4.如图,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为18,则△ACF与△BDE的面积之和是 ()


A.6
B.8
C.9
D.12

4.A 【解析】因为∠1=∠ABE+∠BAE,∠BAC=∠BAE+∠FAC,∠1=∠BAC,所以∠ABE + ∠BAE=∠BAE+∠FAC,所以∠ABE=∠FAC.
因为∠1=∠2,所以∠AEB=∠CFA.
在△ABE 和△CAF 中,$\begin{cases}∠ABE=∠CAF, \\∠AEB=∠CFA, \\AB=CA,\end{cases}$
所以△ABE≌△CAF(AAS),所以$S_{△ABE}=S_{△CAF}$,所以$S_{△ACF}+S_{△BDE}=S_{△ABE}+S_{△BDE}=S_{△ABD}$.
因为△ABC 的面积为 18,CD=2BD,所以$S_{△ABD}=\frac{1}{3}×18=6$,所以△ACF 与△BDE 的面积之和是 6.

【分析】
解题时首先观察已知的等角和等边条件，优先考虑通过角的和差关系推导相等角，证明三角形全等，实现面积的转化。第一步，利用∠1=∠BAC，结合角的和差推出∠ABE=∠FAC；第二步，由∠1=∠2可得它们的邻补角∠AEB=∠CFA，结合AB=AC，用AAS判定△ABE≌△CAF，可得二者面积相等，因此所求的△ACF与△BDE的面积和可转化为△ABD的面积；第三步，根据CD=2BD，可知BD是BC的$\frac{1}{3}$，△ABD与△ABC同高，面积比等于底的比，代入△ABC的面积即可算出结果。
【解析】
因为∠1=∠ABE+∠BAE，∠BAC=∠BAE+∠FAC，且∠1=∠BAC，
所以∠ABE + ∠BAE=∠BAE+∠FAC，即∠ABE=∠FAC。
因为∠1=∠2，所以$180°-∠1=180°-∠2$，即∠AEB=∠CFA。
在△ABE 和△CAF 中，
$\begin{cases}∠ABE=∠CAF, \\∠AEB=∠CFA, \\AB=CA,\end{cases}$
所以△ABE≌△CAF(AAS)，因此$S_{△ ABE}=S_{△ CAF}$。
所以$S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$。
因为△ABC 的面积为 18，CD=2BD，即$BD=\frac{1}{3}BC$，△ABD和△ABC同高，
所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×18=6$，即△ACF 与△BDE 的面积之和是6。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查全等三角形的判定、性质与三角形面积的计算，核心解题思路是通过等角关系证明三角形全等，将未知的面积和转化为易求的三角形面积，再结合线段比例求解，是全等三角形在面积问题中应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

5. 小明沿一段笔直的人行道AB行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语. 如图，$AB// OH// CD$，相邻两条平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，$OD⊥ CD$，垂足为D. 已知$AB=20\ \mathrm{m}$，请根据上述信息求标语CD的长.

5.【解】因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°.
因为AB//CD,所以∠ABO=∠CDO=90°. 由相邻两条平行线间的距离相等,得OB=OD.
在△AOB 和△COD 中,$\begin{cases}∠ABO=∠CDO, \\OB=OD, \\∠AOB=∠COD,\end{cases}$
所以△AOB≌△COD(ASA),
所以CD=AB=20 m.

【分析】
要计算标语CD的长度，已知AB的长度，可通过证明CD、AB所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等求解。首先根据AB//CD、OD⊥CD可推出OB⊥AB，得到一组相等的角；再根据相邻两条平行线间的距离相等，可得OB=OD，得到一组相等的边；结合对顶角相等，即可通过ASA判定两个三角形全等，进而得到CD的长度。
【解析】
解：
∵$OD⊥CD$，
∴$∠CDO=90°$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ABO=∠CDO=90°$。
由相邻两条平行线间的距离相等，可得$OB=OD$。
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ABO=∠CDO \\OB=OD \\∠AOB=∠COD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，
∴$CD=AB=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{20\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平行线的性质；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是结合已知条件找到三角形全等的判定条件，侧重对基础定理理解和运用能力的考查。
【难度系数】
0.8

6. 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线，且点B和点C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E。

(1)求证:BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时(BD＜CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系是怎样的?请予以证明.
(3)若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时(BD＞CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系是怎样的?请直接写出结果,不需说明理由.

6. (1)【证明】因为BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠AEC=90°. 因为∠BAC=90°,所以∠ABD + ∠BAD=∠CAE + ∠BAD=90°,所以∠ABD=∠CAE. 在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases}∠ABD=∠CAE, \\∠ADB=∠CEA, \\AB=CA,\end{cases}$
所以△ABD≌△CAE(AAS),所以BD=AE,AD=CE. 因为AE=AD+DE,所以BD=DE+CE.
(2)【解】BD=DE-CE. 证明如下:
因为BD⊥AE,CE⊥AE,
所以∠BDA=∠AEC=90°,
所以∠DAB+∠ABD=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠DAB+∠CAE=90°,
所以∠ABD=∠CAE.
在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases}∠BDA=∠AEC, \\∠ABD=∠CAE, \\AB=CA,\end{cases}$
所以△ABD≌△CAE(AAS),所以BD=AE,AD=CE,
所以BD=AE=DE-AD=DE-CE.
(3)【解】BD=DE-CE.

【分析】
本题是动态几何探究题，三小问的解题思路一致：首先根据垂直条件得到直角相等，结合∠BAC=90°，利用“同角的余角相等”推出∠ABD=∠CAE，再结合AB=AC的条件，用AAS证明△ABD≌△CAE，得到对应边BD=AE、AD=CE，最后结合不同图形中线段的和差关系，推导得出BD与DE、CE的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD + ∠BAD=∠CAE + ∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE。
在△ABD 和△CAE 中：
$\begin{cases}∠ABD=∠CAE \\∠ADB=∠CEA \\AB=CA\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE。
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE。
(2) BD=DE-CE，证明如下：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°。
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE。
在△ABD 和△CAE 中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠ABD=∠CAE \\AB=CA\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE。
∵AE=DE-AD，
∴BD=DE-CE。
(3) 根据前两问的全等推导逻辑，直接可得结论：BD=DE-CE。
【答案】
(1) $BD=DE+CE$；
(2) $BD=DE-CE$；
(3) $BD=DE-CE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于动态几何探究类习题，通过直线AE的位置变化设置分层问题，解题时要抓住“△ABD≌△CAE”这一不变的核心关系，结合线段和差规律推导结论，有助于提升逻辑推理能力和动态分析意识。
【难度系数】
0.6