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二、拓展性作业
9. 鹏鹏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如，$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$，于是鹏鹏进行了以下探索：
设 $p+q\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中 $p,q,m,n$ 均为正整数），
则有 $p+q\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$（有理数和无理数分别对应相等），
所以 $p=m^2+2n^2,q=2mn$，这样鹏鹏就找到了一种把式子 $p+q\sqrt{2}$ 化为平方式的方法。
请你仿照鹏鹏的方法解决下列问题：
(1)当 $a,b,c,d$ 均为正整数时，若 $a+b\sqrt{3}=(c+d\sqrt{3})^2$，用含 $c,d$ 的式子分别表示 $a,b$，$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$；
(2)若 $x+4\sqrt{7}=(m+n\sqrt{7})^2$，当 $x,m,n$ 均为正整数时，求 $x$ 的值；
(3)化简：$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$。
9. 鹏鹏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如，$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$，于是鹏鹏进行了以下探索：
设 $p+q\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中 $p,q,m,n$ 均为正整数），
则有 $p+q\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$（有理数和无理数分别对应相等），
所以 $p=m^2+2n^2,q=2mn$，这样鹏鹏就找到了一种把式子 $p+q\sqrt{2}$ 化为平方式的方法。
请你仿照鹏鹏的方法解决下列问题：
(1)当 $a,b,c,d$ 均为正整数时，若 $a+b\sqrt{3}=(c+d\sqrt{3})^2$，用含 $c,d$ 的式子分别表示 $a,b$，$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$；
(2)若 $x+4\sqrt{7}=(m+n\sqrt{7})^2$，当 $x,m,n$ 均为正整数时，求 $x$ 的值；
(3)化简：$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$。
答案
9. (1) $c^2+3d^2$ $2cd$
(2)解: 因为 $x+4\sqrt{7}=(m+n\sqrt{7})^2$，
所以 $x+4\sqrt{7}=m^2+2mn\sqrt{7}+7n^2$（$x,m,n$ 均为正整数），
所以 $x=m^2+7n^2,2mn=4$，
所以 $mn=2$，
所以 $m=1,n=2,x=29$ 或 $m=2,n=1,x=11$。
综上所述，$x=29$ 或 $x=11$。
(3)解: 因为 $(2-\sqrt{5})^2=4-4\sqrt{5}+5=9-4\sqrt{5}$，
所以 $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。
(2)解: 因为 $x+4\sqrt{7}=(m+n\sqrt{7})^2$，
所以 $x+4\sqrt{7}=m^2+2mn\sqrt{7}+7n^2$（$x,m,n$ 均为正整数），
所以 $x=m^2+7n^2,2mn=4$，
所以 $mn=2$，
所以 $m=1,n=2,x=29$ 或 $m=2,n=1,x=11$。
综上所述，$x=29$ 或 $x=11$。
(3)解: 因为 $(2-\sqrt{5})^2=4-4\sqrt{5}+5=9-4\sqrt{5}$，
所以 $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。
解析
【分析】
这道题是二次根式的拓展应用，我们可以仿照题干给出的方法逐步求解：
1. 第(1)问：先利用完全平方公式将$(c+d\sqrt{3})^2$展开，再将等式两边的有理数部分、含$\sqrt{3}$的无理数部分分别对应相等，即可得到a、b的表达式。
2. 第(2)问：同样先展开右侧的完全平方，对应相等后得到关于m、n的关系式，结合m、n都是正整数的条件分类讨论，代入计算即可得到x的值。
3. 第(3)问：先将根号内的$9-4\sqrt{5}$凑成完全平方的形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，注意算术平方根是非负的，最终得到化简结果。
【解析】
(1) 展开右侧完全平方：$(c+d\sqrt{3})^2=c^2+2cd\sqrt{3}+3d^2$，对照左侧$a+b\sqrt{3}$，有理数部分对应得$a=c^2+3d^2$，含$\sqrt{3}$的项的系数对应得$b=2cd$。
(2) 先展开等式右侧：$(m+n\sqrt{7})^2=m^2+2mn\sqrt{7}+7n^2$，对照左侧$x+4\sqrt{7}$可得：
$\begin{cases}x=m^2+7n^2\\2mn=4\end{cases}$
由$2mn=4$得$mn=2$，因为m、n均为正整数，分两种情况讨论：
① 当$m=1$，$n=2$时，$x=1^2+7×2^2=1+28=29$；
② 当$m=2$，$n=1$时，$x=2^2+7×1^2=4+7=11$。
综上，x的值为29或11。
(3) 先将根号内的式子凑成完全平方：
$9-4\sqrt{5}=4-4\sqrt{5}+5=(2-\sqrt{5})^2$，
所以$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|$，
因为$\sqrt{5}＞2$，所以$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。
【答案】
(1) $c^2+3d^2$；$2cd$
(2) $x=29$或$x=11$
(3) $\sqrt{5}-2$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的性质；实数相等的条件
【点评】
本题属于二次根式的新定义类拓展题，重点考查类比迁移能力和分类讨论思想，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，以及二次根式化简时的非负性要求，分类讨论时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
这道题是二次根式的拓展应用，我们可以仿照题干给出的方法逐步求解：
1. 第(1)问：先利用完全平方公式将$(c+d\sqrt{3})^2$展开，再将等式两边的有理数部分、含$\sqrt{3}$的无理数部分分别对应相等，即可得到a、b的表达式。
2. 第(2)问：同样先展开右侧的完全平方，对应相等后得到关于m、n的关系式，结合m、n都是正整数的条件分类讨论，代入计算即可得到x的值。
3. 第(3)问：先将根号内的$9-4\sqrt{5}$凑成完全平方的形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，注意算术平方根是非负的，最终得到化简结果。
【解析】
(1) 展开右侧完全平方：$(c+d\sqrt{3})^2=c^2+2cd\sqrt{3}+3d^2$，对照左侧$a+b\sqrt{3}$，有理数部分对应得$a=c^2+3d^2$，含$\sqrt{3}$的项的系数对应得$b=2cd$。
(2) 先展开等式右侧：$(m+n\sqrt{7})^2=m^2+2mn\sqrt{7}+7n^2$，对照左侧$x+4\sqrt{7}$可得：
$\begin{cases}x=m^2+7n^2\\2mn=4\end{cases}$
由$2mn=4$得$mn=2$，因为m、n均为正整数，分两种情况讨论：
① 当$m=1$，$n=2$时，$x=1^2+7×2^2=1+28=29$；
② 当$m=2$，$n=1$时，$x=2^2+7×1^2=4+7=11$。
综上，x的值为29或11。
(3) 先将根号内的式子凑成完全平方：
$9-4\sqrt{5}=4-4\sqrt{5}+5=(2-\sqrt{5})^2$，
所以$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|$，
因为$\sqrt{5}＞2$，所以$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。
【答案】
(1) $c^2+3d^2$；$2cd$
(2) $x=29$或$x=11$
(3) $\sqrt{5}-2$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的性质；实数相等的条件
【点评】
本题属于二次根式的新定义类拓展题，重点考查类比迁移能力和分类讨论思想，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，以及二次根式化简时的非负性要求，分类讨论时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
10. 同学们,在学习二次根式时我们发现了一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，根号里的“2”经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”。具有这一性质的数还有许多，如$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$等等。
(1)猜想：$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=$
(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数；
(3)请用只含有一个正整数$n(n≥2)$的等式表示上述规律。
(1)猜想：$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=$
$6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
；(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数；
(3)请用只含有一个正整数$n(n≥2)$的等式表示上述规律。
答案
10. (1) $6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2)解: $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一，符合规律即可）。
(3)解: 用只含有一个正整数 $n(n≥2)$ 的式子表示为 $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$。
(2)解: $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一，符合规律即可）。
(3)解: 用只含有一个正整数 $n(n≥2)$ 的式子表示为 $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$。
解析
【分析】
本题是基于二次根式化简的规律探究题，解题思路如下：①先观察给出的“穿墙”示例，找到带分数的整数部分、分子、分母三者的对应关系：整数部分=分子，分母=整数部分的平方减1，且$\sqrt{整数又分子/分母}=整数×\sqrt{分子/分母}$；②第(1)问直接套用发现的规律代入计算即可；③第(2)问任选一个≥2的正整数，按照规律构造符合要求的数即可；④第(3)问把规律中的整数部分替换为n，推导验证后写出通用等式即可。
【解析】
(1) 观察已知示例：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，可发现规律：当带分数的整数部分为$a$时，分子也为$a$，分母为$a^2-1$，且$\sqrt{a\dfrac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\dfrac{a}{a^2-1}}$。
本题中$a=6$，分母$35=6^2-1$，因此$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$。
(2) 取正整数$a=5$，则分母为$5^2-1=24$，可得具有“穿墙”性质的数：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一，取$a≥2$的正整数按规律构造即可）。
(3) 设正整数为$n(n≥2)$，先将带分数化为假分数化简验证：
左边=$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{n^2·\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$=右边
因此通用规律为$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$。
【答案】
(1) $6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2) $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一）
(3) $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 数字规律探究
3. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题属于规律探究类基础题，通过观察特殊示例归纳一般规律，再对规律进行验证，既考查了二次根式化简的运算能力，也锻炼了观察、归纳与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是基于二次根式化简的规律探究题，解题思路如下：①先观察给出的“穿墙”示例，找到带分数的整数部分、分子、分母三者的对应关系：整数部分=分子，分母=整数部分的平方减1，且$\sqrt{整数又分子/分母}=整数×\sqrt{分子/分母}$；②第(1)问直接套用发现的规律代入计算即可；③第(2)问任选一个≥2的正整数，按照规律构造符合要求的数即可；④第(3)问把规律中的整数部分替换为n，推导验证后写出通用等式即可。
【解析】
(1) 观察已知示例：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，可发现规律：当带分数的整数部分为$a$时，分子也为$a$，分母为$a^2-1$，且$\sqrt{a\dfrac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\dfrac{a}{a^2-1}}$。
本题中$a=6$，分母$35=6^2-1$，因此$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$。
(2) 取正整数$a=5$，则分母为$5^2-1=24$，可得具有“穿墙”性质的数：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一，取$a≥2$的正整数按规律构造即可）。
(3) 设正整数为$n(n≥2)$，先将带分数化为假分数化简验证：
左边=$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{n^2·\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$=右边
因此通用规律为$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$。
【答案】
(1) $6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2) $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一）
(3) $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 数字规律探究
3. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题属于规律探究类基础题，通过观察特殊示例归纳一般规律，再对规律进行验证，既考查了二次根式化简的运算能力，也锻炼了观察、归纳与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
