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1. 下列各式一定是二次根式的是(
A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt[3]{2a}$
C.$\sqrt{a^2 + 2}$
D.$\sqrt{a^2 - 9}$
C
)。A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt[3]{2a}$
C.$\sqrt{a^2 + 2}$
D.$\sqrt{a^2 - 9}$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：①根指数为2（通常根号左上角的2会省略）；②被开方数（根号内的数或代数式）必须是非负数（即大于等于0）。解题时我们逐个选项对照这两个条件排查即可：先排除根指数不是2的选项，再判断剩余选项的被开方数是否恒为非负数，就能得出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{-3}$的被开方数是$-3＜0$，式子无意义，不符合二次根式要求，排除；
选项B：$\sqrt[3]{2a}$的根指数是3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，排除；
选项C：对任意实数$a$，都有$a^2≥0$，因此$a^2+2≥2＞0$，被开方数恒为非负数，且根指数为2，符合二次根式的定义，一定是二次根式；
选项D：当$|a|＜3$时（比如$a=0$），$a^2-9=-9＜0$，此时被开方数为负数，式子无意义，因此不一定是二次根式，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次根式定义的理解，解题时要注意不仅要看形式上是否为二次开方，还要确认被开方数的取值范围是否恒为非负数，熟练掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：①根指数为2（通常根号左上角的2会省略）；②被开方数（根号内的数或代数式）必须是非负数（即大于等于0）。解题时我们逐个选项对照这两个条件排查即可：先排除根指数不是2的选项，再判断剩余选项的被开方数是否恒为非负数，就能得出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{-3}$的被开方数是$-3＜0$，式子无意义，不符合二次根式要求，排除；
选项B：$\sqrt[3]{2a}$的根指数是3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，排除；
选项C：对任意实数$a$，都有$a^2≥0$，因此$a^2+2≥2＞0$，被开方数恒为非负数，且根指数为2，符合二次根式的定义，一定是二次根式；
选项D：当$|a|＜3$时（比如$a=0$），$a^2-9=-9＜0$，此时被开方数为负数，式子无意义，因此不一定是二次根式，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次根式定义的理解，解题时要注意不仅要看形式上是否为二次开方，还要确认被开方数的取值范围是否恒为非负数，熟练掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 二次根式$\sqrt{x-2}$中$x$的取值范围是（
A.$x=2$
B.$x≥2$
C.$x＞2$
D.$x＜2$
B
）。A.$x=2$
B.$x≥2$
C.$x＞2$
D.$x＜2$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定二次根式中字母的取值范围，首先回忆二次根式有意义的要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。本题中被开方数是x-2，因此只需令x-2≥0，解这个一元一次不等式就能得到x的取值范围，再对应选项选择即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可得：
$x-2≥0$
解该不等式，移项得：
$x≥2$
因此符合条件的选项是B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考点题型，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数的非负性就能快速解题，是二次根式相关概念的常见考查形式。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式中字母的取值范围，首先回忆二次根式有意义的要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。本题中被开方数是x-2，因此只需令x-2≥0，解这个一元一次不等式就能得到x的取值范围，再对应选项选择即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可得：
$x-2≥0$
解该不等式，移项得：
$x≥2$
因此符合条件的选项是B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考点题型，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数的非负性就能快速解题，是二次根式相关概念的常见考查形式。
【难度系数】
0.9
3. 若$\sqrt{12n}$是正整数，则整数$n$的最小值为
3
。答案
3. 3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确核心条件：若二次根式的结果是正整数，则被开方数必须是正的完全平方数。解题思路如下：第一步先化简被开方数$\sqrt{12n}$，将12分解质因数；第二步结合完全平方数的性质——完全平方数的所有质因数的指数都是偶数，分析现有质因数的指数情况；第三步找到最小的整数$n$，补充后使被开方数满足完全平方数的要求即可。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{12n} = \sqrt{4 × 3n} = 2\sqrt{3n}$
已知$\sqrt{12n}$是正整数，因此$2\sqrt{3n}$是正整数，即$\sqrt{3n}$必须是正整数，说明$3n$是正的完全平方数。
将3分解质因数后，3的指数为1（为奇数），要使$3n$为完全平方数，需要补充1个3使得3的指数变为偶数2，此时最小的正整数$n=3$。
验证：当$n=3$时，$\sqrt{12n}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6$，是正整数，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的性质；二次根式的定义
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题核心是抓住“二次根式结果为正整数时被开方数是正完全平方数”这一要点，先化简被开方数再判断需要补充的最小因数即可，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确核心条件：若二次根式的结果是正整数，则被开方数必须是正的完全平方数。解题思路如下：第一步先化简被开方数$\sqrt{12n}$，将12分解质因数；第二步结合完全平方数的性质——完全平方数的所有质因数的指数都是偶数，分析现有质因数的指数情况；第三步找到最小的整数$n$，补充后使被开方数满足完全平方数的要求即可。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{12n} = \sqrt{4 × 3n} = 2\sqrt{3n}$
已知$\sqrt{12n}$是正整数，因此$2\sqrt{3n}$是正整数，即$\sqrt{3n}$必须是正整数，说明$3n$是正的完全平方数。
将3分解质因数后，3的指数为1（为奇数），要使$3n$为完全平方数，需要补充1个3使得3的指数变为偶数2，此时最小的正整数$n=3$。
验证：当$n=3$时，$\sqrt{12n}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6$，是正整数，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的性质；二次根式的定义
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题核心是抓住“二次根式结果为正整数时被开方数是正完全平方数”这一要点，先化简被开方数再判断需要补充的最小因数即可，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
4. 若$\sqrt{(5-a)^2} + 5 = a$，则$a$的取值范围是
$a≥5$
。答案
4. $a≥5$
解析
【分析】
解决本题首先需要回忆二次根式的核心化简性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，第一步先将原式中的二次根式转化为绝对值形式；再通过移项整理得到绝对值等式，最后结合绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$，列出关于$a$的不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简可得：
$|5-a| + 5 = a$
移项得：$|5-a|=a-5$
由绝对值的性质可知：若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数，即$5-a≤0$
解不等式：
$-a≤ -5$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$a≥5$
【答案】
$a≥5$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，重点考察二次根式化简与绝对值性质的结合应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，能将含二次根式的等式转化为绝对值问题求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要回忆二次根式的核心化简性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，第一步先将原式中的二次根式转化为绝对值形式；再通过移项整理得到绝对值等式，最后结合绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$，列出关于$a$的不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简可得：
$|5-a| + 5 = a$
移项得：$|5-a|=a-5$
由绝对值的性质可知：若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数，即$5-a≤0$
解不等式：
$-a≤ -5$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$a≥5$
【答案】
$a≥5$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，重点考察二次根式化简与绝对值性质的结合应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，能将含二次根式的等式转化为绝对值问题求解。
【难度系数】
0.8
5. 对于任意不相等的两个数$a,b$,定义一种新运算$*$如下:$a*b=\frac{\sqrt{a} · \sqrt{b}}{\sqrt{a - b}}$,如$2*1=\frac{\sqrt{2} × \sqrt{1}}{\sqrt{2 - 1}}=\sqrt{2}$,那么$12*4=$
$\sqrt{6}$
。答案
5. $\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先要明确新运算“*”的运算规则，理解$a*b=\frac{\sqrt{a} · \sqrt{b}}{\sqrt{a - b}}$的运算要求，且注意运算前提是$a、b$不相等、根号下的数均为非负数；其次确定$12*4$中对应的$a=12$，$b=4$，验证符合运算条件后，将数值代入公式；最后按照二次根式的乘除运算法则化简计算得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$a*b=\frac{\sqrt{a} · \sqrt{b}}{\sqrt{a - b}}$，在$12*4$中$a=12$，$b=4$，代入公式得：
$\begin{aligned}12*4&=\frac{\sqrt{12}×\sqrt{4}}{\sqrt{12-4}}\\&=\frac{\sqrt{12×4}}{\sqrt{8}}\\&=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{8}}\\&=\sqrt{\frac{48}{8}}\\&=\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
新定义运算、二次根式乘除运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是准确理解新运算的规则，代入数值后按照二次根式的运算法则计算即可，运算时要注意先验证二次根式有意义的条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先要明确新运算“*”的运算规则，理解$a*b=\frac{\sqrt{a} · \sqrt{b}}{\sqrt{a - b}}$的运算要求，且注意运算前提是$a、b$不相等、根号下的数均为非负数；其次确定$12*4$中对应的$a=12$，$b=4$，验证符合运算条件后，将数值代入公式；最后按照二次根式的乘除运算法则化简计算得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$a*b=\frac{\sqrt{a} · \sqrt{b}}{\sqrt{a - b}}$，在$12*4$中$a=12$，$b=4$，代入公式得：
$\begin{aligned}12*4&=\frac{\sqrt{12}×\sqrt{4}}{\sqrt{12-4}}\\&=\frac{\sqrt{12×4}}{\sqrt{8}}\\&=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{8}}\\&=\sqrt{\frac{48}{8}}\\&=\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
新定义运算、二次根式乘除运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是准确理解新运算的规则，代入数值后按照二次根式的运算法则计算即可，运算时要注意先验证二次根式有意义的条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
6. 计算:
(1)$2\sqrt{13} × 13\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{50} × \sqrt{18} - 31$；
(3)$(\sqrt{11} + 6)(5 - \sqrt{11})$；
(4)$(\sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{3}$。
(1)$2\sqrt{13} × 13\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{50} × \sqrt{18} - 31$；
(3)$(\sqrt{11} + 6)(5 - \sqrt{11})$；
(4)$(\sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{3}$。
答案
6. (1) $26\sqrt{26}$。
(2) $-1$。
(3) $19-\sqrt{11}$。
(4) $10$。
(2) $-1$。
(3) $19-\sqrt{11}$。
(4) $10$。
解析
【分析】
这四道题均为二次根式的运算类题目，解题思路如下：(1)属于二次根式乘法运算，遵循“系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简结果”的规则计算即可；(2)属于二次根式混合运算，先按运算顺序计算二次根式的乘法，再计算减法即可，计算乘法时可先化简二次根式再相乘降低计算难度；(3)属于二次根式与整式的混合运算，类比多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项和同类二次根式即可；(4)可利用乘法分配律，将括号内的两个二次根式分别与√3相乘，再相加求和，比先化简括号内再计算更简便。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则计算：
$2\sqrt{13} × 13\sqrt{2} = (2×13)×(\sqrt{13}×\sqrt{2}) = 26×\sqrt{13×2} = 26\sqrt{26}$
(2) 按先乘除后加减的顺序计算：
先化简二次根式：$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
则$\sqrt{50}×\sqrt{18} = 5\sqrt{2}×3\sqrt{2} = (5×3)×(\sqrt{2}×\sqrt{2}) = 15×2 = 30$
原式$=30 - 31 = -1$
(3) 按照多项式乘多项式法则展开后合并：
$(\sqrt{11} + 6)(5 - \sqrt{11}) = \sqrt{11}×5 - \sqrt{11}×\sqrt{11} + 6×5 - 6×\sqrt{11}$
$=5\sqrt{11} - 11 + 30 - 6\sqrt{11}$
合并同类项及同类二次根式得：$(-11+30)+(5\sqrt{11}-6\sqrt{11}) = 19 - \sqrt{11}$
(4) 利用乘法分配律简化计算：
$(\sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{3} = \sqrt{27}×\sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{3}$
$= \sqrt{27×3} + \sqrt{\dfrac{1}{3}×3} = \sqrt{81} + \sqrt{1} = 9 + 1 = 10$
【答案】
(1) $26\sqrt{26}$；(2) $-1$；(3) $19-\sqrt{11}$；(4) $10$
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式混合运算；多项式乘法法则
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考察二次根式的运算法则和运算顺序的掌握情况，计算时灵活选择运算方法（如分配律、先化简再计算）可减少计算量，展开多项式时需注意不要漏乘项、不要写错符号。
【难度系数】
0.8
这四道题均为二次根式的运算类题目，解题思路如下：(1)属于二次根式乘法运算，遵循“系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简结果”的规则计算即可；(2)属于二次根式混合运算，先按运算顺序计算二次根式的乘法，再计算减法即可，计算乘法时可先化简二次根式再相乘降低计算难度；(3)属于二次根式与整式的混合运算，类比多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项和同类二次根式即可；(4)可利用乘法分配律，将括号内的两个二次根式分别与√3相乘，再相加求和，比先化简括号内再计算更简便。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则计算：
$2\sqrt{13} × 13\sqrt{2} = (2×13)×(\sqrt{13}×\sqrt{2}) = 26×\sqrt{13×2} = 26\sqrt{26}$
(2) 按先乘除后加减的顺序计算：
先化简二次根式：$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
则$\sqrt{50}×\sqrt{18} = 5\sqrt{2}×3\sqrt{2} = (5×3)×(\sqrt{2}×\sqrt{2}) = 15×2 = 30$
原式$=30 - 31 = -1$
(3) 按照多项式乘多项式法则展开后合并：
$(\sqrt{11} + 6)(5 - \sqrt{11}) = \sqrt{11}×5 - \sqrt{11}×\sqrt{11} + 6×5 - 6×\sqrt{11}$
$=5\sqrt{11} - 11 + 30 - 6\sqrt{11}$
合并同类项及同类二次根式得：$(-11+30)+(5\sqrt{11}-6\sqrt{11}) = 19 - \sqrt{11}$
(4) 利用乘法分配律简化计算：
$(\sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{3} = \sqrt{27}×\sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{3}$
$= \sqrt{27×3} + \sqrt{\dfrac{1}{3}×3} = \sqrt{81} + \sqrt{1} = 9 + 1 = 10$
【答案】
(1) $26\sqrt{26}$；(2) $-1$；(3) $19-\sqrt{11}$；(4) $10$
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式混合运算；多项式乘法法则
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考察二次根式的运算法则和运算顺序的掌握情况，计算时灵活选择运算方法（如分配律、先化简再计算）可减少计算量，展开多项式时需注意不要漏乘项、不要写错符号。
【难度系数】
0.8
7. 如图2-3-1，某小区有一块长为$\sqrt{50}$ m、宽为$\sqrt{32}$ m的长方形空地ABCD，空地中间有一个长为$(\sqrt{10}+1)$ m、宽为$(\sqrt{10}-1)$ m的花坛（阴影部分）。现要将花坛周围其他空地建成通道，通道上要铺造价为9元/$m^2$的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
答案
7. 解: $\sqrt{50}×\sqrt{32}-(\sqrt{10}+1)×(\sqrt{10}-1)$
$=\sqrt{1600}-(10-1)$
$=40-9$
$=31(\mathrm{m}^2)$，
$9×31=279(\mathrm{元})$。
所以购买地砖需要花费279元。
$=\sqrt{1600}-(10-1)$
$=40-9$
$=31(\mathrm{m}^2)$，
$9×31=279(\mathrm{元})$。
所以购买地砖需要花费279元。
解析
【分析】
要计算购买地砖的总花费，首先需要求出需铺地砖的通道面积：通道面积等于长方形空地的总面积减去中间花坛的面积。第一步根据长方形面积公式“面积=长×宽”分别计算空地和花坛的面积：计算空地面积时用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$简化运算；计算花坛面积时，观察到长和宽符合平方差公式的形式，用平方差公式计算可大幅降低运算量。得到通道面积后，乘每平方米地砖的造价即可得到总花费。
【解析】
解：先计算通道的面积：
$\begin{split}\mathrm{通道面积}&=\mathrm{空地面积}-\mathrm{花坛面积}\\&=\sqrt{50}×\sqrt{32}-(\sqrt{10}+1)×(\sqrt{10}-1)\\&=\sqrt{50×32}-[(\sqrt{10})^2-1^2]\\&=\sqrt{1600}-(10-1)\\&=40-9\\&=31(\mathrm{m}^2)\end{split}$
再计算总花费：$9×31=279(\mathrm{元})$
【答案】
购买地砖需要花费279元。
【知识点】
1. 二次根式乘法运算
2. 平方差公式
3. 长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查二次根式运算与整式乘法公式的综合应用，解题关键是理清通道面积的计算逻辑，计算过程中巧用平方差公式可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
要计算购买地砖的总花费，首先需要求出需铺地砖的通道面积：通道面积等于长方形空地的总面积减去中间花坛的面积。第一步根据长方形面积公式“面积=长×宽”分别计算空地和花坛的面积：计算空地面积时用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$简化运算；计算花坛面积时，观察到长和宽符合平方差公式的形式，用平方差公式计算可大幅降低运算量。得到通道面积后，乘每平方米地砖的造价即可得到总花费。
【解析】
解：先计算通道的面积：
$\begin{split}\mathrm{通道面积}&=\mathrm{空地面积}-\mathrm{花坛面积}\\&=\sqrt{50}×\sqrt{32}-(\sqrt{10}+1)×(\sqrt{10}-1)\\&=\sqrt{50×32}-[(\sqrt{10})^2-1^2]\\&=\sqrt{1600}-(10-1)\\&=40-9\\&=31(\mathrm{m}^2)\end{split}$
再计算总花费：$9×31=279(\mathrm{元})$
【答案】
购买地砖需要花费279元。
【知识点】
1. 二次根式乘法运算
2. 平方差公式
3. 长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查二次根式运算与整式乘法公式的综合应用，解题关键是理清通道面积的计算逻辑，计算过程中巧用平方差公式可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$。
(1) 求 $x+y$ 和 $xy$ 的值；
(2) 求 $x^2+y^2-3xy$ 的值；
(3) 若 $x$ 的小数部分是 $a$，$y$ 的整数部分是 $b$，求 $a+b$ 的值。
(1) 求 $x+y$ 和 $xy$ 的值；
(2) 求 $x^2+y^2-3xy$ 的值；
(3) 若 $x$ 的小数部分是 $a$，$y$ 的整数部分是 $b$，求 $a+b$ 的值。
答案
8. 解:(1)因为 $x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$。
所以 $x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$。
(2) $x^2+y^2-3xy=(x+y)^2-5xy=(2\sqrt{3})^2-5×2=12-10=2$。
(3)因为 $1＜\sqrt{3}＜2$，
所以 $2＜\sqrt{3}+1＜3,0＜\sqrt{3}-1＜1$，
所以 $x=\sqrt{3}+1$ 的小数部分是 $\sqrt{3}+1-2=\sqrt{3}-1$，$y=\sqrt{3}-1$ 的整数部分是0。
因为 $x$ 的小数部分是 $a$，$y$ 的整数部分是 $b$，
所以 $a=\sqrt{3}-1,b=0$，
所以 $a+b=\sqrt{3}-1+0=\sqrt{3}-1$。
所以 $x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$。
(2) $x^2+y^2-3xy=(x+y)^2-5xy=(2\sqrt{3})^2-5×2=12-10=2$。
(3)因为 $1＜\sqrt{3}＜2$，
所以 $2＜\sqrt{3}+1＜3,0＜\sqrt{3}-1＜1$，
所以 $x=\sqrt{3}+1$ 的小数部分是 $\sqrt{3}+1-2=\sqrt{3}-1$，$y=\sqrt{3}-1$ 的整数部分是0。
因为 $x$ 的小数部分是 $a$，$y$ 的整数部分是 $b$，
所以 $a=\sqrt{3}-1,b=0$，
所以 $a+b=\sqrt{3}-1+0=\sqrt{3}-1$。
解析
【分析】
(1) 第一问直接将x、y的表达式代入待求式中，x+y可通过合并同类二次根式直接得出结果，xy的形式符合平方差公式特征，利用平方差公式计算更简便；
(2) 第二问利用完全平方公式变形，将$x^2+y^2$转化为$(x+y)^2-2xy$，则原式可改写为仅含$x+y$和$xy$的式子，代入第一问的结果计算即可，能避免分别计算$x^2$、$y^2$的繁琐步骤；
(3) 第三问先估算$\sqrt{3}$的取值范围，据此确定x的整数部分，用x减去整数部分即可得到小数部分a；再根据$\sqrt{3}$的范围确定y的取值范围，得到y的整数部分b，最后代入计算$a+b$即可。
【解析】
解：(1) 已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$，
则$x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$；
(2) 对代数式变形可得：
$x^2+y^2-3xy=(x+y)^2-2xy-3xy=(x+y)^2-5xy$，
将$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{3})^2-5×2=12-10=2$；
(3) 因为$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$2＜\sqrt{3}+1＜3$，$0＜\sqrt{3}-1＜1$，
因此$x=\sqrt{3}+1$的小数部分$a=(\sqrt{3}+1)-2=\sqrt{3}-1$，
$y=\sqrt{3}-1$的整数部分$b=0$，
所以$a+b=\sqrt{3}-1+0=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) $x+y=2\sqrt{3}$，$xy=2$；
(2) $2$；
(3) $\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，无理数的估算
【点评】
本题是二次根式的基础综合题，前两问运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，第三问的核心是正确估算无理数的取值范围，进而确定其整数部分和小数部分，解题方法较为常规，是二次根式章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问直接将x、y的表达式代入待求式中，x+y可通过合并同类二次根式直接得出结果，xy的形式符合平方差公式特征，利用平方差公式计算更简便；
(2) 第二问利用完全平方公式变形，将$x^2+y^2$转化为$(x+y)^2-2xy$，则原式可改写为仅含$x+y$和$xy$的式子，代入第一问的结果计算即可，能避免分别计算$x^2$、$y^2$的繁琐步骤；
(3) 第三问先估算$\sqrt{3}$的取值范围，据此确定x的整数部分，用x减去整数部分即可得到小数部分a；再根据$\sqrt{3}$的范围确定y的取值范围，得到y的整数部分b，最后代入计算$a+b$即可。
【解析】
解：(1) 已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$，
则$x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$；
(2) 对代数式变形可得：
$x^2+y^2-3xy=(x+y)^2-2xy-3xy=(x+y)^2-5xy$，
将$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{3})^2-5×2=12-10=2$；
(3) 因为$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$2＜\sqrt{3}+1＜3$，$0＜\sqrt{3}-1＜1$，
因此$x=\sqrt{3}+1$的小数部分$a=(\sqrt{3}+1)-2=\sqrt{3}-1$，
$y=\sqrt{3}-1$的整数部分$b=0$，
所以$a+b=\sqrt{3}-1+0=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) $x+y=2\sqrt{3}$，$xy=2$；
(2) $2$；
(3) $\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，无理数的估算
【点评】
本题是二次根式的基础综合题，前两问运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，第三问的核心是正确估算无理数的取值范围，进而确定其整数部分和小数部分，解题方法较为常规，是二次根式章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
