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5. 如图，AB，AC是$\odot O$的两条弦，且$AB=AC$。D是$\overset{\frown}{BC}$上一点，P是$\overset{\frown}{AC}$上一点。若$∠ BDC=150°$，求$∠ APC$的度数。
答案
5. 连结BC。因为∠BDC=150°,所以∠BAC=30°。因为AB=AC,所以∠ABC=75°,所以∠APC=105°。
解析
【分析】
解题时我们可以从已知条件和待求角的关系逐步推导：首先，观察到四边形ABDC是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知的∠BDC求出∠BAC的度数；其次，已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，结合三角形内角和定理就能算出∠ABC的度数；最后，四边形ABCP也是⊙O的内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠APC的度数。
【解析】
解：连接BC。
∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAC + ∠BDC = 180°，
又
∵ ∠BDC=150°，
∴ ∠BAC=180°-150°=30°。
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC=(180°-∠BAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°。
∵ 四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠APC = 180°，
∴ ∠APC=180°-75°=105°。
【答案】
$\boxed{105°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆内角度计算的基础题型，解题核心是构造辅助线BC，两次运用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形的角度计算规则推导结果，掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以从已知条件和待求角的关系逐步推导：首先，观察到四边形ABDC是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知的∠BDC求出∠BAC的度数；其次，已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，结合三角形内角和定理就能算出∠ABC的度数；最后，四边形ABCP也是⊙O的内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠APC的度数。
【解析】
解：连接BC。
∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAC + ∠BDC = 180°，
又
∵ ∠BDC=150°，
∴ ∠BAC=180°-150°=30°。
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC=(180°-∠BAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°。
∵ 四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠APC = 180°，
∴ ∠APC=180°-75°=105°。
【答案】
$\boxed{105°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆内角度计算的基础题型，解题核心是构造辅助线BC，两次运用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形的角度计算规则推导结果，掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$。$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$D$为$\overset{\frown}{AC}$的中点,$E$为$BA$延长线上一点。若$∠ DAE=114°$,求$∠ CAD$的度数。
答案
6. 设∠CAD=x°。因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。因为∠DAE=114°,所以∠ABC=$\frac{1}{2}$∠CAE=$\frac{1}{2}(x+114°)$。因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,所以∠ACD=∠CAD=x°,∠D=180°-2x°。因为∠B+∠D=180°,所以$\frac{1}{2}(x+114°)+180°-2x°=180°$,解得x=38,所以∠CAD=38°。
解析
【分析】
本题直接推导角度关系较复杂，可采用设未知数列方程的方法求解。首先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠ACB，结合三角形外角性质推出∠ABC与∠CAE的数量关系；再根据D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，由等弧所对圆周角相等得到∠ACD=∠CAD，结合三角形内角和用含未知数的式子表示出∠D的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质建立方程，解方程即可求出∠CAD的度数。
【解析】
设∠CAD=x°。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ ∠CAE是△ABC的外角，
∴ ∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，即$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ CAE$。
又
∵ ∠DAE=114°，
∴ ∠CAE=∠DAE+∠CAD=114°+x°，因此$∠ ABC=\frac{1}{2}(x+114°)$。
∵ D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，得∠ACD=∠CAD=x°。
在△ACD中，由三角形内角和为180°，得∠D=180°-∠CAD-∠ACD=180°-2x°。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ 对角互补，即∠ABC+∠D=180°。
将∠ABC和∠D的表达式代入得：
$\frac{1}{2}(x+114°)+180°-2x°=180°$
解方程得：
$\frac{x}{2}+57°-2x=0$
$-\frac{3x}{2}=-57°$
$x=38$
【答案】
∠CAD=38°
【知识点】
等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心是将方程思想和几何性质结合求解角度，解题的关键是熟练掌握弧与圆周角的对应关系、圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，能帮助学生提升几何等量关系的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题直接推导角度关系较复杂，可采用设未知数列方程的方法求解。首先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠ACB，结合三角形外角性质推出∠ABC与∠CAE的数量关系；再根据D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，由等弧所对圆周角相等得到∠ACD=∠CAD，结合三角形内角和用含未知数的式子表示出∠D的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质建立方程，解方程即可求出∠CAD的度数。
【解析】
设∠CAD=x°。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ ∠CAE是△ABC的外角，
∴ ∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，即$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ CAE$。
又
∵ ∠DAE=114°，
∴ ∠CAE=∠DAE+∠CAD=114°+x°，因此$∠ ABC=\frac{1}{2}(x+114°)$。
∵ D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，得∠ACD=∠CAD=x°。
在△ACD中，由三角形内角和为180°，得∠D=180°-∠CAD-∠ACD=180°-2x°。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ 对角互补，即∠ABC+∠D=180°。
将∠ABC和∠D的表达式代入得：
$\frac{1}{2}(x+114°)+180°-2x°=180°$
解方程得：
$\frac{x}{2}+57°-2x=0$
$-\frac{3x}{2}=-57°$
$x=38$
【答案】
∠CAD=38°
【知识点】
等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心是将方程思想和几何性质结合求解角度，解题的关键是熟练掌握弧与圆周角的对应关系、圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，能帮助学生提升几何等量关系的运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在直角坐标系中,点C在第二象限,⊙C经过原点,与y轴、x轴分别交于点A(0,4)和点B。M为劣弧$\overset{\frown}{BO}$上一点,∠BMO=120°,则点C的坐标为
(-2√3,2)
。答案
7. 连结AB,过点C作CD⊥AO于点D。因为∠AOB=90°,所以AB为⊙C的直径。因为∠BMO=120°,所以∠BAO=60°。因为AO=4,所以AD=OD=2,CD=2√3,所以点C的坐标为(-2√3,2)。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：⊙C过原点O，且与x轴、y轴分别交于B、A，可得∠AOB=90°，根据圆周角定理可推出AB是⊙C的直径，即圆心C为AB的中点；再结合圆内接四边形对角互补的性质，由∠BMO=120°可求出∠BAO的度数；接下来在Rt△ABO中利用勾股定理求出点B的坐标，最后根据中点坐标公式或垂径定理即可求出圆心C的坐标。
【解析】
1. 连结AB，过点C作CD⊥AO于点D。
2. 因为∠AOB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB为⊙C的直径，即点C是AB的中点。
3. 因为四边形ABMO是⊙C的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAO + ∠ BMO = 180°$。已知$∠ BMO=120°$，所以$∠ BAO=180°-120°=60°$。
4. 已知A(0,4)，所以AO=4。在Rt△ABO中，$∠ BAO=60°$，AO=4，所以$AB=AO÷\cos60°=4÷\frac{1}{2}=8$，由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，因此点B的坐标为$(-4\sqrt{3}, 0)$。
5. 因为C是AB的中点，根据中点坐标公式，点C的横坐标为$\frac{0 + (-4\sqrt{3})}{2}=-2\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{4 + 0}{2}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{(-2\sqrt{3},2)}$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质与平面直角坐标系结合考查，解题的突破口是判断出AB为圆的直径，再结合圆内接四边形的性质求出对应角度，进而计算线段长度得到圆心坐标，熟练掌握圆的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征：⊙C过原点O，且与x轴、y轴分别交于B、A，可得∠AOB=90°，根据圆周角定理可推出AB是⊙C的直径，即圆心C为AB的中点；再结合圆内接四边形对角互补的性质，由∠BMO=120°可求出∠BAO的度数；接下来在Rt△ABO中利用勾股定理求出点B的坐标，最后根据中点坐标公式或垂径定理即可求出圆心C的坐标。
【解析】
1. 连结AB，过点C作CD⊥AO于点D。
2. 因为∠AOB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB为⊙C的直径，即点C是AB的中点。
3. 因为四边形ABMO是⊙C的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAO + ∠ BMO = 180°$。已知$∠ BMO=120°$，所以$∠ BAO=180°-120°=60°$。
4. 已知A(0,4)，所以AO=4。在Rt△ABO中，$∠ BAO=60°$，AO=4，所以$AB=AO÷\cos60°=4÷\frac{1}{2}=8$，由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，因此点B的坐标为$(-4\sqrt{3}, 0)$。
5. 因为C是AB的中点，根据中点坐标公式，点C的横坐标为$\frac{0 + (-4\sqrt{3})}{2}=-2\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{4 + 0}{2}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{(-2\sqrt{3},2)}$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质与平面直角坐标系结合考查，解题的突破口是判断出AB为圆的直径，再结合圆内接四边形的性质求出对应角度，进而计算线段长度得到圆心坐标，熟练掌握圆的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
