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基础知识·预习
问题1 三角形中有哪几种重要的线段？试画出这些线段。
问题2 通过画一个三角形的三条中线、三条角平分线、三条高，你发现了什么特点？
问题1 三角形中有哪几种重要的线段？试画出这些线段。
问题2 通过画一个三角形的三条中线、三条角平分线、三条高，你发现了什么特点？
答案
解：
问题1：三角形中的重要线段共有三种，分别是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。
1. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，任意三角形有3条中线。画图时先找出三角形三条边各自的中点，将每个中点与它的对顶点相连，即可得到三条中线。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段，任意三角形有3条角平分线。画图时用量角器平分每个内角，将角的顶点与对边上的交点相连，即可得到三条角平分线。
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，任意三角形有3条高。画图时过每个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线段，即可得到三条高。
问题2：得到的特点如下：
1. 三角形的三条中线都在三角形内部，三条中线交于三角形内的同一点。
2. 三角形的三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于三角形内的同一点。
3. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内的同一点；直角三角形的两条高就是它的两条直角边，第三条高在三角形内部，三条高交于直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外的同一点。
问题1：三角形中的重要线段共有三种，分别是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。
1. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，任意三角形有3条中线。画图时先找出三角形三条边各自的中点，将每个中点与它的对顶点相连，即可得到三条中线。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段，任意三角形有3条角平分线。画图时用量角器平分每个内角，将角的顶点与对边上的交点相连，即可得到三条角平分线。
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，任意三角形有3条高。画图时过每个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线段，即可得到三条高。
问题2：得到的特点如下：
1. 三角形的三条中线都在三角形内部，三条中线交于三角形内的同一点。
2. 三角形的三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于三角形内的同一点。
3. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内的同一点；直角三角形的两条高就是它的两条直角边，第三条高在三角形内部，三条高交于直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外的同一点。
解析
【分析】
本题为三角形基础概念类问题，解题思路如下：1. 解决问题1时，先回忆三角形中三类重要特殊线段的定义，再对应梳理每种线段的画图步骤，按照定义规范作图即可；2. 解决问题2时，可分别画出锐角、直角、钝角三类三角形的中线、角平分线、高，依次观察每类线段的所在位置、交点的位置规律，分类整理特点即可。
【解析】
首先处理问题1：先明确三角形的三类重要线段分别是中线、角平分线、高，再逐一对应每类线段的定义梳理画图方法，确保作图符合定义要求；其次处理问题2：通过实际作图观察，中线和角平分线的位置、交点规律在所有三角形中统一，高的位置和交点规律需要按锐角、直角、钝角三类三角形分别总结，注意钝角三角形的高需延长对边作图，交点在三角形外。
【答案】
问题1：三角形中的重要线段共有三种，分别是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。
1. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，任意三角形有3条中线。画图时先找出三角形三条边各自的中点，将每个中点与它的对顶点相连，即可得到三条中线。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段，任意三角形有3条角平分线。画图时用量角器平分每个内角，将角的顶点与对边上的交点相连，即可得到三条角平分线。
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，任意三角形有3条高。画图时过每个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线段，即可得到三条高。
问题2：得到的特点如下：
1. 三角形的三条中线都在三角形内部，三条中线交于三角形内的同一点。
2. 三角形的三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于三角形内的同一点。
3. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内的同一点；直角三角形的两条高就是它的两条直角边，第三条高在三角形内部，三条高交于直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外的同一点。
【知识点】
三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对三类线段的定义、画法及性质的掌握，需要结合动手作图直观理解不同类型三角形高的位置差异，是后续学习三角形相关性质的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题为三角形基础概念类问题，解题思路如下：1. 解决问题1时，先回忆三角形中三类重要特殊线段的定义，再对应梳理每种线段的画图步骤，按照定义规范作图即可；2. 解决问题2时，可分别画出锐角、直角、钝角三类三角形的中线、角平分线、高，依次观察每类线段的所在位置、交点的位置规律，分类整理特点即可。
【解析】
首先处理问题1：先明确三角形的三类重要线段分别是中线、角平分线、高，再逐一对应每类线段的定义梳理画图方法，确保作图符合定义要求；其次处理问题2：通过实际作图观察，中线和角平分线的位置、交点规律在所有三角形中统一，高的位置和交点规律需要按锐角、直角、钝角三类三角形分别总结，注意钝角三角形的高需延长对边作图，交点在三角形外。
【答案】
问题1：三角形中的重要线段共有三种，分别是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。
1. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，任意三角形有3条中线。画图时先找出三角形三条边各自的中点，将每个中点与它的对顶点相连，即可得到三条中线。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段，任意三角形有3条角平分线。画图时用量角器平分每个内角，将角的顶点与对边上的交点相连，即可得到三条角平分线。
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，任意三角形有3条高。画图时过每个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线段，即可得到三条高。
问题2：得到的特点如下：
1. 三角形的三条中线都在三角形内部，三条中线交于三角形内的同一点。
2. 三角形的三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于三角形内的同一点。
3. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内的同一点；直角三角形的两条高就是它的两条直角边，第三条高在三角形内部，三条高交于直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外的同一点。
【知识点】
三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对三类线段的定义、画法及性质的掌握，需要结合动手作图直观理解不同类型三角形高的位置差异，是后续学习三角形相关性质的重要基础。
【难度系数】
0.85
【典型例题1】如图所示.
（1）若AE是∠DAC的平分线，则AH是△的角平分线，AE是△的角平分线.
（2）若AF=FC，则△ABC的一条中线是.
（3）若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是哪些三角形的高？
【解】（1）AGF ADC
（2）BF
（3）△ABD，△ADE，△ABE，△AEC，△ABC，△ADC.
规律方法 确定三角形的高的方法：
（1）看顶点，三角形的高一定过三角形的一个顶点；（2）看垂足，垂足在顶点的对边或对边的延长线上.
（1）若AE是∠DAC的平分线，则AH是△的角平分线，AE是△的角平分线.
（2）若AF=FC，则△ABC的一条中线是.
（3）若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是哪些三角形的高？
【解】（1）AGF ADC
（2）BF
（3）△ABD，△ADE，△ABE，△AEC，△ABC，△ADC.
规律方法 确定三角形的高的方法：
（1）看顶点，三角形的高一定过三角形的一个顶点；（2）看垂足，垂足在顶点的对边或对边的延长线上.
答案
解：
（1）AGF；ADC
（2）线段BF
（3）AD是△ABD、△ADE、△ABE、△ADC、△AEC、△ABC的高。
（1）AGF；ADC
（2）线段BF
（3）AD是△ABD、△ADE、△ABE、△ADC、△AEC、△ABC的高。
解析
【分析】
解题时紧扣三角形角平分线、中线、高的定义逐一分析即可：
1. 第一问先回忆三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点的线段就是该三角形的角平分线，结合AE平分∠DAC的条件，分别判断AH、AE对应的三角形即可。
2. 第二问回忆中线定义：三角形顶点和对边中点的连线为中线，由AF=FC得F是AC中点，即可找到对应中线。
3. 第三问回忆高的定义：过三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足的线段就是高，AD垂直BC，因此所有以A为顶点、且有边在直线BC上的三角形，AD都是它们的高，按顺序枚举BC上的点组成的底边即可找出所有对应三角形，避免遗漏。
【解析】
（1）根据三角形角平分线的定义：
已知AE平分∠DAC，对于△ADC，∠DAC是它的内角，AE交∠DAC的对边DC于点E，因此AE是△ADC的角平分线；AH是AE与BF的交线段，在△AGF中，AH平分∠GAF（即∠DAC），交边GF于点H，因此AH是△AGF的角平分线。
（2）根据三角形中线的定义：
已知AF=FC，说明F是AC边的中点，AC是点B的对边，因此连接B、F的线段BF是△ABC的中线。
（3）根据三角形高的定义：
已知AD⊥BC，垂足为D，所有以A为顶点、且有一条边在直线BC上的三角形，AD都是它们的高。直线BC上的点有B、D、E、C，可组成的底边为BD、DE、BE、DC、EC、BC，对应三角形分别为△ABD、△ADE、△ABE、△ADC、△AEC、△ABC，因此AD是这6个三角形的高。
【答案】
（1）AGF；ADC
（2）线段BF
（3）AD是△ABD、△ADE、△ABE、△ADC、△AEC、△ABC的高。
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握三角形三种重要线段的定义，结合图形特征判断即可，注意找高对应的三角形时要按顺序枚举，避免漏解。
【难度系数】
0.85
解题时紧扣三角形角平分线、中线、高的定义逐一分析即可：
1. 第一问先回忆三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点的线段就是该三角形的角平分线，结合AE平分∠DAC的条件，分别判断AH、AE对应的三角形即可。
2. 第二问回忆中线定义：三角形顶点和对边中点的连线为中线，由AF=FC得F是AC中点，即可找到对应中线。
3. 第三问回忆高的定义：过三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足的线段就是高，AD垂直BC，因此所有以A为顶点、且有边在直线BC上的三角形，AD都是它们的高，按顺序枚举BC上的点组成的底边即可找出所有对应三角形，避免遗漏。
【解析】
（1）根据三角形角平分线的定义：
已知AE平分∠DAC，对于△ADC，∠DAC是它的内角，AE交∠DAC的对边DC于点E，因此AE是△ADC的角平分线；AH是AE与BF的交线段，在△AGF中，AH平分∠GAF（即∠DAC），交边GF于点H，因此AH是△AGF的角平分线。
（2）根据三角形中线的定义：
已知AF=FC，说明F是AC边的中点，AC是点B的对边，因此连接B、F的线段BF是△ABC的中线。
（3）根据三角形高的定义：
已知AD⊥BC，垂足为D，所有以A为顶点、且有一条边在直线BC上的三角形，AD都是它们的高。直线BC上的点有B、D、E、C，可组成的底边为BD、DE、BE、DC、EC、BC，对应三角形分别为△ABD、△ADE、△ABE、△ADC、△AEC、△ABC，因此AD是这6个三角形的高。
【答案】
（1）AGF；ADC
（2）线段BF
（3）AD是△ABD、△ADE、△ABE、△ADC、△AEC、△ABC的高。
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握三角形三种重要线段的定义，结合图形特征判断即可，注意找高对应的三角形时要按顺序枚举，避免漏解。
【难度系数】
0.85
1.如图,在下面方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C在小正方形的顶点上.
(1)画出$△ ABC$中边BC上的高AD；
(2)画出$△ ABC$中边AC上的中线BE；
(3)$△ ABE$的面积为
(1)画出$△ ABC$中边BC上的高AD；
(2)画出$△ ABC$中边AC上的中线BE；
(3)$△ ABE$的面积为
4
.答案
(1)如图,线段AD即为所求.
(2)如图,线段BE即为所求.
(3)4 【解析】$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×4×4=8$,
故$S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=4$.
解析
【分析】
(1) 画BC边上的高：首先明确BC为水平线段，根据三角形高的定义，需过点A向BC所在的直线作垂线，垂足为D，所得线段AD即为BC边上的高；
(2) 画AC边上的中线：先通过方格定位找到AC边的中点E，再连接点B和点E，所得线段BE即为AC边上的中线；
(3) 求△ABE的面积：首先利用三角形面积公式计算△ABC的面积，再根据“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”的性质，即可求出△ABE的面积。
【解析】
(1) 过点A作AD垂直于BC所在的直线，垂足为D，线段AD即为所求的BC边上的高；
(2) 取AC的中点E，连接BE，线段BE即为所求的AC边上的中线；
(3) 由图可知，BC的长度为4，BC边上的高AD的长度为4，因此△ABC的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
因为BE是AC边上的中线，△ABE和△CBE等底同高，面积相等，因此：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 8 = 4$
【答案】
(1) 如图,线段AD即为所求.
(2) 如图,线段BE即为所求.
(3) 4
【知识点】
三角形高的画法，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查三角形高、中线的作图及中线的性质应用，作图时要注意高是过顶点向对边所在直线作垂线，计算面积时灵活运用中线平分三角形面积的性质可简化计算。
【难度系数】
0.8
(1) 画BC边上的高：首先明确BC为水平线段，根据三角形高的定义，需过点A向BC所在的直线作垂线，垂足为D，所得线段AD即为BC边上的高；
(2) 画AC边上的中线：先通过方格定位找到AC边的中点E，再连接点B和点E，所得线段BE即为AC边上的中线；
(3) 求△ABE的面积：首先利用三角形面积公式计算△ABC的面积，再根据“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”的性质，即可求出△ABE的面积。
【解析】
(1) 过点A作AD垂直于BC所在的直线，垂足为D，线段AD即为所求的BC边上的高；
(2) 取AC的中点E，连接BE，线段BE即为所求的AC边上的中线；
(3) 由图可知，BC的长度为4，BC边上的高AD的长度为4，因此△ABC的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
因为BE是AC边上的中线，△ABE和△CBE等底同高，面积相等，因此：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 8 = 4$
【答案】
(1) 如图,线段AD即为所求.
(2) 如图,线段BE即为所求.
(3) 4
【知识点】
三角形高的画法，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查三角形高、中线的作图及中线的性质应用，作图时要注意高是过顶点向对边所在直线作垂线，计算面积时灵活运用中线平分三角形面积的性质可简化计算。
【难度系数】
0.8
