【典型例题 2】如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AB=DC$,$∠ 1=∠ 2$.求证:$AC=BD$.

思路导引 先利用“AAS”证明 $△ AOB$ 与 $△ DOC$ 全等,得到 $OA=OD$,$OB=OC$,利用线段和差关系即得 $AC=BD$.
【证明】在 $△ AOB$ 和 $△ DOC$ 中,
$\{\begin{array}{l}∠ 1=∠ 2,\\∠ AOB=∠ DOC,\\AB=DC,\end{array} $
所以 $△ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{AAS})$,
所以 $OA=OD$,$OB=OC$,
所以 $OA+OC=OD+OB$,即 $AC=BD$.
规律方法 “ASA”与“AAS”可互相转化:只要两个三角形的两组角分别相等,则其第三组角也相等,所以两角及一边分别相等的两个三角形一定全等.无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可判定两个三角形全等.

证明：在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\∠ AOB=∠ DOC,\\AB=DC,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OA=OD$，$OB=OC$，
$\therefore OA+OC=OD+OB$，
即$AC=BD$。

【分析】
要证明$AC=BD$，观察图形可知$AC=OA+OC$，$BD=OB+OD$，因此只需证得$OA=OD$、$OB=OC$即可。已知条件给出$AB=DC$，$∠1=∠2$，再结合对角线相交形成的对顶角$∠AOB=∠DOC$，可通过AAS判定$△ AOB$和$△ DOC$全等，根据全等三角形对应边相等的性质就能得到$OA=OD$、$OB=OC$，最后通过线段和的等量代换即可得出结论。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\∠AOB=∠DOC,\\AB=DC,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OA=OD$，$OB=OC$，
$\therefore OA+OC=OD+OB$，
即$AC=BD$。
【答案】
在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\∠AOB=∠DOC,\\AB=DC,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OA=OD$，$OB=OC$，
$\therefore OA+OC=OD+OB$，
即$AC=BD$。
【知识点】
AAS判定三角形全等；全等三角形的性质；对顶角相等
【点评】
本题是三角形全等判定的基础典型题，解题核心是先定位待证线段对应的全等三角形，找到全等判定的条件后，结合全等性质和线段和差关系即可推导结论，能够有效巩固三角形全等判定及性质的相关知识。
【难度系数】
0.8

2.(2024·江苏镇江中考改编)如图，∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD;
(2)若∠DAB=70°,求∠CAB的度数.

2.(1)【证明】在△ABC 和△BAD 中,
$\begin{cases}∠C=∠D=90°, \\∠CBA=∠DAB, \\AB=BA,\end{cases}$所以△ABC≌△BAD(AAS).
(2)【解】因为∠DAB = 70°,∠D = 90°,所以∠DBA=90°-70°=20°. 由(1)知△ABC≌△BAD,得∠CAB=∠DBA=20°.

【分析】
(1)要证明△ABC≌△BAD，先梳理已知条件：已知两个三角形均为直角三角形，有一组锐角∠CBA=∠DAB，同时两个三角形共用边AB，即AB=BA，三组条件符合“AAS”的全等判定规则，可直接证明全等。
(2)求∠CAB的度数时，先在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠DBA的度数，再结合(1)中全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠CAB的度数。
【解析】
(1)证明：在△ABC和△BAD中，
$\begin{cases}∠C=∠D=90°, \\∠CBA=∠DAB, \\AB=BA,\end{cases}$
所以△ABC≌△BAD(AAS)。
(2)解：因为∠D=90°，∠DAB=70°，
所以在Rt△ABD中，∠DBA=90°-∠DAB=90°-70°=20°。
由(1)知△ABC≌△BAD，根据全等三角形对应角相等，可得∠CAB=∠DBA=20°。
【答案】
(1)△ABC≌△BAD得证；(2)∠CAB=20°
【知识点】
1. AAS判定三角形全等
2. 直角三角形两锐角互余
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形相关的基础题，解题的关键是挖掘到图中公共边相等的隐含条件，结合已知角相等的条件判定全等，再利用全等的性质求解角度，侧重考查基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

1. 如图，若$AD=AC$，$∠ BAD=∠ CAE$，则添加一个条件不能证明$△ ABC ≌ △ AED$的是（）

A.$AB=AE$
B.$∠ B=∠ E$
C.$∠ C=∠ D$
D.$BC=DE$

（第1题图）
（第2题图）

1.D

【分析】
首先对已知条件进行转化：由∠BAD=∠CAE，根据等式的性质，两个角同时加上∠CAD，可得∠BAC=∠EAD，此时已经具备的证明△ABC≌△AED的条件是：∠BAC=∠EAD，AC=AD。接下来对照三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一分析各个选项添加的条件能否满足判定定理即可，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
解：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠EAD，
又已知AC=AD，对各选项逐一分析：
A. 添加AB=AE，满足“SAS”判定定理，可证明△ABC≌△AED，不符合题意；
B. 添加∠B=∠E，满足“AAS”判定定理，可证明△ABC≌△AED，不符合题意；
C. 添加∠C=∠D，满足“ASA”判定定理，可证明△ABC≌△AED，不符合题意；
D. 添加BC=DE，此时条件为“SSA”，没有对应的全等判定定理，不能证明△ABC≌△AED，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，角的和差计算
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先根据已知角的等量关系推导得到一组对应角相等，再结合已有条件和选项中的条件对照判定定理判断，需牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8

2. (2024·黑龙江牡丹江中考)如图,在$△ ABC$中,D是AB上一点,$CF// AB$,D,E,F三点共线,请添加一个条件,使得$AE=CE$.

2. DE=EF(答案不唯一)

【分析】
要使AE=CE，可通过证明△ADE≌△CFE得到对应边相等。首先由已知CF//AB，可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，同时有对顶角∠AED=∠CEF，此时两个三角形三组角对应相等，只需补充任意一组对应边相等即可判定三角形全等，进而推出AE=CE，例如添加DE=EF即可。
【解析】
已知CF//AB，根据“两直线平行，内错角相等”可得：
∠ADE=∠F，∠DAE=∠FCE。
若添加条件DE=EF，在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠F \\∠DAE=∠FCE \\DE=EF\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE=CE（全等三角形对应边相等）。
注：也可添加AD=CF等条件，均可证明两三角形全等得到结论，答案不唯一。
【答案】
DE=EF（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是开放性条件补充题，考查基础的几何推理能力，解题时先结合已知条件梳理出证明全等已有的条件，再补充缺失的判定条件即可，解法灵活多样。
【难度系数】
0.85

3.如图，$AB// CD$，$AE// CF$，$BF=DE$.求证:$AB=CD$.

3.【证明】因为AB//CD,AE//CF,所以∠B=∠D,∠AEB=∠CFD. 因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF,即BE=DF.
在△ABE 和△CDF 中,$\begin{cases}∠B=∠D, \\BE=DF, \\∠AEB=∠CFD,\end{cases}$
所以△ABE≌△CDF(ASA),所以AB=CD.

【分析】
要证明线段AB与CD相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先根据$AB// CD$、$AE// CF$，利用平行线的内错角相等性质，可得到$△ ABE$和$△ CDF$的两组对应角相等；再由已知$BF=DE$，给等式两边同时加上公共线段EF，即可得到两个三角形的夹边$BE=DF$，满足ASA的全等判定条件，证得两三角形全等后，对应边$AB=CD$即可得证。
【解析】
证明：
∵$AB// CD$，$AE// CF$，
∴$∠ B=∠ D$，$∠ AEB=∠ CFD$。
∵$BF=DE$，
∴$BF+EF=DE+EF$，即$BE=DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D \\BE=DF \\∠ AEB=∠ CFD\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ CDF\ (\mathrm{ASA})$，
∴$AB=CD$。
【答案】
$AB=CD$
【知识点】
平行线的性质，ASA判定全等，全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形证明的常规基础题，解题的关键是结合平行线性质找到对应等角，通过线段和的关系得到对应等边，进而利用全等判定定理完成证明，能有效巩固几何基础推理能力。
【难度系数】
0.85