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【典型例题2】如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,$AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°$.
(1)求AD的长;
(2)求△ABE的面积;
(3)求△ACE与△ABE的周长的差.
【解】(1)因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$,
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=24$,
所以$AD=4.8$.
(2)因为AE为△ABC的中线,
所以$S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×24=12$.
(3)△ACE与△ABE的周长差为$AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$.
规律方法 1. 三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分.
2. 三角形一边上的中线把三角形分成两个小三角形,这两个小三角形的周长差等于这个三角形另两边的差.
(1)求AD的长;
(2)求△ABE的面积;
(3)求△ACE与△ABE的周长的差.
【解】(1)因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$,
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=24$,
所以$AD=4.8$.
(2)因为AE为△ABC的中线,
所以$S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×24=12$.
(3)△ACE与△ABE的周长差为$AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$.
规律方法 1. 三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分.
2. 三角形一边上的中线把三角形分成两个小三角形,这两个小三角形的周长差等于这个三角形另两边的差.
答案
解：
(1) ∵ ∠CAB=90°，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
∵ AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=24$，
即 $\frac{1}{2}× AD×10=24$，
解得 $AD=4.8$。
(2) ∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×24=12$。
(3) △ACE的周长为$AC+CE+AE$，△ABE的周长为$AB+BE+AE$，
∵ AE是△ABC的中线，∴ $CE=BE$，
∴ 两个三角形的周长差为：
$(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$。
(1) ∵ ∠CAB=90°，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
∵ AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=24$，
即 $\frac{1}{2}× AD×10=24$，
解得 $AD=4.8$。
(2) ∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×24=12$。
(3) △ACE的周长为$AC+CE+AE$，△ABE的周长为$AB+BE+AE$，
∵ AE是△ABC的中线，∴ $CE=BE$，
∴ 两个三角形的周长差为：
$(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$。
解析
【分析】
（1）求AD的长时，已知△ABC是直角三角形，可先通过两条直角边计算出三角形的面积，再利用三角形面积的另一种计算方式：斜边乘斜边上的高再除以2，用等面积法建立等式即可求出AD的长度。
（2）求△ABE的面积时，AE是△ABC的中线，中线会将三角形分为两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为大三角形面积的一半，代入第一问求出的大三角形面积即可求解。
（3）求两个三角形的周长差时，先分别写出两个三角形的周长表达式，结合中线性质可知BE=CE，且两个三角形有公共边AE，化简后周长差即为AC与AB的长度差，代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵ ∠CAB=90°，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
∵ AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=24$，
即 $\frac{1}{2}× AD×10=24$，
解得 $AD=4.8$。
(2)
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，△ABE和△ACE等底同高，
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×24=12$。
(3) △ACE的周长为$AC+CE+AE$，△ABE的周长为$AB+BE+AE$，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $CE=BE$，
∴ 两个三角形的周长差为：
$(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$。
【答案】
(1) $AD=4.8$；
(2) $△ ABE$的面积为12；
(3) $△ ACE$与$△ ABE$的周长差为2。
【知识点】
1. 三角形高与中线的性质
2. 等面积法求线段长
3. 三角形周长计算
【点评】
本题围绕三角形的高和中线设置问题，解题核心是灵活运用中线分三角形为面积相等的两部分、等面积法求高的技巧，计算周长差时注意抵消公共边和相等线段，可简化计算过程，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
（1）求AD的长时，已知△ABC是直角三角形，可先通过两条直角边计算出三角形的面积，再利用三角形面积的另一种计算方式：斜边乘斜边上的高再除以2，用等面积法建立等式即可求出AD的长度。
（2）求△ABE的面积时，AE是△ABC的中线，中线会将三角形分为两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为大三角形面积的一半，代入第一问求出的大三角形面积即可求解。
（3）求两个三角形的周长差时，先分别写出两个三角形的周长表达式，结合中线性质可知BE=CE，且两个三角形有公共边AE，化简后周长差即为AC与AB的长度差，代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵ ∠CAB=90°，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
∵ AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=24$，
即 $\frac{1}{2}× AD×10=24$，
解得 $AD=4.8$。
(2)
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，△ABE和△ACE等底同高，
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×24=12$。
(3) △ACE的周长为$AC+CE+AE$，△ABE的周长为$AB+BE+AE$，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $CE=BE$，
∴ 两个三角形的周长差为：
$(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$。
【答案】
(1) $AD=4.8$；
(2) $△ ABE$的面积为12；
(3) $△ ACE$与$△ ABE$的周长差为2。
【知识点】
1. 三角形高与中线的性质
2. 等面积法求线段长
3. 三角形周长计算
【点评】
本题围绕三角形的高和中线设置问题，解题核心是灵活运用中线分三角形为面积相等的两部分、等面积法求高的技巧，计算周长差时注意抵消公共边和相等线段，可简化计算过程，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$△ ABC$的角平分线BD和CE相交于点O，连接AO，若$∠ BAC = 70°$，则$∠ OAE$的度数为
35°
。答案
35° 【解析】因为三角形的三条角平分线交于一点，所以AO平分$∠BAC$,所以$∠OAE=\frac{1}{2}×70°=35°$.
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，已知BD和CE是△ABC的两条角平分线，且交于点O，结合三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于同一点，可推出AO是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的小角，因此∠OAE的度数为∠BAC的一半，代入已知角度计算即可。
【解析】
∵ 三角形的三条角平分线交于一点，BD、CE是△ABC的角平分线且交于点O，
∴ AO平分∠BAC，即AO是∠BAC的角平分线，
根据角平分线的定义可得：$∠ OAE = \frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵ $∠ BAC = 70°$，
∴ $∠ OAE = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形角平分线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是牢记三角形三条角平分线交于同一点的性质，快速判断出AO是∠BAC的角平分线，再结合角平分线的定义计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题目条件，已知BD和CE是△ABC的两条角平分线，且交于点O，结合三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于同一点，可推出AO是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的小角，因此∠OAE的度数为∠BAC的一半，代入已知角度计算即可。
【解析】
∵ 三角形的三条角平分线交于一点，BD、CE是△ABC的角平分线且交于点O，
∴ AO平分∠BAC，即AO是∠BAC的角平分线，
根据角平分线的定义可得：$∠ OAE = \frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵ $∠ BAC = 70°$，
∴ $∠ OAE = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形角平分线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是牢记三角形三条角平分线交于同一点的性质，快速判断出AO是∠BAC的角平分线，再结合角平分线的定义计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
1. 如图，$CD$，$CE$，$CF$ 分别是$△ ABC$的高、角平分线和中线，则下列各式中错误的是（
A.$AB=2BF$
B.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ BE$
C
）A.$AB=2BF$
B.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ BE$
答案
C
解析
【分析】
解答本题的核心是准确掌握三角形的高、角平分线、中线的定义，逐一分析每个选项对应的线段性质，判断是否符合对应线段的特征，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们结合三类线段的定义逐一判断：
1. 因为CF是△ABC的中线，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，因此F是AB的中点，可得$AB=2BF$，故A选项正确；
2. 因为CE是△ABC的角平分线，角平分线是平分三角形一个内角的线段，因此CE平分$∠ACB$，可得$∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB$，故B选项正确；
3. CE是角平分线，仅能说明CE平分$∠ACB$，无法说明E是AB的中点，因此不能推出$AE=BE$，故C选项错误；
4. 因为CD是△ABC的高，高是从三角形顶点向对边作的垂线段，因此$CD⊥AB$，而BE是AB上的线段，可得$CD⊥BE$，故D选项正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记三角形三类特殊线段的定义和性质，区分清楚三类线段的不同作用，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解答本题的核心是准确掌握三角形的高、角平分线、中线的定义，逐一分析每个选项对应的线段性质，判断是否符合对应线段的特征，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们结合三类线段的定义逐一判断：
1. 因为CF是△ABC的中线，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，因此F是AB的中点，可得$AB=2BF$，故A选项正确；
2. 因为CE是△ABC的角平分线，角平分线是平分三角形一个内角的线段，因此CE平分$∠ACB$，可得$∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB$，故B选项正确；
3. CE是角平分线，仅能说明CE平分$∠ACB$，无法说明E是AB的中点，因此不能推出$AE=BE$，故C选项错误；
4. 因为CD是△ABC的高，高是从三角形顶点向对边作的垂线段，因此$CD⊥AB$，而BE是AB上的线段，可得$CD⊥BE$，故D选项正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记三角形三类特殊线段的定义和性质，区分清楚三类线段的不同作用，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是 （
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对
C
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
解题时可分别回忆锐角、钝角、直角三类三角形三条高的交点位置，再结合题目“三条高的交点是三角形的一个顶点”的条件逐一比对，通过排除不符合要求的选项，即可锁定正确答案。
【解析】
我们分别分析三类三角形高的交点位置：
1. 锐角三角形：三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不符合“交点是三角形的一个顶点”的要求，排除A；
2. 钝角三角形：有2条高落在三角形的外部，三条高的交点在三角形外部，也不符合要求，排除B；
3. 直角三角形：两条直角边本身就是对方的高，第三条斜边上的高在三角形内部，三条高的交点恰好就是直角顶点，完全符合题意。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；直角三角形的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型三角形高的交点位置，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时可分别回忆锐角、钝角、直角三类三角形三条高的交点位置，再结合题目“三条高的交点是三角形的一个顶点”的条件逐一比对，通过排除不符合要求的选项，即可锁定正确答案。
【解析】
我们分别分析三类三角形高的交点位置：
1. 锐角三角形：三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不符合“交点是三角形的一个顶点”的要求，排除A；
2. 钝角三角形：有2条高落在三角形的外部，三条高的交点在三角形外部，也不符合要求，排除B；
3. 直角三角形：两条直角边本身就是对方的高，第三条斜边上的高在三角形内部，三条高的交点恰好就是直角顶点，完全符合题意。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；直角三角形的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型三角形高的交点位置，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在方格纸中,点A,B,C,D,E,F,G均在格点上,则$△ ABC$的重心是 （
A.点G
B.点D
C.点E
D.点F
B
）A.点G
B.点D
C.点E
D.点F
答案
B
解析
【分析】解题首先要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此只需找到△ABC任意两条中线的交点，即可确定重心。首先回忆中线的概念：三角形的中线是顶点到对边中点的线段，结合格点位置观察经过各点的线段，判断哪些是△ABC的中线，再找中线的交点即可。
【解析】根据三角形重心的定义，三角形三条中线的交点为重心：
1. 观察格点可知，过点A、F、D的线段经过BC边的中点，是△ABC的一条中线；
2. 过点C、G、D、E的线段经过AB边的中点，是△ABC的另一条中线；
两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】B
【知识点】三角形重心的定义；三角形中线的定义
【点评】本题是基础概念应用题，核心考查对三角形重心定义的理解，解题关键是抓住“重心是三条中线的交点”这一核心特征，通过识别两条中线的交点即可得到答案。
【难度系数】0.8
【解析】根据三角形重心的定义，三角形三条中线的交点为重心：
1. 观察格点可知，过点A、F、D的线段经过BC边的中点，是△ABC的一条中线；
2. 过点C、G、D、E的线段经过AB边的中点，是△ABC的另一条中线；
两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】B
【知识点】三角形重心的定义；三角形中线的定义
【点评】本题是基础概念应用题，核心考查对三角形重心定义的理解，解题关键是抓住“重心是三条中线的交点”这一核心特征，通过识别两条中线的交点即可得到答案。
【难度系数】0.8
