm (3) $90°$
【知识点】
弧长计算公式，圆周角定理，公式变形应用
【点评】
本题属于弧长相关的基础题型，重点考查弧长公式的正用、逆用能力，解题时需注意第三问的易错点：不要将计算得到的圆心角度数直接当作圆周角填写，要牢记圆周角和圆心角的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题考查弧长公式的应用及圆周角定理，解题核心是熟练掌握弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径），根据各小问已知条件选择公式的正用或变形求解即可：
(1) 已知圆心角度数和半径，直接代入弧长公式计算弧长；
(2) 已知弧长和圆心角度数，将弧长公式变形为$R=\frac{180l}{nπ}$代入求半径；
(3) 已知弧长和半径，先变形公式求对应圆心角，再根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”计算圆周角度数。
【解析】
弧长计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径。
(1) 已知$R=4\mathrm{cm}$，$n=120°$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×4}{180}=\frac{8}{3}π\ \mathrm{cm}$
(2) 已知$l=2π\ \mathrm{cm}$，$n=40°$，将公式变形为$R=\frac{180l}{nπ}$，代入得：
$R=\frac{180×2π}{40π}=9\ \mathrm{cm}$
(3) 已知$l=6π\ \mathrm{cm}$，$R=6\ \mathrm{cm}$，先将公式变形为$n=\frac{180l}{π R}$，求对应圆心角：
$n=\frac{180×6π}{π×6}=180°$
根据圆周角定理，同弧所对圆周角为圆心角的一半，故圆周角的度数为$180°÷2=90°$
【答案】
(1) $\frac{8}{3}π$ cm (2) 9 cm (3) $90°$
【知识点】
弧长计算公式，圆周角定理，公式变形应用
【点评】
本题属于弧长相关的基础题型，重点考查弧长公式的正用、逆用能力，解题时需注意第三问的易错点：不要将计算得到的圆心角度数直接当作圆周角填写，要牢记圆周角和圆心角的数量关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$的半径为1，AB是$\odot O$的一条弦，$∠ AOB=90°$。将$△ OAB$绕点A逆时针旋转，当点O的对应点$O'$第一次落在$\odot O$上时，点B运动的路径长是
$\frac{\sqrt{2}}{3}π$
。（结果保留π）答案
$\frac{\sqrt{2}}{3}π$
解析
【分析】
要求点B运动的路径长，首先明确点B的运动路径是绕旋转中心A形成的一段圆弧，因此需要确定三个关键条件：旋转半径（即AB的长度）、旋转角的度数，再结合弧长公式计算即可。首先连接OO'，利用圆的半径相等和旋转的性质可证△AOO'是等边三角形，得到旋转角的度数；再根据等腰直角△AOB的边长关系求出AB的长度，最后代入弧长公式求解。
【解析】
1. 连接$OO'$
∵$\odot O$的半径为1，
∴$OA=OO'=1$
由旋转的性质可知$O'A=OA=1$
∴$OA=O'A=OO'=1$，即$△ AOO'$是等边三角形
∴$∠ OAO'=60°$，即本次旋转的旋转角为$60°$
2. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=OB=1$，$∠ AOB=90°$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
3. 点B运动的路径是圆心为A，半径为AB，圆心角等于旋转角$60°$的圆弧
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆弧半径），代入$n=60$，$r=\sqrt{2}$得：
$l=\frac{60×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{3}π$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{3}π$
【知识点】
旋转的性质，弧长计算，等边三角形的判定
【点评】
本题是几何综合类常考题，结合了旋转、等边三角形、勾股定理、弧长计算等多个知识点，解题的核心是准确找到点B运动路径的圆心角和旋转半径。
【难度系数】
0.6
要求点B运动的路径长，首先明确点B的运动路径是绕旋转中心A形成的一段圆弧，因此需要确定三个关键条件：旋转半径（即AB的长度）、旋转角的度数，再结合弧长公式计算即可。首先连接OO'，利用圆的半径相等和旋转的性质可证△AOO'是等边三角形，得到旋转角的度数；再根据等腰直角△AOB的边长关系求出AB的长度，最后代入弧长公式求解。
【解析】
1. 连接$OO'$
∵$\odot O$的半径为1，
∴$OA=OO'=1$
由旋转的性质可知$O'A=OA=1$
∴$OA=O'A=OO'=1$，即$△ AOO'$是等边三角形
∴$∠ OAO'=60°$，即本次旋转的旋转角为$60°$
2. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=OB=1$，$∠ AOB=90°$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
3. 点B运动的路径是圆心为A，半径为AB，圆心角等于旋转角$60°$的圆弧
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆弧半径），代入$n=60$，$r=\sqrt{2}$得：
$l=\frac{60×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{3}π$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{3}π$
【知识点】
旋转的性质，弧长计算，等边三角形的判定
【点评】
本题是几何综合类常考题，结合了旋转、等边三角形、勾股定理、弧长计算等多个知识点，解题的核心是准确找到点B运动路径的圆心角和旋转半径。
【难度系数】
0.6
4. 如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的。弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧。若正三角形ABC的边长为2 cm，求弧三角形的周长。
答案
$2π$ cm
解析
【分析】
要求弧三角形的周长，首先观察图形构成：该周长由3段长度相等的圆弧组成。结合正三角形的性质，正三角形每个内角为60°，每段弧分别以正三角形的顶点为圆心、边长为半径绘制，因此每段弧的圆心角为60°、半径等于正三角形的边长2cm。我们可以先利用弧长公式计算1段弧的长度，再乘3得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是正三角形，边长为2cm
∴正三角形的每个内角均为60°，即每段弧对应的圆心角$n=60°$，弧的半径$r=2\mathrm{cm}$
根据弧长公式$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$，可得1段弧的长度为：
$l_1=\frac{60×π×2}{180}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}$
弧三角形的周长为3段等弧的长度和：
$C=3× l_1=3×\frac{2π}{3}=2π\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2π$ cm
【知识点】
1. 正三角形的性质
2. 弧长计算
【点评】
本题属于不规则图形周长计算的基础题，解题核心是将未知的弧三角形周长拆解为3段等长的圆弧，结合正三角形性质确定弧的圆心角和半径，再套用弧长公式即可求解，解题时需注意不要把正三角形的边长计入周长。
【难度系数】
0.7
要求弧三角形的周长，首先观察图形构成：该周长由3段长度相等的圆弧组成。结合正三角形的性质，正三角形每个内角为60°，每段弧分别以正三角形的顶点为圆心、边长为半径绘制，因此每段弧的圆心角为60°、半径等于正三角形的边长2cm。我们可以先利用弧长公式计算1段弧的长度，再乘3得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是正三角形，边长为2cm
∴正三角形的每个内角均为60°，即每段弧对应的圆心角$n=60°$，弧的半径$r=2\mathrm{cm}$
根据弧长公式$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$，可得1段弧的长度为：
$l_1=\frac{60×π×2}{180}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}$
弧三角形的周长为3段等弧的长度和：
$C=3× l_1=3×\frac{2π}{3}=2π\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2π$ cm
【知识点】
1. 正三角形的性质
2. 弧长计算
【点评】
本题属于不规则图形周长计算的基础题，解题核心是将未知的弧三角形周长拆解为3段等长的圆弧，结合正三角形性质确定弧的圆心角和半径，再套用弧长公式即可求解，解题时需注意不要把正三角形的边长计入周长。
【难度系数】
0.7
