5.已知△ABC 的三边长分别为a，b，c，则|a+b−c|−|a−b−c|=.

5. 2a−2c 【解析】由三角形三边的关系,得a+b＞c,b+c＞a,所以a+b−c＞0,a−b−c＜0,故原式=a+b−c−(b+c−a)=2a−2c.

【分析】
要解决这个含绝对值的化简问题，首先需要明确绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此第一步要判断两个绝对值内代数式的正负性。结合已知是三角形的三边长，可利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断符号：首先a和b是三角形的两条边，两边之和大于第三边c，因此a+b−c为正；第二个式子a−b−c可变形为a−(b+c)，b和c的和大于第三边a，因此a−b−c为负。确定符号后去绝对值，再合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+b＞c$，$b+c＞a$
因此$a+b-c＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$
根据绝对值的性质化简原式：
$\begin{aligned}|a+b−c|−|a−b−c|&=a+b-c-(b+c-a)\\&=a+b-c-b-c+a\\&=2a-2c\end{aligned}$
【答案】
$2a-2c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值化简
【点评】
本题属于基础题型，综合考查三角形三边关系和绝对值的运算，解题的核心是正确利用三边关系判断绝对值内代数式的正负，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.已知三角形的三条边长分别为3,5和x.
(1)若3是该三角形的最短边长,求x的取值范围;
(2)若x是小于7的奇数,试判断该三角形的形状(按边分类).

6.【解】(1)由题意,得5−3＜x＜5+3,即2＜x＜8.
因为3是最短边长,所以x≥3,
所以x的取值范围是3≤x＜8.
(2)由(1)可知2＜x＜8,因为x是小于7的奇数,
所以x=3或x=5,所以这个三角形的三边长为3,3,5或3,5,5,所以该三角形的形状为等腰三角形.

【分析】
(1) 解题第一步先运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出x的基础取值范围；再结合“3是最短边长”的限定条件，可知x不能小于3，将两个范围合并即可得到x的最终取值范围。
(2) 先沿用第一问得到的x的取值范围，再根据“x是小于7的奇数”的要求筛选出符合条件的x的值，最后观察三边长是否存在相等的边，按边的分类规则判断三角形形状即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：
$5-3 ＜ x ＜ 5+3$，即$2 ＜ x ＜ 8$
因为3是该三角形的最短边长，所以x不能小于3，即$x≥3$
联立两个条件可得x的取值范围是$3≤ x ＜ 8$。
(2) 由(1)可知$2 ＜ x ＜ 8$，结合x是小于7的奇数，可得x的取值为3或5：
当x=3时，三角形三边长为3、3、5，存在两条相等的边，为等腰三角形；
当x=5时，三角形三边长为3、5、5，存在两条相等的边，为等腰三角形。
因此该三角形为等腰三角形。
【答案】
(1) $3≤ x＜8$
(2) 等腰三角形
【知识点】
三角形三边关系，三角形按边分类，不等式取值范围确定
【点评】
本题是三角形边相关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握三角形三边关系，易错点是容易忽略“最短边”对应的取值等号，第二问筛选x的取值时要结合所有限定条件，避免多取或漏取符合要求的x值。
【难度系数】
0.7

7.将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，如图所示，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图所示的物体，则图中a的值可以是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

7. B 【解析】长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a,则底边长为6−2a.
由题意,得$\begin{cases}6-2a＜2a, \\6-2a＞a-a,\end{cases}$解得$\frac{3}{2}＜a＜3$.
所给选项中只有2符合题意.故选B.

【分析】
解题时首先要明确：长方形沿虚线折叠后围成的几何体底面是等腰三角形，原长方形的长6就是这个等腰三角形的周长，其中等腰三角形的两条腰长均为a，因此底边长为$6-2a$。接下来根据三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边）以及边长为正数的隐含要求，列出关于a的一元一次不等式组，求解得到a的取值范围后，对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：由题意得，围成的几何体底面等腰三角形的腰长为a，底边长为$6-2a$。
根据三角形三边关系和边长为正的条件，列不等式组：
$\begin{cases}2a ＞ 6-2a \\6-2a ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$4a＞6$，得$a＞\frac{3}{2}$
解第二个不等式：
$2a＜6$，得$a＜3$
因此a的取值范围为$\frac{3}{2}＜a＜3$，选项中只有2符合该范围。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合了折叠与三角形的相关知识，核心是通过折叠性质确定三角形的三边长，再利用三角形三边的限制条件列不等式求解，解题时不要忽略边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.7

8. 如图，小明做了一个四边形木框模型ABCD，发现它并不稳固，于是想增加一根木条使其稳固，现量得$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AD=5\ \mathrm{cm}$，试问一根3 cm长的木条能否满足要求，并说明理由.

8.【解】如图,因为三角形具有稳定性,所以增加的木条为AC或BD.

由三角形三边的关系,得BC−AB＜AC,AC＜AB+BC,DC−AD＜AC,AC＜AD+DC,解得AC的取值范围是4 cm＜AC＜11 cm.
同理,可得BD的取值范围是2 cm＜BD＜9 cm.
故3 cm长的木条能把这个四边形木框模型固定.

【分析】
要使四边形木框稳固，需利用三角形的稳定性，添加木条作为四边形的对角线AC或BD，将四边形拆分为两个三角形。接下来需分别根据三角形三边关系（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边），求出AC、BD的取值范围，再判断3cm是否在二者的取值范围内，即可得出结论。
【解析】
1. 原理依据：三角形具有稳定性，因此添加的木条应为四边形的对角线AC或BD，连接后可将四边形分为两个三角形，让木框保持稳固。
2. 求AC的取值范围：
在△ABC中，已知AB=4cm，BC=8cm，根据三角形三边关系，得：
$BC - AB ＜ AC ＜ AB + BC$，即$8-4 ＜ AC ＜ 4+8$，化简得$4\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 11\mathrm{cm}$；
在△ADC中，已知AD=5cm，CD=6cm，同理得：
$CD - AD ＜ AC ＜ AD + CD$，即$6-5 ＜ AC ＜ 5+6$，化简得$1\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 11\mathrm{cm}$；
取两个范围的公共部分，可得AC的取值范围为$4\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 11\mathrm{cm}$。
3. 求BD的取值范围：
在△ABD中，已知AB=4cm，AD=5cm，根据三边关系得：
$AD - AB ＜ BD ＜ AB + AD$，即$5-4 ＜ BD ＜ 4+5$，化简得$1\mathrm{cm} ＜ BD ＜ 9\mathrm{cm}$；
在△BCD中，已知BC=8cm，CD=6cm，同理得：
$BC - CD ＜ BD ＜ BC + CD$，即$8-6 ＜ BD ＜ 8+6$，化简得$2\mathrm{cm} ＜ BD ＜ 14\mathrm{cm}$；
取两个范围的公共部分，可得BD的取值范围为$2\mathrm{cm} ＜ BD ＜ 9\mathrm{cm}$。
4. 判断3cm木条是否符合要求：
3cm不在AC的取值范围内，但在BD的取值范围内，因此可以将3cm的木条作为对角线BD安装，使木框稳固。
【答案】
【解】如图,因为三角形具有稳定性,所以增加的木条为AC或BD.

由三角形三边的关系,得BC−AB＜AC,AC＜AB+BC,DC−AD＜AC,AC＜AD+DC,解得AC的取值范围是4 cm＜AC＜11 cm.
同理,可得BD的取值范围是2 cm＜BD＜9 cm.
故3 cm长的木条能把这个四边形木框模型固定.
【知识点】
三角形的稳定性；三角形三边关系
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形相关性质的应用，解题的关键是明确要让四边形稳固需添加对角线构造三角形，再通过三角形三边关系求出对角线的取值范围，求解范围时需注意对角线要同时满足所在两个三角形的三边条件，需取两个区间的公共部分。
【难度系数】
0.7

9.如图,用钉子把木棒AB,BC和CD分别在端点B,C处连接起来(端点处可活动),用橡皮筋把AD连接起来.设橡皮筋AD的长是x.
(1)若AB=5,CD=3,BC=11,试求x的最大值和最小值;
(2)在(1)的条件下要围成一个四边形,请直接写出x的取值范围.

9.【解】(1)要求AD的最大值,即AB,BC与CD在一条直线上,且四点从左到右依次为A,B,C,D.
因为AB=5,CD=3,BC=11,
所以AD的最大值为AB+BC+CD=5+11+3=19.
要求AD的最小值,即BA,BC与DC共线,且四点从左到右依次为B,A,D,C,所以AD的最小值为BC−AB−CD=11−5−3=3.
综上可得,x的最大值是19,最小值是3.
(2)3＜x＜19.

【分析】
(1)求解AD长度的最值时，结合端点可活动的特点思考：要让AD最长，只需把AB、BC、CD三条线段沿同一方向拉成一条直线，此时AD的长度就是三条线段的长度和；要让AD最短，只需把AB、CD向BC的内侧折叠，让A、D都落在BC所在的直线上，此时AD的长度就是BC的长度减去AB和CD的长度。
(2)如果要围成四边形，四条边不能共线，因此AD的长度不能等于最大值和最小值，只需在最大值和最小值之间取值即可。
【解析】
(1)求x的最大值：将AB、BC、CD顺次排列在同一条直线上，四点顺序为A、B、C、D，此时AD长度为三条线段长度之和：
$x_{\mathrm{最大值}}=AB+BC+CD=5+11+3=19$
求x的最小值：将AB、CD向BC内侧旋转，使A、D落在BC所在直线上，四点顺序为B、A、D、C，此时AD长度为BC长度减去AB、CD的长度：
$x_{\mathrm{最小值}}=BC-AB-CD=11-5-3=3$
综上，x的最大值是19，最小值是3。
(2)要围成四边形，四条线段不能共线，因此AD的长度不能取最值，故x的取值范围是$3＜x＜19$。
【答案】
(1)x的最大值为19，最小值为3；
(2)$3＜x＜19$
【知识点】
线段和差计算、四边形构成条件
【点评】
本题考查动态线段的最值求解和四边形边长范围的确定，解题的关键是明确线段共线时AD取到最值，围成四边形时不能出现线段共线的情况，属于几何基础常考题。
【难度系数】
0.7