1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）。

A.$\sqrt{72}$
B.$\dfrac{\sqrt{14}}{7}$
C.$\sqrt{1.6}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

1. B

【分析】
要判断哪个选项是最简二次根式，首先回忆最简二次根式的两个核心判定标准：①被开方数的因数是整数，不含分母、小数；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需将四个选项逐个对照这两个标准排查，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数不含分母（或小数）；2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式。我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{72}$，被开方数$72=36×2$，其中36是可开尽方的因数（$\sqrt{36}=6$），因此$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，不是最简二次根式，排除A；
B. $\dfrac{\sqrt{14}}{7}$，被开方数14的因数为2和7，均不能开尽方，且被开方数14是整数不含分母，分母7在根号外，满足最简二次根式的所有条件；
C. $\sqrt{1.6}$，被开方数1.6是小数，可转化为分数$\dfrac{8}{5}$，即被开方数含分母，因此不是最简二次根式，排除C；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数是分数，含分母，因此不是最简二次根式，排除D。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查最简二次根式的判定规则，只要牢记两个判定条件逐一排查即可快速解题，注意不要把根号外的分母误认为是被开方数的分母。
【难度系数】
0.8

2. 下列各式正确的是()。

A.$\sqrt{4}=\pm2$
B.$\sqrt[3]{-27}=3$
C.$\sqrt{(-5)^2}=-5$
D.$\sqrt{2\frac{1}{4}}=1\frac{1}{2}$

2. D

【分析】
这道题考查根式的相关运算，解题时首先要明确核心概念：算术平方根是一个非负数的正的平方根，结果只能是非负的；立方根的符号与被开方数的符号一致。解题思路为逐一计算每个选项的结果，对比判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根结果为非负数，因此$\sqrt{4}=2$，A错误；
B选项：$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$，B错误；
C选项：先计算根号内的部分：$(-5)^2=25$，$\sqrt{25}$是25的算术平方根，结果为5，C错误；
D选项：先将带分数$2\frac{1}{4}$化为假分数$\frac{9}{4}$，$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根，立方根，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根式的基本概念和运算，解题关键是区分算术平方根和平方根的差异，牢记立方根的符号规律，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8

3. 下列计算正确的是()。

A.$2\sqrt{3} × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$5\sqrt{5} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2} ÷ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. D

【分析】
本题考查二次根式的四则运算规则，解题时需逐个分析选项，结合二次根式的乘法、加减法、除法运算规则判断选项正误即可：1.二次根式乘法：系数相乘为积的系数，被开方数相乘为积的被开方数，最后化简结果；2.二次根式加减法：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并；3.二次根式除法：计算时需进行分母有理化，将分母中的根号去掉。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：$2\sqrt{3} × 3\sqrt{3} = (2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{3}) = 6×3 = 18$，不等于$6\sqrt{3}$，故A错误。
选项B：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式，无法直接合并相加，故B错误。
选项C：$5\sqrt{5}$和$2\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，无法直接合并相减，故C错误。
选项D：$\sqrt{2} ÷ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，将分子分母同乘$\sqrt{3}$进行分母有理化，得$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘除运算、同类二次根式合并、分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查运算规则的掌握程度，解题时要注意区分可合并和不可合并的二次根式，运算时严格遵循规则计算即可。
【难度系数】
0.8

4. 化简：$\sqrt{49 × 25} =$ ；$\sqrt{64 × 7} =$ ；$\sqrt{\dfrac{3}{4}} =$ 。

4. 35；$8\sqrt{7}$；$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

【分析】
解决这类二次根式化简问题，首先要回忆二次根式的相关性质：1. 积的算术平方根等于各非负因数算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$；2. 商的算术平方根等于非负被除式的算术平方根除以正除式的算术平方根，即$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$。解题时先判断被开方数的形式，乘积形式用积的性质拆分，分数形式用商的性质拆分，把能开得尽方的因数开方后整理即可得到结果。
【解析】
1. 化简$\sqrt{49×25}$：
根据积的算术平方根性质，可得$\sqrt{49×25}=\sqrt{49}×\sqrt{25}$，
因为$\sqrt{49}=7$，$\sqrt{25}=5$，所以原式$=7×5=35$。
2. 化简$\sqrt{64×7}$：
根据积的算术平方根性质，可得$\sqrt{64×7}=\sqrt{64}×\sqrt{7}$，
因为$\sqrt{64}=8$，所以原式$=8\sqrt{7}$。
3. 化简$\sqrt{\dfrac{3}{4}}$：
根据商的算术平方根性质，可得$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$，
因为$\sqrt{4}=2$，所以原式$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
35；$8\sqrt{7}$；$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题核心是熟练掌握二次根式的积、商算术平方根性质，拆分时注意先识别被开方数中能开得尽方的因数，准确开方即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9

5. 计算：
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{27}-\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3)$\sqrt{10}×(\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{8})$；
(4)$(\sqrt{3}+1)^2 - (\sqrt{3}-1)^2$。

5. (1) $2\sqrt{2}$。
(2) $\dfrac{8}{3}\sqrt{3}$。
(3) $-3\sqrt{5}$。
(4) $4\sqrt{3}$。

【分析】
这组题目是二次根式的四则运算题，解题遵循二次根式运算规则：1. 加减运算：先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式；2. 乘法运算：可运用乘法分配律简化计算，二次根式相乘时被开方数相乘、根指数不变，最后再化简；3. 整式的平方差、完全平方公式在二次根式运算中同样适用，合理选用公式可减少计算量。
【解析】
(1) 先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式：
$\sqrt{18}-\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
(2) 先化简二次根式，再合并同类二次根式：
$\sqrt{27}-\sqrt{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}=(3-\frac{1}{3})\sqrt{3}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$
(3) 运用乘法分配律展开，结合二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{10}×(\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{8}) = \sqrt{10}×\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{10}×\sqrt{8}$
根据$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$得：
$=\sqrt{10×\frac{1}{2}} - \sqrt{10×8} = \sqrt{5} - \sqrt{80}$
化简后合并同类二次根式：
$=\sqrt{5} - 4\sqrt{5}=-3\sqrt{5}$
(4) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，令$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$：
$(\sqrt{3}+1)^2 - (\sqrt{3}-1)^2 = [(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)]×[(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)]$
计算括号内结果后相乘：
$=2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；(2) $\dfrac{8}{3}\sqrt{3}$；(3) $-3\sqrt{5}$；(4) $4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式四则运算，乘法公式应用
【点评】
本题属于二次根式运算的基础常规题，侧重考察二次根式的化简规则、同类二次根式的合并方法，以及运算律、整式乘法公式在二次根式运算中的迁移运用，掌握基础运算规则即可顺利解题，计算时需注意二次根式化简的准确性。
【难度系数】
0.8

6. $\sqrt{a^2}=|a|$是二次根式的一条重要性质。请利用该性质解答以下问题：
(1)化简：$\sqrt{2^2}=$，$\sqrt{(-3)^2}=$，$\sqrt{(3-π)^2}=$；
(2)已知实数$a,b,c$在数轴上的对应点如图2-3-2所示，化简$\sqrt{a^2}-|c-a|+\sqrt{(b-c)^2}$。

6. (1) 2 3 $π-3$
(2) 解:由题图得 $a＜b＜0＜c$，
所以 $c-a＞0,b-c＜0$，
所以原式 $=|a|-(c-a)+|b-c|$
$=-a-c+a-b+c$
$=-b$。

【分析】
（1）小题直接利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先将二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号即可得到结果。
（2）小题首先观察数轴，得到$a＜b＜0＜c$的大小关系，据此分别判断$a$、$c-a$、$b-c$的正负性，再将原式中的二次根式利用性质转化为绝对值，最后根据绝对值的意义去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算：
$\sqrt{2^2}=|2|=2$；
$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$；
因为$π\approx3.14＞3$，即$3-π＜0$，因此$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$。
(2) 由数轴上点的位置可得$a＜b＜0＜c$，
因此$a＜0$，$c-a＞0$，$b-c＜0$，
对原式变形化简：
$\begin{aligned}原式&=|a|-|c-a|+|b-c|\\&=-a-(c-a)+[-(b-c)]\\&=-a -c +a -b +c\\&=-b\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$；$\boxed{π-3}$
(2) $\boxed{-b}$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；数轴与实数的关系
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，核心是掌握“$\sqrt{a^2}$先化简为绝对值，再去符号”的步骤，避免直接忽略符号出错，结合数轴判断代数式正负是这类化简题的常用方法。
【难度系数】
0.7

7. 若最简二次根式$\sqrt[3x-10]{2x+y-5}$和$\sqrt{x-3y+11}$可以合并。
(1)求$x$，$y$的值。
(2)求$\sqrt{x^2+y^2}$的平方根。

7. 解:(1)根据二次根式的定义,得 $3x-10=2$,解得 $x=4$。
又因为 $\sqrt[3x-10]{2x+y-5}$ 和 $\sqrt{x-3y+11}$ 可以合并,所以 $2x+y-5=x-3y+11$，
把 $x=4$ 代入,解得 $y=3$。
(2) $x^2+y^2=4^2+3^2=25$，
所以 $\sqrt{x^2+y^2}=5$。
因为 5 的平方根为 $\pm\sqrt{5}$，
所以 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的平方根为 $\pm\sqrt{5}$。

【分析】
解决第(1)问时，首先回忆二次根式的定义：二次根式的根指数为2，据此可先列方程求出x的值；其次，能合并的最简二次根式的被开方数相等，再代入x的值即可求出y的值。解决第(2)问时，先将x、y代入算出$x^2+y^2$的值，再求其算术平方根，最后计算该算术平方根的平方根即可，注意平方根有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
(1) 根据二次根式的定义，二次根式的根指数为2，因此：
$3x-10=2$
解得 $x=4$
因为两个最简二次根式可以合并，所以被开方数相等，可得：
$2x+y-5=x-3y+11$
将$x=4$代入上式：
$2×4+y-5=4-3y+11$
整理得$4y=12$，解得$y=3$。
(2) 将$x=4$，$y=3$代入得：
$x^2+y^2=4^2+3^2=16+9=25$
因此$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{25}=5$
根据平方根的定义，5的平方根为$\pm\sqrt{5}$，即$\sqrt{x^2+y^2}$的平方根为$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x=4$，$y=3$；(2) $\pm\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的定义，同类二次根式的性质，平方根的运算
【点评】
本题属于二次根式基础题型，核心考察二次根式的相关概念，易错点有两处：一是忽略二次根式根指数为2的隐含条件，二是求平方根时漏写负根，掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.7