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4.如图,在$△ ABC$中,如果过点$B$作$PB⊥ BC$交边$AC$于点$P$,过点$C$作$CQ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$Q$,那么图中线段
CQ
是$△ ABC$的一条高.答案
CQ
解析
【分析】
要判断哪条线段是△ABC的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。我们分别分析两条线段是否符合定义即可：首先看PB，它过点B且垂直于BC，垂直的是边BC而非点B的对边AC，不符合高的要求；再看CQ，它过顶点C，垂直于AB所在的直线，垂足Q在AB的延长线上，三角形的高可以在三角形外部，符合高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高。
1. 分析线段PB：PB⊥BC，其垂直的线段是BC，不是顶点B的对边AC，因此PB不是△ABC的高；
2. 分析线段CQ：CQ从△ABC的顶点C出发，垂直于AB所在的直线，垂足为Q，满足三角形高的定义，因此CQ是△ABC的高。
【答案】
CQ
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查对三角形高的概念的掌握，需要注意三角形的高不仅可以在三角形内部，也可以在三角形的外部或边上，判断时紧扣“从顶点向对边所在直线作垂线”这一核心特征即可。
【难度系数】
0.8
要判断哪条线段是△ABC的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。我们分别分析两条线段是否符合定义即可：首先看PB，它过点B且垂直于BC，垂直的是边BC而非点B的对边AC，不符合高的要求；再看CQ，它过顶点C，垂直于AB所在的直线，垂足Q在AB的延长线上，三角形的高可以在三角形外部，符合高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高。
1. 分析线段PB：PB⊥BC，其垂直的线段是BC，不是顶点B的对边AC，因此PB不是△ABC的高；
2. 分析线段CQ：CQ从△ABC的顶点C出发，垂直于AB所在的直线，垂足为Q，满足三角形高的定义，因此CQ是△ABC的高。
【答案】
CQ
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查对三角形高的概念的掌握，需要注意三角形的高不仅可以在三角形内部，也可以在三角形的外部或边上，判断时紧扣“从顶点向对边所在直线作垂线”这一核心特征即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图
,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,DE//BC,交AC于点E,若∠ACB=60°,则∠EDC的度数为
,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,DE//BC,交AC于点E,若∠ACB=60°,则∠EDC的度数为30°
.答案
30° 【解析】因为CD是$△ABC$的角平分线，所以$∠BCD=∠DCE=\frac{1}{2}∠ACB=30°$.
因为$DE// BC$,所以$∠EDC=∠BCD=30°$.
因为$DE// BC$,所以$∠EDC=∠BCD=30°$.
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先看到CD是△ABC的角平分线，结合给出的∠ACB的度数，可先根据角平分线的定义算出∠BCD的度数；再根据DE平行BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，可知∠EDC和∠BCD相等，即可求出∠EDC的度数。
【解析】
∵ CD是△ABC的角平分线，∠ACB=60°，
∴ $∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC=∠ BCD=30°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
30°
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察角平分线定义和平行线性质的应用，只要熟练掌握相关概念和性质，找准角的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时从已知条件逐步推导：首先看到CD是△ABC的角平分线，结合给出的∠ACB的度数，可先根据角平分线的定义算出∠BCD的度数；再根据DE平行BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，可知∠EDC和∠BCD相等，即可求出∠EDC的度数。
【解析】
∵ CD是△ABC的角平分线，∠ACB=60°，
∴ $∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC=∠ BCD=30°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
30°
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察角平分线定义和平行线性质的应用，只要熟练掌握相关概念和性质，找准角的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.9
6.等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，求腰长.
答案
【解】设腰长为2x,则有$x+2x=9$或$x+2x=12$,
解得$x=3$或4,且均符合题意,所以腰长为6或8.
解得$x=3$或4,且均符合题意,所以腰长为6或8.
解析
【分析】
本题是等腰三角形与中线结合的周长计算问题，解题思路如下：1. 腰上的中线会将腰分成相等的两段，为了避免分数计算，可设腰长为2x，那么半段腰的长度为x；2. 题目没有明确周长分成的12和9两部分分别对应哪部分，因此需要分类讨论：一种是腰长加半腰长的和为9，另一种是腰长加半腰长的和为12；3. 计算出腰长后，需要验证对应的三边长是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的无效解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为2x，则腰上的中线将腰分为两段长度均为x的线段，分两种情况讨论：
情况1：腰长与半腰长的和为9，列方程得：
$x+2x=9$
解得$x=3$，此时腰长为$2x=6$。
对应的底边长为$12-x=12-3=9$，三边长为6、6、9，满足$6+6＞9$，可以构成三角形。
情况2：腰长与半腰长的和为12，列方程得：
$x+2x=12$
解得$x=4$，此时腰长为$2x=8$。
对应的底边长为$9-x=9-4=5$，三边长为8、8、5，满足$8+5＞8$，可以构成三角形。
两种情况均符合要求。
【答案】
腰长为6或8
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形的常见易错题，解题核心是要养成分类讨论的思维，同时要注意几何题的计算结果必须符合实际的几何规则，求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形与中线结合的周长计算问题，解题思路如下：1. 腰上的中线会将腰分成相等的两段，为了避免分数计算，可设腰长为2x，那么半段腰的长度为x；2. 题目没有明确周长分成的12和9两部分分别对应哪部分，因此需要分类讨论：一种是腰长加半腰长的和为9，另一种是腰长加半腰长的和为12；3. 计算出腰长后，需要验证对应的三边长是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的无效解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为2x，则腰上的中线将腰分为两段长度均为x的线段，分两种情况讨论：
情况1：腰长与半腰长的和为9，列方程得：
$x+2x=9$
解得$x=3$，此时腰长为$2x=6$。
对应的底边长为$12-x=12-3=9$，三边长为6、6、9，满足$6+6＞9$，可以构成三角形。
情况2：腰长与半腰长的和为12，列方程得：
$x+2x=12$
解得$x=4$，此时腰长为$2x=8$。
对应的底边长为$9-x=9-4=5$，三边长为8、8、5，满足$8+5＞8$，可以构成三角形。
两种情况均符合要求。
【答案】
腰长为6或8
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形的常见易错题，解题核心是要养成分类讨论的思维，同时要注意几何题的计算结果必须符合实际的几何规则，求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
7. 如图，AE是$△ ABC$的中线，点D在边AB上，$AD=2BD$，CD与AE交于点F，设$△ ADF$的面积为$S_1$，$△ CEF$的面积为$S_2$，若$S_{△ ABC}=9$，则$S_1 - S_2 =$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
（第7题图）
（第8题图）
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
（第7题图）
（第8题图）
答案
C 【解析】因为$BE=CE$,所以$BE=\frac{1}{2}BC$.因为$S_{△ABC}=9$,所以$S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$.因为$AD=2BD$,$S_{△ABC}=9$,所以$S_{△BCD}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=\frac{1}{3}×9=3$.因为$S_{△ADF}-S_{△CEF}=(S_{△ADF}+S_{四边形BEFD})-(S_{△CEF}+S_{四边形BEFD})=S_{△ABE}-S_{△BCD}$,所以$S_1-S_2=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的条件：AE是△ABC的中线，可推出△ABE的面积是△ABC的一半；AD=2BD可推出△BCD的面积是△ABC的三分之一。直接求$S_1$和$S_2$的面积比较困难，我们可以利用“两个图形同时加上相同的公共部分，差不变”的思路，给$S_1$和$S_2$都加上四边形BEFD的面积，将$S_1-S_2$转化为△ABE和△BCD的面积差，再代入计算即可。
【解析】
∵ AE是△ABC的中线，
∴ E是BC的中点，$BE=\frac{1}{2}BC$，△ABE与△ABC同高，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$。
∵ $AD=2BD$，
∴ $BD=\frac{1}{3}AB$，△BCD与△ABC同高，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×9=3$。
又
∵ $S_{△ ABE}=S_1 + S_{四边形BEFD}$，$S_{△ BCD}=S_2 + S_{四边形BEFD}$，
两式相减得：$S_{△ ABE} - S_{△ BCD} = (S_1 + S_{四边形BEFD}) - (S_2 + S_{四边形BEFD}) = S_1 - S_2$，
∴ $S_1 - S_2 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，同高三角形面积关系，面积差转化
【点评】
本题不需要分别计算两个小三角形的面积，通过转化思想将所求面积差转化为两个易求的三角形面积差，是解决这类面积差问题的常用技巧，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.6
解题时先观察题目给出的条件：AE是△ABC的中线，可推出△ABE的面积是△ABC的一半；AD=2BD可推出△BCD的面积是△ABC的三分之一。直接求$S_1$和$S_2$的面积比较困难，我们可以利用“两个图形同时加上相同的公共部分，差不变”的思路，给$S_1$和$S_2$都加上四边形BEFD的面积，将$S_1-S_2$转化为△ABE和△BCD的面积差，再代入计算即可。
【解析】
∵ AE是△ABC的中线，
∴ E是BC的中点，$BE=\frac{1}{2}BC$，△ABE与△ABC同高，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$。
∵ $AD=2BD$，
∴ $BD=\frac{1}{3}AB$，△BCD与△ABC同高，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×9=3$。
又
∵ $S_{△ ABE}=S_1 + S_{四边形BEFD}$，$S_{△ BCD}=S_2 + S_{四边形BEFD}$，
两式相减得：$S_{△ ABE} - S_{△ BCD} = (S_1 + S_{四边形BEFD}) - (S_2 + S_{四边形BEFD}) = S_1 - S_2$，
∴ $S_1 - S_2 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的性质，同高三角形面积关系，面积差转化
【点评】
本题不需要分别计算两个小三角形的面积，通过转化思想将所求面积差转化为两个易求的三角形面积差，是解决这类面积差问题的常用技巧，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2$,$G$是$AD$的中点,连接$BG$并延长,交$AC$于点$E$,$F$为$AB$上一点,$CF ⊥ AD$交$AD$于点$H$.
给出下列说法:①$AD$是$△ ABE$的角平分线;②$BE$是$△ ABD$的边$AD$上的中线;③$CH$为$△ ACD$的边$AD$上的高;④$AH$是$△ ACF$的角平分线和高线.其中正确的说法有
给出下列说法:①$AD$是$△ ABE$的角平分线;②$BE$是$△ ABD$的边$AD$上的中线;③$CH$为$△ ACD$的边$AD$上的高;④$AH$是$△ ACF$的角平分线和高线.其中正确的说法有
③④
.(填序号)答案
③④ 【解析】AD是$△ABC$的角平分线,①错误;BG是$△ABD$的边AD上的中线,②错误;③④正确.
解析
【分析】
要判断各说法是否正确，首先要明确三角形角平分线、中线、高的定义，再结合题目给出的条件，逐一验证每个说法是否符合对应线段的定义即可。
【解析】
根据三角形角平分线、中线、高的定义逐一判断：
① 三角形的角平分线是连接三角形一个内角顶点和它对边交点的线段。△ABE的角平分线需要与边BE相交，已知AD与BE交于点G，仅AG是△ABE的角平分线，AD的端点D在BC上，不属于△ABE的边，因此AD不是△ABE的角平分线，①错误；
② 三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。G是AD中点，因此仅BG是△ABD边AD上的中线，BE的端点E在AC上，因此BE不是△ABD边AD上的中线，②错误；
③ 三角形的高是从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。已知CF⊥AD，垂足为H，C是△ACD的顶点，AD是△ACD的边，因此CH是△ACD边AD上的高，③正确；
④ 已知∠1=∠2，说明AH平分∠CAF，又CF⊥AD即AH⊥CF，H在CF上，因此AH同时满足△ACF的角平分线和高线的定义，④正确。
【答案】
③④
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题重点考查对三角形三类基本线段定义的辨析，解题时要注意区分整条线段和线段的一部分，准确抓住三类线段的端点特征即可正确判断。
【难度系数】
0.7
要判断各说法是否正确，首先要明确三角形角平分线、中线、高的定义，再结合题目给出的条件，逐一验证每个说法是否符合对应线段的定义即可。
【解析】
根据三角形角平分线、中线、高的定义逐一判断：
① 三角形的角平分线是连接三角形一个内角顶点和它对边交点的线段。△ABE的角平分线需要与边BE相交，已知AD与BE交于点G，仅AG是△ABE的角平分线，AD的端点D在BC上，不属于△ABE的边，因此AD不是△ABE的角平分线，①错误；
② 三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。G是AD中点，因此仅BG是△ABD边AD上的中线，BE的端点E在AC上，因此BE不是△ABD边AD上的中线，②错误；
③ 三角形的高是从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。已知CF⊥AD，垂足为H，C是△ACD的顶点，AD是△ACD的边，因此CH是△ACD边AD上的高，③正确；
④ 已知∠1=∠2，说明AH平分∠CAF，又CF⊥AD即AH⊥CF，H在CF上，因此AH同时满足△ACF的角平分线和高线的定义，④正确。
【答案】
③④
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题重点考查对三角形三类基本线段定义的辨析，解题时要注意区分整条线段和线段的一部分，准确抓住三类线段的端点特征即可正确判断。
【难度系数】
0.7
9.请仅用无刻度的直尺完成下列画图(不写画法,保留画图痕迹).
(1)如图1,在△ABC中,E,F分别为AB,BC的中点,请在图1中画出AC的中点M；
(2)如图2,在四边形ABCD中,E,F,G分别为AB,BC,AD的中点,请在图2中画出CD的中点N.
(1)如图1,在△ABC中,E,F分别为AB,BC的中点,请在图1中画出AC的中点M；
(2)如图2,在四边形ABCD中,E,F,G分别为AB,BC,AD的中点,请在图2中画出CD的中点N.
答案
【解】(1)如图①,点M即为所求.
(2)如图②,点N即为所求.
解析
【分析】
(1) 利用三角形三条中线交于重心的性质解题：已知E是AB中点，因此CE是△ABC中AB边上的中线；F是BC中点，因此AF是△ABC中BC边上的中线。先找到两条中线的交点（即重心），由于三角形第三条中线必过重心，因此连接点B与重心并延长，与AC的交点就是AC的中点M。
(2) 将四边形拆分为两个三角形，结合三角形重心性质解题：首先处理△ABD，E是AB中点、G是AD中点，作出△ABD的两条中线BG、DE，两线交点为△ABD的重心，连接点A与重心并延长交BD于点O，可得BD的中点O；再处理△BCD，F是BC中点、O是BD中点，作出△BCD的两条中线DF、CO，两线交点为△BCD的重心，连接点B与重心并延长交CD于点N，即为CD的中点。
【解析】
(1) ①连接AF、CE，两条线段交于点P（△ABC的重心）；②连接BP并延长，与AC边的交点即为所求的AC中点M。
(2) ①连接BG、DE，两条线段交于点P₁（△ABD的重心）；②连接AP₁并延长，与BD交于点O，得到BD的中点O；③连接DF、CO，两条线段交于点P₂（△BCD的重心）；④连接BP₂并延长，与CD边的交点即为所求的CD中点N。
【答案】
(1) 如图①,点M即为所求.
(2) 如图②,点N即为所求.
【知识点】
1. 三角形中线性质
2. 三角形重心性质
3. 中点的判定
【点评】
本题侧重考查三角形重心相关性质的灵活应用，将四边形的作图问题转化为熟悉的三角形中线作图问题，体现了转化的数学思想，能有效锻炼学生的几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 利用三角形三条中线交于重心的性质解题：已知E是AB中点，因此CE是△ABC中AB边上的中线；F是BC中点，因此AF是△ABC中BC边上的中线。先找到两条中线的交点（即重心），由于三角形第三条中线必过重心，因此连接点B与重心并延长，与AC的交点就是AC的中点M。
(2) 将四边形拆分为两个三角形，结合三角形重心性质解题：首先处理△ABD，E是AB中点、G是AD中点，作出△ABD的两条中线BG、DE，两线交点为△ABD的重心，连接点A与重心并延长交BD于点O，可得BD的中点O；再处理△BCD，F是BC中点、O是BD中点，作出△BCD的两条中线DF、CO，两线交点为△BCD的重心，连接点B与重心并延长交CD于点N，即为CD的中点。
【解析】
(1) ①连接AF、CE，两条线段交于点P（△ABC的重心）；②连接BP并延长，与AC边的交点即为所求的AC中点M。
(2) ①连接BG、DE，两条线段交于点P₁（△ABD的重心）；②连接AP₁并延长，与BD交于点O，得到BD的中点O；③连接DF、CO，两条线段交于点P₂（△BCD的重心）；④连接BP₂并延长，与CD边的交点即为所求的CD中点N。
【答案】
(1) 如图①,点M即为所求.
(2) 如图②,点N即为所求.
【知识点】
1. 三角形中线性质
2. 三角形重心性质
3. 中点的判定
【点评】
本题侧重考查三角形重心相关性质的灵活应用，将四边形的作图问题转化为熟悉的三角形中线作图问题，体现了转化的数学思想，能有效锻炼学生的几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC,CE ⊥ AB$,垂足分别为点$D$和点$E$,$AD$与$CE$交于点$O$,连接$BO$并延长交$AC$于点$F$,若$AB=5,BC=4,AC=6$,则$CE:AD:BF=$
12 : 15 : 10
. 答案
12 : 15 : 10 【解析】因为锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点,所以$BF⊥AC$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CE=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BF$.设$S_{△ABC}=\frac{a}{2}$,因为$AB=5,BC=4,AC=6$,所以$\frac{1}{2}×5CE=\frac{1}{2}×4AD=\frac{1}{2}×6BF=\frac{a}{2}$,所以$5CE=4AD=6BF=a$,则$CE=\frac{a}{5},AD=\frac{a}{4},BF=\frac{a}{6}$,故$CE:AD:BF=\frac{a}{5}:\frac{a}{4}:\frac{a}{6}=12:15:10$.
解析
【分析】
首先根据锐角三角形三条高线交于同一点的性质，可知BF是AC边上的高，即BF⊥AC。由于同一个三角形的面积是固定的，我们可以分别以AB、BC、AC为底，对应的高CE、AD、BF来表示△ABC的面积，得到三个面积表达式相等，进而推导出CE、AD、BF之间的关系，最后化简得到三者的比值即可。
【解析】
∵在锐角△ABC中，三条高线交于三角形内部一点，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，
∴BF是AC边上的高，即BF⊥AC。
根据三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CE=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BF$。
设$S_{△ABC}=\frac{a}{2}$（a为常数），
∵AB=5，BC=4，AC=6，
∴$\frac{1}{2}×5·CE=\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}×4·AD=\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}×6·BF=\frac{a}{2}$，
化简得：$5CE=a$，$4AD=a$，$6BF=a$，
∴$CE=\frac{a}{5}$，$AD=\frac{a}{4}$，$BF=\frac{a}{6}$，
∴$CE:AD:BF=\frac{a}{5}:\frac{a}{4}:\frac{a}{6}$，消去a后通分（分母5、4、6的最小公倍数是60）得：
$CE:AD:BF=12:15:10$。
【答案】
12 : 15 : 10
【知识点】
三角形高的性质，三角形面积公式，比的化简
【点评】
本题是利用等面积法求解线段比值的典型题型，解题的关键是先明确三角形三条高交于一点，判断出BF为AC边上的高，再借助同一个三角形面积相等的特征建立三条高的等量关系，计算时注意比值化简要消去公共项、化为最简整数比即可，方法技巧性较强，熟练掌握等面积法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先根据锐角三角形三条高线交于同一点的性质，可知BF是AC边上的高，即BF⊥AC。由于同一个三角形的面积是固定的，我们可以分别以AB、BC、AC为底，对应的高CE、AD、BF来表示△ABC的面积，得到三个面积表达式相等，进而推导出CE、AD、BF之间的关系，最后化简得到三者的比值即可。
【解析】
∵在锐角△ABC中，三条高线交于三角形内部一点，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，
∴BF是AC边上的高，即BF⊥AC。
根据三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CE=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BF$。
设$S_{△ABC}=\frac{a}{2}$（a为常数），
∵AB=5，BC=4，AC=6，
∴$\frac{1}{2}×5·CE=\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}×4·AD=\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}×6·BF=\frac{a}{2}$，
化简得：$5CE=a$，$4AD=a$，$6BF=a$，
∴$CE=\frac{a}{5}$，$AD=\frac{a}{4}$，$BF=\frac{a}{6}$，
∴$CE:AD:BF=\frac{a}{5}:\frac{a}{4}:\frac{a}{6}$，消去a后通分（分母5、4、6的最小公倍数是60）得：
$CE:AD:BF=12:15:10$。
【答案】
12 : 15 : 10
【知识点】
三角形高的性质，三角形面积公式，比的化简
【点评】
本题是利用等面积法求解线段比值的典型题型，解题的关键是先明确三角形三条高交于一点，判断出BF为AC边上的高，再借助同一个三角形面积相等的特征建立三条高的等量关系，计算时注意比值化简要消去公共项、化为最简整数比即可，方法技巧性较强，熟练掌握等面积法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
