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8. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，BA与CD的延长线交于点E，BC与AD的延长线交于点F。若$∠ E+∠ F=74°$，求$∠ B$的度数。
答案
8. 因为∠BAF+∠BCE=180°,∠BCE+∠ECF=180°,所以∠BAF=∠ECF=∠B+∠E。因为∠B+∠F+∠BAF=180°,所以2∠B+∠E+∠F=180°。因为∠E+∠F=74°,所以∠B=53°。
解析
【分析】
解题时首先利用圆内接四边形的对角互补性质，结合平角定义推导得到角的等量关系，再借助三角形外角的性质建立∠ECF与∠B、∠E的关系，最后结合三角形内角和定理，将已知的∠E+∠F=74°代入推导的等式，即可求出∠B的度数。具体思考路径：第一步由圆内接四边形性质得对角互补，推出∠BAF=∠ECF；第二步由三角形外角性质得∠ECF=∠B+∠E，得到∠BAF与∠B、∠E的关系；第三步在△ABF中应用内角和定理，替换∠BAF后得到含待求角和已知条件的等式，代入计算即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BAD + ∠BAF = 180°，∠BCD + ∠ECF = 180°，
∴ ∠BAF = ∠ECF，
∵ ∠ECF是△BCE的外角，
∴ ∠ECF = ∠B + ∠E，
∴ ∠BAF = ∠B + ∠E，
在△ABF中，根据三角形内角和定理有$∠ B + ∠ F + ∠ BAF = 180°$，
将$∠ BAF = ∠ B + ∠ E$代入上式得：
$∠ B + ∠ F + ∠ B + ∠ E = 180°$，即$2∠ B + (∠ E + ∠ F) = 180°$，
∵ $∠ E + ∠ F = 74°$，
∴ $2∠ B + 74° = 180°$，
解得$∠ B = 53°$。
【答案】
$\boxed{53°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角的等量代换建立待求角和已知条件的关联，熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆内接四边形的对角互补性质，结合平角定义推导得到角的等量关系，再借助三角形外角的性质建立∠ECF与∠B、∠E的关系，最后结合三角形内角和定理，将已知的∠E+∠F=74°代入推导的等式，即可求出∠B的度数。具体思考路径：第一步由圆内接四边形性质得对角互补，推出∠BAF=∠ECF；第二步由三角形外角性质得∠ECF=∠B+∠E，得到∠BAF与∠B、∠E的关系；第三步在△ABF中应用内角和定理，替换∠BAF后得到含待求角和已知条件的等式，代入计算即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BAD + ∠BAF = 180°，∠BCD + ∠ECF = 180°，
∴ ∠BAF = ∠ECF，
∵ ∠ECF是△BCE的外角，
∴ ∠ECF = ∠B + ∠E，
∴ ∠BAF = ∠B + ∠E，
在△ABF中，根据三角形内角和定理有$∠ B + ∠ F + ∠ BAF = 180°$，
将$∠ BAF = ∠ B + ∠ E$代入上式得：
$∠ B + ∠ F + ∠ B + ∠ E = 180°$，即$2∠ B + (∠ E + ∠ F) = 180°$，
∵ $∠ E + ∠ F = 74°$，
∴ $2∠ B + 74° = 180°$，
解得$∠ B = 53°$。
【答案】
$\boxed{53°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角的等量代换建立待求角和已知条件的关联，熟练掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$\odot O$为正方形$ABCD$的外接圆，点$E$在$\overset{\frown}{CD}$上（不与点$C$，$D$重合），连结$AE$，$CE$，$DE$。
（1）求$∠ AED$，$∠ CED$的度数。
（2）猜想$AE$，$CE$，$DE$三者之间的数量关系，并证明你的猜想。
（1）求$∠ AED$，$∠ CED$的度数。
（2）猜想$AE$，$CE$，$DE$三者之间的数量关系，并证明你的猜想。
答案
9. （1）因为AB=BC=CD=DA,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}=90°$,所以∠AED=45°,∠CED=135°。
（2）AE=CE+$\sqrt{2} DE$。理由如下:过点D作DF⊥DE,交AE于点F。因为∠ADF+∠CDF=90°,∠CDF+∠CDE=90°,所以∠ADF=∠CDE。因为∠DAE=∠DCE,AD=CD,所以△ADF≌△CDE,所以DE=DF,CE=AF。因为△DEF是等腰直角三角形,所以EF=$\sqrt{2} DE$。所以AE=CE+$\sqrt{2} DE$。
（2）AE=CE+$\sqrt{2} DE$。理由如下:过点D作DF⊥DE,交AE于点F。因为∠ADF+∠CDF=90°,∠CDF+∠CDE=90°,所以∠ADF=∠CDE。因为∠DAE=∠DCE,AD=CD,所以△ADF≌△CDE,所以DE=DF,CE=AF。因为△DEF是等腰直角三角形,所以EF=$\sqrt{2} DE$。所以AE=CE+$\sqrt{2} DE$。
解析
【分析】
（1）求解角度的思路：首先根据正方形四边相等的性质，结合同圆中等弦对等弧，可得正方形四条边对应的弧度数相等，均为360°÷4=90°；再利用圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠AED对应弧AD，可直接求出∠AED的度数；∠CED对应优弧CBD，优弧CBD的度数为360°减去劣弧CD的度数，代入即可求出∠CED的度数。
（2）探究线段数量关系的思路：对于线段和差类结论，通常采用截长补短法推导。结合∠AED=45°的结论，过D作DE的垂线交AE于点F，先构造等腰直角△DEF，得到EF=√2 DE；再通过角的等量代换得到相等角，结合正方形边相等、同弧所对圆周角相等的性质，证明△ADF和△CDE全等，得到AF=CE，最后通过线段和AE=AF+EF即可推导出三者关系。
【解析】
（1）解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，
∵圆周总度数为360°，
∴每段弧的度数为$360°÷4=90°$，
根据圆周角定理，∠AED是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∠CED是优弧$\overset{\frown}{CBD}$所对的圆周角，优弧$\overset{\frown}{CBD}$的度数为$360°-90°=270°$，
∴$∠ CED=\frac{1}{2}×270°=135°$。
（2）猜想：$AE=CE+\sqrt{2}DE$，证明如下：
过点D作$DF⊥ DE$，交AE于点F，
∴$∠ EDF=90°$，
∵$∠ ADC=90°$，即$∠ ADF+∠ CDF=90°$，
又$∠ CDE+∠ CDF=∠ EDF=90°$，
∴$∠ ADF=∠ CDE$，
∵∠DAF和∠DCE都是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，
∴$∠ DAF=∠ DCE$，
又
∵AD=CD，
∴$△ ADF≌△ CDE$（ASA），
∴$AF=CE$，$DF=DE$，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$，
∵$AE=AF+EF$，
∴$AE=CE+\sqrt{2}DE$。
【答案】
（1）$∠ AED=45°$，$∠ CED=135°$；
（2）$AE=CE+\sqrt{2}DE$，证明过程如上。
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的综合题，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合截长补短的思想构造辅助线，通过全等转化线段，是圆内线段关系探究的典型题型，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的构造方法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
（1）求解角度的思路：首先根据正方形四边相等的性质，结合同圆中等弦对等弧，可得正方形四条边对应的弧度数相等，均为360°÷4=90°；再利用圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠AED对应弧AD，可直接求出∠AED的度数；∠CED对应优弧CBD，优弧CBD的度数为360°减去劣弧CD的度数，代入即可求出∠CED的度数。
（2）探究线段数量关系的思路：对于线段和差类结论，通常采用截长补短法推导。结合∠AED=45°的结论，过D作DE的垂线交AE于点F，先构造等腰直角△DEF，得到EF=√2 DE；再通过角的等量代换得到相等角，结合正方形边相等、同弧所对圆周角相等的性质，证明△ADF和△CDE全等，得到AF=CE，最后通过线段和AE=AF+EF即可推导出三者关系。
【解析】
（1）解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，
∵圆周总度数为360°，
∴每段弧的度数为$360°÷4=90°$，
根据圆周角定理，∠AED是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∠CED是优弧$\overset{\frown}{CBD}$所对的圆周角，优弧$\overset{\frown}{CBD}$的度数为$360°-90°=270°$，
∴$∠ CED=\frac{1}{2}×270°=135°$。
（2）猜想：$AE=CE+\sqrt{2}DE$，证明如下：
过点D作$DF⊥ DE$，交AE于点F，
∴$∠ EDF=90°$，
∵$∠ ADC=90°$，即$∠ ADF+∠ CDF=90°$，
又$∠ CDE+∠ CDF=∠ EDF=90°$，
∴$∠ ADF=∠ CDE$，
∵∠DAF和∠DCE都是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，
∴$∠ DAF=∠ DCE$，
又
∵AD=CD，
∴$△ ADF≌△ CDE$（ASA），
∴$AF=CE$，$DF=DE$，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$，
∵$AE=AF+EF$，
∴$AE=CE+\sqrt{2}DE$。
【答案】
（1）$∠ AED=45°$，$∠ CED=135°$；
（2）$AE=CE+\sqrt{2}DE$，证明过程如上。
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的综合题，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合截长补短的思想构造辅助线，通过全等转化线段，是圆内线段关系探究的典型题型，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的构造方法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
