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7. 若$y=(a^2+a)x^{a^2-2a-1}$是二次函数，则（
A.$a=-1$或$a=3$
B.$a≠-1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=3$
D
）A.$a=-1$或$a=3$
B.$a≠-1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=3$
答案
7.D
解析
【分析】
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是x²的系数（即二次项系数）不为0。解题时先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再代入二次项系数验证，排除使系数为0的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量x的次数为2，即：
$a^2 - 2a - 1 = 2$
整理得：$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a = 3$ 或 $a = -1$
2. 二次项系数不为0，即：
$a^2 + a ≠ 0$
因式分解得：$a(a + 1) ≠ 0$
解得：$a ≠ 0$ 且 $a ≠ -1$
结合上述两个条件，舍去$a = -1$，因此$a = 3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法；不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的典型基础题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选A选项。解题时需注意二次函数定义的两个必要条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.6
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是x²的系数（即二次项系数）不为0。解题时先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再代入二次项系数验证，排除使系数为0的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量x的次数为2，即：
$a^2 - 2a - 1 = 2$
整理得：$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a = 3$ 或 $a = -1$
2. 二次项系数不为0，即：
$a^2 + a ≠ 0$
因式分解得：$a(a + 1) ≠ 0$
解得：$a ≠ 0$ 且 $a ≠ -1$
结合上述两个条件，舍去$a = -1$，因此$a = 3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法；不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的典型基础题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选A选项。解题时需注意二次函数定义的两个必要条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.6
8. 某共享单车公司第一个月投放1 000辆共享单车，计划三个月总共投放共享单车的数量为y(单位:辆).设该公司投放共享单车数量的月平均增长率为x，那么y关于x的函数解析式是
$y=1\ 000x^2+3\ 000x+3\ 000$
.答案
8.$y=1\ 000x^2+3\ 000x+3\ 000$
解析
【分析】
要列y关于x的函数解析式，首先需要明确三个月每个月的共享单车投放量，再将三个月的投放量相加得到总投放量，最后化简整理即可。首先已知第一个月投放1000辆，根据月平均增长率为x，可依次推出第二个月、第三个月的投放量，再求和。
【解析】
已知第一个月投放1000辆，月平均增长率为x：
1. 第二个月的投放量为：$1000(1+x)$辆
2. 第三个月的投放量为：$1000(1+x)^2$辆
3. 三个月总投放量$y$为三个月投放量之和，即：
$\begin{aligned}y&=1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2\\&=1000 + 1000 + 1000x + 1000(1+2x+x^2)\\&=2000 + 1000x + 1000 + 2000x + 1000x^2\\&=1000x^2 + 3000x + 3000\end{aligned}$
【答案】
$y=1000x^2+3000x+3000$
【知识点】
平均增长率问题、列二次函数解析式、整式的化简
【点评】
本题是实际应用类题型，解题的关键是准确区分“三个月总投放量”和“第三个月投放量”，避免误将第三个月的投放量当作总投放量，计算过程中要注意整式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
要列y关于x的函数解析式，首先需要明确三个月每个月的共享单车投放量，再将三个月的投放量相加得到总投放量，最后化简整理即可。首先已知第一个月投放1000辆，根据月平均增长率为x，可依次推出第二个月、第三个月的投放量，再求和。
【解析】
已知第一个月投放1000辆，月平均增长率为x：
1. 第二个月的投放量为：$1000(1+x)$辆
2. 第三个月的投放量为：$1000(1+x)^2$辆
3. 三个月总投放量$y$为三个月投放量之和，即：
$\begin{aligned}y&=1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2\\&=1000 + 1000 + 1000x + 1000(1+2x+x^2)\\&=2000 + 1000x + 1000 + 2000x + 1000x^2\\&=1000x^2 + 3000x + 3000\end{aligned}$
【答案】
$y=1000x^2+3000x+3000$
【知识点】
平均增长率问题、列二次函数解析式、整式的化简
【点评】
本题是实际应用类题型，解题的关键是准确区分“三个月总投放量”和“第三个月投放量”，避免误将第三个月的投放量当作总投放量，计算过程中要注意整式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
9.有一个长方体木块,其长和宽相等,高比长多2 m.已知长方体的长和宽用x(单位:m)表示.
(1)求长方体的表面积S(单位:$\mathrm{m}^2$)关于x的函数解析式.
(2)将长方体木块的表面涂上油漆,每平方米所需要的油漆费用是3元,用油漆涂满这个长方体木块的表面所需要的费用为y(单位:元),求y关于x的函数解析式.
(1)求长方体的表面积S(单位:$\mathrm{m}^2$)关于x的函数解析式.
(2)将长方体木块的表面涂上油漆,每平方米所需要的油漆费用是3元,用油漆涂满这个长方体木块的表面所需要的费用为y(单位:元),求y关于x的函数解析式.
答案
9.【解】(1)$S=2x^2+4x(x+2)=6x^2+8x$。
(2)$y=3(6x^2+8x)=18x^2+24x$。
(2)$y=3(6x^2+8x)=18x^2+24x$。
解析
【分析】
(1) 求解长方体表面积的函数解析式时，先明确各棱长：已知长和宽均为$x\ \mathrm{m}$，高比长多$2\ \mathrm{m}$，因此高为$(x+2)\ \mathrm{m}$。回忆长方体表面积公式：表面积等于2个底面面积加4个侧面面积，将各棱长代入公式后合并同类项化简，即可得到$S$关于$x$的解析式。
(2) 求解总油漆费用$y$的解析式时，明确总费用=单位面积油漆费用×总表面积，将第(1)问得到的表面积$S$乘以3，化简后即可得到$y$关于$x$的解析式。
【解析】
(1) 由题意得，长方体的长、宽均为$x\ \mathrm{m}$，高为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
根据长方体表面积公式$S=2(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$，代入棱长计算：
$\begin{aligned}S&=2x^2 + 2x(x+2) + 2x(x+2)\\&=2x^2 + 4x(x+2)\\&=2x^2 + 4x^2 + 8x\\&=6x^2 + 8x\end{aligned}$
(2) 已知每平方米油漆费用为3元，总费用$y=3S$，将$S=6x^2+8x$代入得：
$\begin{aligned}y&=3(6x^2 + 8x)\\&=18x^2 + 24x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=6x^2+8x}$
(2) $\boldsymbol{y=18x^2+24x}$
【知识点】
长方体表面积计算、列函数解析式、代数式化简
【点评】
本题结合几何实际场景考查函数解析式的列法，解题核心是牢记长方体表面积公式，理清数量关系，计算时注意同类项合并的正确性即可。
【难度系数】
0.85
(1) 求解长方体表面积的函数解析式时，先明确各棱长：已知长和宽均为$x\ \mathrm{m}$，高比长多$2\ \mathrm{m}$，因此高为$(x+2)\ \mathrm{m}$。回忆长方体表面积公式：表面积等于2个底面面积加4个侧面面积，将各棱长代入公式后合并同类项化简，即可得到$S$关于$x$的解析式。
(2) 求解总油漆费用$y$的解析式时，明确总费用=单位面积油漆费用×总表面积，将第(1)问得到的表面积$S$乘以3，化简后即可得到$y$关于$x$的解析式。
【解析】
(1) 由题意得，长方体的长、宽均为$x\ \mathrm{m}$，高为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
根据长方体表面积公式$S=2(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$，代入棱长计算：
$\begin{aligned}S&=2x^2 + 2x(x+2) + 2x(x+2)\\&=2x^2 + 4x(x+2)\\&=2x^2 + 4x^2 + 8x\\&=6x^2 + 8x\end{aligned}$
(2) 已知每平方米油漆费用为3元，总费用$y=3S$，将$S=6x^2+8x$代入得：
$\begin{aligned}y&=3(6x^2 + 8x)\\&=18x^2 + 24x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=6x^2+8x}$
(2) $\boldsymbol{y=18x^2+24x}$
【知识点】
长方体表面积计算、列函数解析式、代数式化简
【点评】
本题结合几何实际场景考查函数解析式的列法，解题核心是牢记长方体表面积公式，理清数量关系，计算时注意同类项合并的正确性即可。
【难度系数】
0.85
10.如图，用颜色不同但规格相同的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题.
第1个图形 第2个图形 第3个图形
(1)在第n个图形中，每一横行有
(2)设铺设矩形地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y关于n的函数解析式.
(3)按上述铺设方案，如果铺一块矩形地面用了506块瓷砖，求此时n的值.
第1个图形 第2个图形 第3个图形
(1)在第n个图形中，每一横行有
$(n+3)$
块瓷砖，每一竖列有$(n+2)$
块瓷砖.(用含n的代数式表示)(2)设铺设矩形地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y关于n的函数解析式.
(3)按上述铺设方案，如果铺一块矩形地面用了506块瓷砖，求此时n的值.
答案
10.【解】(1)$(n+3)$ $(n+2)$
(2)$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$。
(3)根据题意，得$n^2+5n+6=506$。
解得$n_1=20,n_2=-25$(不合题意，舍去)。
故$n$的值为20。
(2)$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$。
(3)根据题意，得$n^2+5n+6=506$。
解得$n_1=20,n_2=-25$(不合题意，舍去)。
故$n$的值为20。
解析
【分析】
1. 解答第(1)问：先观察给出的3个图形的横行、竖列瓷砖数与图形序号的对应关系：第1个图形横行有$1+3=4$块，竖列有$1+2=3$块；第2个图形横行有$2+3=5$块，竖列有$2+2=4$块；第3个图形横行有$3+3=6$块，竖列有$3+2=5$块，由此可归纳出第$n$个图形对应的行列瓷砖数表达式。
2. 解答第(2)问：矩形地面总瓷砖数等于横行瓷砖数乘竖列瓷砖数，代入第(1)问得到的表达式展开，即可得到$y$关于$n$的函数解析式。
3. 解答第(3)问：将$y=506$代入第(2)问的函数解析式，得到关于$n$的一元二次方程，求解后结合$n$为正整数的实际意义舍去不合理解，即可得到$n$的取值。
【解析】
(1) 观察图形规律可得：
第$n$个图形中，每一横行的瓷砖数为图形序号加3，即$\boldsymbol{n+3}$块；每一竖列的瓷砖数为图形序号加2，即$\boldsymbol{n+2}$块。
(2) 总瓷砖数等于横行瓷砖数与竖列瓷砖数的乘积，因此：
$y=(n+3)(n+2)$
展开整理得：$y=n^2+5n+6$（$n$为正整数）。
(3) 当总瓷砖数$y=506$时，代入解析式得：
$n^2+5n+6=506$
整理为标准一元二次方程形式：$n^2+5n-500=0$
因式分解得：$(n-20)(n+25)=0$
解得$n_1=20$，$n_2=-25$
因为$n$表示图形序号，为正整数，所以$n=-25$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(n+3)}$；$\boldsymbol{(n+2)}$
(2) $\boldsymbol{y=n^2+5n+6}$
(3) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
图形规律探究；二次函数解析式；一元二次方程的应用
【点评】
本题是图形规律与代数应用结合的典型习题，核心考查学生的归纳推理能力和代数运算能力，解题关键是准确提取图形变化规律，再结合代数知识求解，是规律类题型的常考形式。
【难度系数】
0.7
1. 解答第(1)问：先观察给出的3个图形的横行、竖列瓷砖数与图形序号的对应关系：第1个图形横行有$1+3=4$块，竖列有$1+2=3$块；第2个图形横行有$2+3=5$块，竖列有$2+2=4$块；第3个图形横行有$3+3=6$块，竖列有$3+2=5$块，由此可归纳出第$n$个图形对应的行列瓷砖数表达式。
2. 解答第(2)问：矩形地面总瓷砖数等于横行瓷砖数乘竖列瓷砖数，代入第(1)问得到的表达式展开，即可得到$y$关于$n$的函数解析式。
3. 解答第(3)问：将$y=506$代入第(2)问的函数解析式，得到关于$n$的一元二次方程，求解后结合$n$为正整数的实际意义舍去不合理解，即可得到$n$的取值。
【解析】
(1) 观察图形规律可得：
第$n$个图形中，每一横行的瓷砖数为图形序号加3，即$\boldsymbol{n+3}$块；每一竖列的瓷砖数为图形序号加2，即$\boldsymbol{n+2}$块。
(2) 总瓷砖数等于横行瓷砖数与竖列瓷砖数的乘积，因此：
$y=(n+3)(n+2)$
展开整理得：$y=n^2+5n+6$（$n$为正整数）。
(3) 当总瓷砖数$y=506$时，代入解析式得：
$n^2+5n+6=506$
整理为标准一元二次方程形式：$n^2+5n-500=0$
因式分解得：$(n-20)(n+25)=0$
解得$n_1=20$，$n_2=-25$
因为$n$表示图形序号，为正整数，所以$n=-25$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(n+3)}$；$\boldsymbol{(n+2)}$
(2) $\boldsymbol{y=n^2+5n+6}$
(3) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
图形规律探究；二次函数解析式；一元二次方程的应用
【点评】
本题是图形规律与代数应用结合的典型习题，核心考查学生的归纳推理能力和代数运算能力，解题关键是准确提取图形变化规律，再结合代数知识求解，是规律类题型的常考形式。
【难度系数】
0.7
