1. 在同一平面直角坐标系中画出函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 和 $y=-x^2$ 的图象.

1.【解】列表如下.
| $x$ | $···$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $···$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ | $···$ |
| $y=-x^2$ | $···$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $···$ |
在同一平面直角坐标系中描点、连线,如图所示.

【分析】
要绘制二次函数的图象，遵循描点法画函数图象的标准步骤：列表、描点、连线。首先观察到两个函数都是$y=ax^2$的形式，图象关于y轴对称，因此选取x值时优先选对称的整数值（如-2、-1、0、1、2），可减少计算量；接下来将选取的x值分别代入两个函数解析式，计算对应的y值整理成表格；再根据表格中的坐标在坐标系中描出对应点，最后用平滑曲线顺次连接各点，即可得到两个函数的图象。
【解析】
1. 列表：选取对称的x值，分别代入两个函数计算对应y值，结果如下：
| $x$ | $···$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $···$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ | $···$ |
| $y=-x^2$ | $···$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $···$ |
2. 描点：根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描出所有对应点。
3. 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，最终得到两个函数的图象。
【答案】
列表如下.
| $x$ | $···$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $···$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ | $···$ |
| $y=-x^2$ | $···$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $···$ |
在同一平面直角坐标系中描点、连线,如图所示.

【知识点】
描点法画函数图象，二次函数$y=ax^2$的图象，二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，重点考查描点法作图的步骤掌握，解题时利用二次函数$y=ax^2$的对称性选取x值可简化计算，掌握作图三步法即可顺利解答，是后续学习复杂二次函数图象的重要基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题2】关于函数 $y=2x^2$，下列叙述错误的是 （）

A.函数图象经过原点
B.函数图象的顶点坐标为$(0,0)$
C.函数图象开口向下
D.函数图象的对称轴为$y$轴
【解析】二次函数 $y=2x^2$ 图象的顶点坐标为$(0,0)$，经过原点，故选项A，B中叙述正确。因为$2＞0$，所以函数图象开口向上，选项C中叙述错误。二次函数 $y=2x^2$ 图象的对称轴为$y$轴，选项D中叙述正确。
【答案】C

C

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时可先回忆$y=ax^2$的图象特征相关知识点，再结合本题中$a=2$的取值，逐一验证四个选项的描述是否正确，最终选出叙述错误的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$：
1. 其顶点坐标为$(0,0)$，因此图象经过原点，故A、B选项叙述正确；
2. 二次项系数$a=2＞0$，因此函数图象开口向上，故C选项叙述错误；
3. 该函数图象的对称轴为$y$轴，故D选项叙述正确。
本题要求选出叙述错误的选项，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 开口方向判断
3. 顶点与对称轴
【点评】
本题属于基础题型，核心是对二次函数$y=ax^2$基本性质的识记与应用，熟练掌握$a$的符号与开口方向的对应关系、顶点坐标、对称轴等内容即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 下列关于函数$y=ax^2(a≠0)$的说法中，
错误的有 （）
①它的图象是抛物线；
②对称轴是$y$轴；
③该函数图象的顶点坐标是$(0,0)$；
④当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
⑤当$a＜0$时，图象开口向下.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2.A

【分析】
要判断错误说法的个数，需结合二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象与性质，对5个说法逐一验证即可。首先回忆该函数的图象形状、对称轴、顶点坐标、增减性、开口方向的相关结论，再逐个对应判断对错，最后统计错误的数量选择对应选项。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
①二次函数的图象都是抛物线，$y=ax^2(a≠0)$是二次函数，所以它的图象是抛物线，该说法正确；
②对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=0$，因此对称轴为$x=0$，即$y$轴，该说法正确；
③将$x=0$代入$y=ax^2$得$y=0$，因此该函数图象的顶点坐标是$(0,0)$，该说法正确；
④当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴：此时当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。未说明$x$的取值范围就说$y$随$x$的增大而增大是错误的，该说法错误；
⑤二次函数$y=ax^2(a≠0)$的开口方向由$a$的符号决定：当$a＜0$时，图象开口向下，该说法正确。
综上，错误的说法只有1个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象特征；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是描述二次函数增减性时忽略取值范围，增减性必须结合对称轴所在的区间描述，不能笼统概括整个定义域内的变化情况。
【难度系数】
0.8

【典型例题3】已知函数$y=ax^2(a＞0)$的图象上有$A(2,y_1),B(3,y_2),C(-1,y_3)$三个点，试比较$y_1,y_2,y_3$的大小。
思路导引 要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，可以先把各点变换到二次函数图象对称轴的同一侧，再利用二次函数的性质进行比较。
【解】因为抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴，点$C(-1,y_3)$在抛物线上，所以点$(1,y_3)$也在该抛物线上。因为$a＞0$，所以当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。因为$3＞2＞1$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
规律方法 比较二次函数$y=ax^2(a≠0)$函数值大小的常用方法。
1. 代入法：将点的横坐标代入函数解析式，求出对应的纵坐标后进行比较。
2. 增减性：将不在对称轴同侧的点利用二次函数图象的对称性，变换到同一侧，再结合开口方向利用对称轴两侧的增减性

解：
抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴，
∵点$C(-1,y_3)$在该抛物线上，由二次函数图象的对称性可知，点$(1,y_3)$也在该抛物线上。
∵$a＞0$，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
又∵$3＞2＞1$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。

【分析】
本题考查二次函数图象上点的函数值大小比较，解题时可按以下思路思考：首先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：开口向上，对称轴为$y$轴，$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，且关于$y$轴对称的点函数值相等。解题可选择两种方法：一是代入法，分别将三个点的横坐标代入解析式求出对应函数值再比较；二是利用增减性比较，由于A、B在对称轴右侧，C在对称轴左侧，先利用对称性将C点对称到对称轴右侧得到点$(1,y_3)$，此时三个点都在$x＞0$的区间，再结合该区间的增减性，通过比较横坐标大小即可得到函数值的大小关系。
【解析】
抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴，
∵点$C(-1,y_3)$在该抛物线上，由二次函数图象的对称性可知，点$(1,y_3)$也在该抛物线上。
∵$a＞0$，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
又
∵$3＞2＞1$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
$y_2＞y_1＞y_3$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性及对称性，既可以用代入求值的方法直接比较，也可以通过对称转化结合增减性快速判断，两种方法都建议熟练掌握。
【难度系数】
0.8