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二、拓展性作业
9. 我们知道$\sqrt{5}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{5}$的小数部分我们不可能全部写出来，而$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分是2，将$\sqrt{5}$减去其整数部分2，所得的差$\sqrt{5}-2$就是$\sqrt{5}$的小数部分。根据以上信息回答下列问题：
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果$3+\sqrt{7}$的小数部分为$a$，$5-\sqrt{3}$的整数部分为$b$，求$a+\sqrt{3b}$的值。
9. 我们知道$\sqrt{5}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{5}$的小数部分我们不可能全部写出来，而$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分是2，将$\sqrt{5}$减去其整数部分2，所得的差$\sqrt{5}-2$就是$\sqrt{5}$的小数部分。根据以上信息回答下列问题：
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果$3+\sqrt{7}$的小数部分为$a$，$5-\sqrt{3}$的整数部分为$b$，求$a+\sqrt{3b}$的值。
答案
9. (1) 4 $\sqrt{17}-4$
(2) 解: 因为 $2＜\sqrt{7}＜3$,
所以 $2+3＜3+\sqrt{7}＜3+3$,即 $5＜3+\sqrt{7}＜6$,
所以 $3+\sqrt{7}$ 的整数部分是 5,小数部分 $a=\sqrt{7}-2$。
因为 $1＜\sqrt{3}＜2$,
所以 $-2＜-\sqrt{3}＜-1$,
所以 $5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$,即 $3＜5-\sqrt{3}＜4$,
所以 $5-\sqrt{3}$ 的整数部分 $b=3$,
所以 $a+\sqrt{3b}=\sqrt{7}-2+\sqrt{3×3}=\sqrt{7}+1$。
(2) 解: 因为 $2＜\sqrt{7}＜3$,
所以 $2+3＜3+\sqrt{7}＜3+3$,即 $5＜3+\sqrt{7}＜6$,
所以 $3+\sqrt{7}$ 的整数部分是 5,小数部分 $a=\sqrt{7}-2$。
因为 $1＜\sqrt{3}＜2$,
所以 $-2＜-\sqrt{3}＜-1$,
所以 $5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$,即 $3＜5-\sqrt{3}＜4$,
所以 $5-\sqrt{3}$ 的整数部分 $b=3$,
所以 $a+\sqrt{3b}=\sqrt{7}-2+\sqrt{3×3}=\sqrt{7}+1$。
解析
【分析】
解决这类问题的核心是先估算无理数的取值范围：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，开方后得到两个连续整数，即可确定无理数的整数部分（为较小的整数），小数部分为无理数减去其整数部分。
(1) 先判断√17介于哪两个连续整数之间，即可直接得到其整数部分和小数部分；
(2) 先分别估算√7、√3的取值范围，再推导3+√7、5-√3的取值范围，分别求出a和b的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，所以$4＜\sqrt{17}＜5$，因此$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{17}-4$。
(2) 解：因为 $2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式各边同时加3可得：$2+3＜3+\sqrt{7}＜3+3$，即 $5＜3+\sqrt{7}＜6$，
所以 $3+\sqrt{7}$ 的整数部分是5，小数部分$a=3+\sqrt{7}-5=\sqrt{7}-2$。
因为 $1＜\sqrt{3}＜2$，
不等式各边同时乘-1，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，
不等式各边同时加5可得：$5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$，即 $3＜5-\sqrt{3}＜4$，
所以 $5-\sqrt{3}$ 的整数部分$b=3$，
将$a=\sqrt{7}-2$，$b=3$代入得：
$a+\sqrt{3b}=\sqrt{7}-2+\sqrt{3×3}=\sqrt{7}-2+3=\sqrt{7}+1$。
【答案】
(1) $4$；$\sqrt{17}-4$
(2) $\sqrt{7}+1$
【知识点】
无理数大小估算；实数混合运算
【点评】
本题是无理数估算的典型应用题型，解题关键是掌握“找相邻完全平方数确定无理数范围”的方法，再根据范围推导所求代数式的整数、小数部分，计算时注意不等式变形的规则即可。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心是先估算无理数的取值范围：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，开方后得到两个连续整数，即可确定无理数的整数部分（为较小的整数），小数部分为无理数减去其整数部分。
(1) 先判断√17介于哪两个连续整数之间，即可直接得到其整数部分和小数部分；
(2) 先分别估算√7、√3的取值范围，再推导3+√7、5-√3的取值范围，分别求出a和b的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，所以$4＜\sqrt{17}＜5$，因此$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{17}-4$。
(2) 解：因为 $2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式各边同时加3可得：$2+3＜3+\sqrt{7}＜3+3$，即 $5＜3+\sqrt{7}＜6$，
所以 $3+\sqrt{7}$ 的整数部分是5，小数部分$a=3+\sqrt{7}-5=\sqrt{7}-2$。
因为 $1＜\sqrt{3}＜2$，
不等式各边同时乘-1，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，
不等式各边同时加5可得：$5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$，即 $3＜5-\sqrt{3}＜4$，
所以 $5-\sqrt{3}$ 的整数部分$b=3$，
将$a=\sqrt{7}-2$，$b=3$代入得：
$a+\sqrt{3b}=\sqrt{7}-2+\sqrt{3×3}=\sqrt{7}-2+3=\sqrt{7}+1$。
【答案】
(1) $4$；$\sqrt{17}-4$
(2) $\sqrt{7}+1$
【知识点】
无理数大小估算；实数混合运算
【点评】
本题是无理数估算的典型应用题型，解题关键是掌握“找相邻完全平方数确定无理数范围”的方法，再根据范围推导所求代数式的整数、小数部分，计算时注意不等式变形的规则即可。
【难度系数】
0.7
10. 提出问题：
单项式“$a^2$”可表示边长为$a$的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现。如何用数形结合的方法探究$\sqrt{2}$的近似值呢？
探究方法：
面积为2的正方形的边长为$\sqrt{2}$，可知$1＜\sqrt{2}＜2$，则$\sqrt{2}$的整数部分是1，因此设$\sqrt{2}=1+r$，且$0＜r＜1$。
画出示意图：图2-2-4中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个小长方形面积的和表示，即$S_{正方形}=r^2 + 2× r +1$，另一方面$S_{正方形}=2$，则$r^2 +2× r +1=2$，由于$r^2$较小可以略去，从而得$2r +1\approx2$，则$r\approx0.5$，即$\sqrt{2}\approx1.5$。
图2-2-4
(1)仿照上述的方法，探究$\sqrt{23}$的近似值(结果只包含两位小数)，要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程；
(2)综合上述具体探究，尝试计算$\sqrt{m}$：已知非负整数$a,b,m$，若$a＜\sqrt{m}＜a+1$，且$m=a^2 +b$，则$\sqrt{m}\approx$
(3)应用上述探究结果，直接写出$\sqrt{107}$的近似值(结果只包含两位小数)。
单项式“$a^2$”可表示边长为$a$的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现。如何用数形结合的方法探究$\sqrt{2}$的近似值呢？
探究方法：
面积为2的正方形的边长为$\sqrt{2}$，可知$1＜\sqrt{2}＜2$，则$\sqrt{2}$的整数部分是1，因此设$\sqrt{2}=1+r$，且$0＜r＜1$。
画出示意图：图2-2-4中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个小长方形面积的和表示，即$S_{正方形}=r^2 + 2× r +1$，另一方面$S_{正方形}=2$，则$r^2 +2× r +1=2$，由于$r^2$较小可以略去，从而得$2r +1\approx2$，则$r\approx0.5$，即$\sqrt{2}\approx1.5$。
图2-2-4
(1)仿照上述的方法，探究$\sqrt{23}$的近似值(结果只包含两位小数)，要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程；
(2)综合上述具体探究，尝试计算$\sqrt{m}$：已知非负整数$a,b,m$，若$a＜\sqrt{m}＜a+1$，且$m=a^2 +b$，则$\sqrt{m}\approx$
$a+\frac{b}{2a}$
(用含$a,b$的代数式表示，不含根号)；(3)应用上述探究结果，直接写出$\sqrt{107}$的近似值(结果只包含两位小数)。
答案
10. (1) 解: 面积是 23 的正方形的边长是 $\sqrt{23}$,且 $\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$,即 $4＜\sqrt{23}＜5$。
设 $\sqrt{23}=4+x(0＜x＜1)$,如答图 2-2-2,面积为 23 的正方形分成 2 个小正方形和 2 个长方形，
因为 $S_{\mathrm{正方形}}=(4+x)^2=x^2+2×4x+16$,
而 $S_{\mathrm{正方形}}=23$,
所以 $x^2+2×4x+16=23$。
由于 $x^2$ 较小可以略去,从而得 $8x+16\approx23$,解得 $x\approx0.88$,
即 $\sqrt{23}\approx4.88$。
(2) $a+\frac{b}{2a}$
(3) 解: $\sqrt{107}\approx10+\frac{7}{2×10}=10.35$。
解析
【分析】
(1) 估算$\sqrt{23}$近似值时，首先确定其整数部分：由$4^2=16$，$5^2=25$可得$4＜\sqrt{23}＜5$，整数部分为4，仿照例题设$\sqrt{23}=4+x(0＜x＜1)$；再利用边长为$4+x$的正方形面积等于23，将正方形拆分为两个小正方形和两个长方形，用面积和列方程，由于$x$很小，$x^2$可忽略，求解$x$的近似值即可得到$\sqrt{23}$的近似值，同时按示例格式绘制示意图。
(2) 推导通用公式时，已知$a＜\sqrt{m}＜a+1$，设$\sqrt{m}=a+r(0＜r＜1)$，则$m=(a+r)^2=a^2+2ar+r^2$，结合已知$m=a^2+b$，忽略数值极小的$r^2$，可推导得到$r$的近似表达式，进而得到$\sqrt{m}$的近似公式。
(3) 计算$\sqrt{107}$时直接应用(2)的结论，先确定整数部分$a=10$，再计算$b=107-10^2=7$，代入公式即可得到结果。
【解析】
(1) 首先确定$\sqrt{23}$的范围：$\because\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，$\therefore\sqrt{23}$的整数部分为4，设$\sqrt{23}=4+x(0＜x＜1)$。
边长为$4+x$的正方形面积为23，拆分后面积可表示为：$S_{\mathrm{正方形}}=4^2+2×4· x+x^2=16+8x+x^2$。
$\because S_{\mathrm{正方形}}=23$，$\therefore x^2+8x+16=23$，由于$0＜x＜1$，$x^2$数值极小可忽略，因此近似得$8x+16\approx23$，解得$x\approx\frac{7}{8}=0.875\approx0.88$，故$\sqrt{23}\approx4+0.88=4.88$。
(2) 已知$a＜\sqrt{m}＜a+1$，设$\sqrt{m}=a+r(0＜r＜1)$，则$m=(a+r)^2=a^2+2ar+r^2$，又$\because m=a^2+b$，$\therefore a^2+2ar+r^2=a^2+b$，忽略$r^2$可得$2ar\approx b$，解得$r\approx\frac{b}{2a}$，因此$\sqrt{m}\approx a+\frac{b}{2a}$。
(3) 对$\sqrt{107}$，$\because10^2=100＜107＜121=11^2$，$\therefore a=10$，$b=107-100=7$，代入公式得$\sqrt{107}\approx10+\frac{7}{2×10}=10.35$。
【答案】
(1) 面积是 23 的正方形的边长是 $\sqrt{23}$,且 $\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$,即 $4＜\sqrt{23}＜5$。
设 $\sqrt{23}=4+x(0＜x＜1)$,如答图 2-2-2,面积为 23 的正方形分成 2 个小正方形和 2 个长方形，
因为 $S_{\mathrm{正方形}}=(4+x)^2=x^2+2×4x+16$,
而 $S_{\mathrm{正方形}}=23$,
所以 $x^2+2×4x+16=23$。
由于 $x^2$ 较小可以略去,从而得 $8x+16\approx23$,解得 $x\approx0.88$,
即 $\sqrt{23}\approx4.88$。
(2) $a+\frac{b}{2a}$
(3) $\sqrt{107}\approx10.35$
【知识点】
算术平方根估算、完全平方公式、数形结合思想
【点评】
本题以数形结合思想为核心，将无理数估算与完全平方公式的几何意义相结合，从具体实例探究到一般规律推导，再到规律迁移应用，逐层递进，既考查了算术平方根、完全平方公式的基础掌握情况，也锻炼了归纳推导和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 估算$\sqrt{23}$近似值时，首先确定其整数部分：由$4^2=16$，$5^2=25$可得$4＜\sqrt{23}＜5$，整数部分为4，仿照例题设$\sqrt{23}=4+x(0＜x＜1)$；再利用边长为$4+x$的正方形面积等于23，将正方形拆分为两个小正方形和两个长方形，用面积和列方程，由于$x$很小，$x^2$可忽略，求解$x$的近似值即可得到$\sqrt{23}$的近似值，同时按示例格式绘制示意图。
(2) 推导通用公式时，已知$a＜\sqrt{m}＜a+1$，设$\sqrt{m}=a+r(0＜r＜1)$，则$m=(a+r)^2=a^2+2ar+r^2$，结合已知$m=a^2+b$，忽略数值极小的$r^2$，可推导得到$r$的近似表达式，进而得到$\sqrt{m}$的近似公式。
(3) 计算$\sqrt{107}$时直接应用(2)的结论，先确定整数部分$a=10$，再计算$b=107-10^2=7$，代入公式即可得到结果。
【解析】
(1) 首先确定$\sqrt{23}$的范围：$\because\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，$\therefore\sqrt{23}$的整数部分为4，设$\sqrt{23}=4+x(0＜x＜1)$。
边长为$4+x$的正方形面积为23，拆分后面积可表示为：$S_{\mathrm{正方形}}=4^2+2×4· x+x^2=16+8x+x^2$。
$\because S_{\mathrm{正方形}}=23$，$\therefore x^2+8x+16=23$，由于$0＜x＜1$，$x^2$数值极小可忽略，因此近似得$8x+16\approx23$，解得$x\approx\frac{7}{8}=0.875\approx0.88$，故$\sqrt{23}\approx4+0.88=4.88$。
(2) 已知$a＜\sqrt{m}＜a+1$，设$\sqrt{m}=a+r(0＜r＜1)$，则$m=(a+r)^2=a^2+2ar+r^2$，又$\because m=a^2+b$，$\therefore a^2+2ar+r^2=a^2+b$，忽略$r^2$可得$2ar\approx b$，解得$r\approx\frac{b}{2a}$，因此$\sqrt{m}\approx a+\frac{b}{2a}$。
(3) 对$\sqrt{107}$，$\because10^2=100＜107＜121=11^2$，$\therefore a=10$，$b=107-100=7$，代入公式得$\sqrt{107}\approx10+\frac{7}{2×10}=10.35$。
【答案】
(1) 面积是 23 的正方形的边长是 $\sqrt{23}$,且 $\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$,即 $4＜\sqrt{23}＜5$。
设 $\sqrt{23}=4+x(0＜x＜1)$,如答图 2-2-2,面积为 23 的正方形分成 2 个小正方形和 2 个长方形，
因为 $S_{\mathrm{正方形}}=(4+x)^2=x^2+2×4x+16$,
而 $S_{\mathrm{正方形}}=23$,
所以 $x^2+2×4x+16=23$。
由于 $x^2$ 较小可以略去,从而得 $8x+16\approx23$,解得 $x\approx0.88$,
即 $\sqrt{23}\approx4.88$。
(2) $a+\frac{b}{2a}$
(3) $\sqrt{107}\approx10.35$
【知识点】
算术平方根估算、完全平方公式、数形结合思想
【点评】
本题以数形结合思想为核心，将无理数估算与完全平方公式的几何意义相结合，从具体实例探究到一般规律推导，再到规律迁移应用，逐层递进，既考查了算术平方根、完全平方公式的基础掌握情况，也锻炼了归纳推导和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
