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1.如图，$BD// AC$，不作辅助线，证明三角形内角和定理. 
答案
【证明】因为 $BD // AC$, 所以 $∠ 2 = ∠ A$, $∠ DBC + ∠ C = 180°$. 因为 $∠ DBC = ∠ 1 + ∠ 2$, 所以 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ C = 180°$, 即 $∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$.
解析
【分析】
要证明三角形内角和为180°，可结合已知的$BD// AC$，借助平行线的性质完成角的转化：首先利用“两直线平行，内错角相等”得到$∠2=∠A$，将$△ ABC$的内角$∠A$转化为$∠2$；再利用“两直线平行，同旁内角互补”得到$∠DBC+∠C=180°$，而$∠DBC$是$△ ABC$的内角$∠ABC$，等于$∠1$与$∠2$的和，最后通过等量代换就能得到$△ ABC$三个内角的和为180°，完成定理证明。
【解析】
证明：
∵ $BD // AC$（已知）
∴ $∠ 2 = ∠ A$（两直线平行，内错角相等），$∠ DBC + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵ $∠ DBC = ∠ 1 + ∠ 2$（角的和的定义）
将$∠ DBC = ∠ 1 + ∠ 2$代入$∠ DBC + ∠ C = 180°$，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ C = 180°$
再将$∠ 2 = ∠ A$、$∠ 1+∠ 2=∠ ABC$代入上式，等量代换得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，即三角形三个内角的和为$180°$。
【答案】
三角形的三个内角的和等于$180°$（或$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$）
【知识点】
平行线的性质，角的和差，等量代换
【点评】
本题借助平行线的性质证明三角形内角和定理，核心是利用平行线实现角的等量转化，将分散的三角形内角整合为互补的同旁内角，是几何转化思想的基础应用，能帮助理解平行线性质与三角形内角和的关联。
【难度系数】
0.8
要证明三角形内角和为180°，可结合已知的$BD// AC$，借助平行线的性质完成角的转化：首先利用“两直线平行，内错角相等”得到$∠2=∠A$，将$△ ABC$的内角$∠A$转化为$∠2$；再利用“两直线平行，同旁内角互补”得到$∠DBC+∠C=180°$，而$∠DBC$是$△ ABC$的内角$∠ABC$，等于$∠1$与$∠2$的和，最后通过等量代换就能得到$△ ABC$三个内角的和为180°，完成定理证明。
【解析】
证明：
∵ $BD // AC$（已知）
∴ $∠ 2 = ∠ A$（两直线平行，内错角相等），$∠ DBC + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵ $∠ DBC = ∠ 1 + ∠ 2$（角的和的定义）
将$∠ DBC = ∠ 1 + ∠ 2$代入$∠ DBC + ∠ C = 180°$，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ C = 180°$
再将$∠ 2 = ∠ A$、$∠ 1+∠ 2=∠ ABC$代入上式，等量代换得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，即三角形三个内角的和为$180°$。
【答案】
三角形的三个内角的和等于$180°$（或$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$）
【知识点】
平行线的性质，角的和差，等量代换
【点评】
本题借助平行线的性质证明三角形内角和定理，核心是利用平行线实现角的等量转化，将分散的三角形内角整合为互补的同旁内角，是几何转化思想的基础应用，能帮助理解平行线性质与三角形内角和的关联。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】一副三角尺摆放位置如图所示，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，求∠DFC的度数.
思路导引 根据三角形的内角和定理，可先求得∠BFO的度数，再利用平角定义计算∠DFC的度数.
【解】在△AOE与△FOB中，∠E＝∠B＝90°，∠AOE＝∠FOB，由三角形内角和定理，可得∠BFO＝∠EAO＝35°，
所以∠DFC＝180°－∠BFO－∠EFD＝180°－35°－45°＝100°.
思路导引 根据三角形的内角和定理，可先求得∠BFO的度数，再利用平角定义计算∠DFC的度数.
【解】在△AOE与△FOB中，∠E＝∠B＝90°，∠AOE＝∠FOB，由三角形内角和定理，可得∠BFO＝∠EAO＝35°，
所以∠DFC＝180°－∠BFO－∠EFD＝180°－35°－45°＝100°.
答案
解：
由三角尺的性质可知，$∠ E=90°$，$∠ B=90°$，$∠ EFD=45°$。
在$△ AOE$中，$∠ E=90°$，$∠ EAO=∠ EAB=35°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ AOE=180°-∠ E-∠ EAO=55°$。
因为$∠ AOE$和$∠ FOB$是对顶角，所以$∠ FOB=∠ AOE=55°$。
在$△ FOB$中，$∠ B=90°$，$∠ FOB=55°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ BFO=180°-∠ B-∠ FOB=35°$。
由平角的定义可知$∠ BFO + ∠ EFD + ∠ DFC = 180°$，
所以$∠ DFC=180°-∠ BFO-∠ EFD=180°-35°-45°=100°$。
由三角尺的性质可知，$∠ E=90°$，$∠ B=90°$，$∠ EFD=45°$。
在$△ AOE$中，$∠ E=90°$，$∠ EAO=∠ EAB=35°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ AOE=180°-∠ E-∠ EAO=55°$。
因为$∠ AOE$和$∠ FOB$是对顶角，所以$∠ FOB=∠ AOE=55°$。
在$△ FOB$中，$∠ B=90°$，$∠ FOB=55°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ BFO=180°-∠ B-∠ FOB=35°$。
由平角的定义可知$∠ BFO + ∠ EFD + ∠ DFC = 180°$，
所以$∠ DFC=180°-∠ BFO-∠ EFD=180°-35°-45°=100°$。
解析
【分析】
解题时首先明确三角尺的固有角度：$∠ E=90°$、$∠ B=90°$、$∠ EFD=45°$。第一步，已知$∠ EAO=∠ EAB=35°$，在$\mathrm{Rt}△ AOE$中利用三角形内角和定理求出$∠ AOE$的度数；第二步，根据对顶角相等的性质，得到$∠ FOB$与$∠ AOE$相等；第三步，在$\mathrm{Rt}△ FOB$中再次利用三角形内角和定理求出$∠ BFO$的度数；最后，根据点$F$处的三个角$∠ BFO$、$∠ EFD$、$∠ DFC$组成平角，和为$180°$，代入已知角度即可算出$∠ DFC$的度数。
【解析】
由三角尺的性质可知，$∠ E=90°$，$∠ B=90°$，$∠ EFD=45°$。
在$△ AOE$中，$∠ E=90°$，$∠ EAO=∠ EAB=35°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ AOE=180°-∠ E-∠ EAO=180°-90°-35°=55°$。
因为$∠ AOE$和$∠ FOB$是对顶角，所以$∠ FOB=∠ AOE=55°$。
在$△ FOB$中，$∠ B=90°$，$∠ FOB=55°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ BFO=180°-∠ B-∠ FOB=180°-90°-55°=35°$。
由平角的定义可知$∠ BFO + ∠ EFD + ∠ DFC = 180°$，
所以$∠ DFC=180°-∠ BFO-∠ EFD=180°-35°-45°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；平角的定义
【点评】
本题结合三角尺的固定角度特征，考查角度的推导计算，解题的核心是熟练掌握角的等量关系，逐步转化已知条件求解未知角，计算时要注意角度的加减不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确三角尺的固有角度：$∠ E=90°$、$∠ B=90°$、$∠ EFD=45°$。第一步，已知$∠ EAO=∠ EAB=35°$，在$\mathrm{Rt}△ AOE$中利用三角形内角和定理求出$∠ AOE$的度数；第二步，根据对顶角相等的性质，得到$∠ FOB$与$∠ AOE$相等；第三步，在$\mathrm{Rt}△ FOB$中再次利用三角形内角和定理求出$∠ BFO$的度数；最后，根据点$F$处的三个角$∠ BFO$、$∠ EFD$、$∠ DFC$组成平角，和为$180°$，代入已知角度即可算出$∠ DFC$的度数。
【解析】
由三角尺的性质可知，$∠ E=90°$，$∠ B=90°$，$∠ EFD=45°$。
在$△ AOE$中，$∠ E=90°$，$∠ EAO=∠ EAB=35°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ AOE=180°-∠ E-∠ EAO=180°-90°-35°=55°$。
因为$∠ AOE$和$∠ FOB$是对顶角，所以$∠ FOB=∠ AOE=55°$。
在$△ FOB$中，$∠ B=90°$，$∠ FOB=55°$，
根据三角形内角和定理，得$∠ BFO=180°-∠ B-∠ FOB=180°-90°-55°=35°$。
由平角的定义可知$∠ BFO + ∠ EFD + ∠ DFC = 180°$，
所以$∠ DFC=180°-∠ BFO-∠ EFD=180°-35°-45°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；平角的定义
【点评】
本题结合三角尺的固定角度特征，考查角度的推导计算，解题的核心是熟练掌握角的等量关系，逐步转化已知条件求解未知角，计算时要注意角度的加减不要出错。
【难度系数】
0.7
