1.如图,下列能使$△ ABC ∽ △ ADE$成立的条件是 （）

A.$∠ A=∠ A$
B.$∠ ADE=∠ AED$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
D.$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$

（第1题图）
（第2题图）

1. C

【分析】
要判定△ABC∽△ADE，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，此时要么补充一组对应角相等，要么补充夹公共角∠A的两组对应边成比例即可。我们逐一分析选项：A选项仅公共角相等，缺少其他判定条件；B选项是△ADE内部的角相等，和△ABC无对应关系；C选项给出的比例刚好是夹∠A的两组边对应成比例，符合判定要求；D选项的比例边不是夹公共角的边，不满足判定条件。
【解析】
已知△ABC和△ADE有公共角∠A，逐一分析选项：
1. 选项A：仅∠A=∠A这一组角相等，不满足相似三角形的判定条件，无法判定相似，排除；
2. 选项B：∠ADE=∠AED只能说明△ADE为等腰三角形，无法推出与△ABC的角对应相等，不能判定相似，排除；
3. 选项C：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，且两组边的夹角均为∠A，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可判定△ABC∽△ADE，符合题意；
4. 选项D：$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$中的边不是夹公共角∠A的对应边，不满足判定条件，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段对应、公共角性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题的关键是抓住两个三角形的公共角，结合判定定理分析各选项，要特别注意对应边的位置关系，避免因边对应错误选错答案。
【难度系数】
0.7

2.如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，连接$BE$，$CD$交于点$O$，则$\frac{OE}{OB}$的值为。

2. $\frac{1}{4}$

【分析】
首先根据已知条件$DE// BC$，可先判定$△ ADE$与$△ ABC$相似（“A型”相似），结合$AD$与$BD$的比值求出$DE$与$BC$的比值；再由$DE// BC$判定$△ DOE$与$△ COB$相似（“X型”相似），利用相似三角形对应边成比例即可求出$OE$与$OB$的比值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，$∠ AED=∠ ACB$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
$\because \frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+BD}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$。
又$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ODE=∠ OCB$，$∠ OED=∠ OBC$，
$\therefore △ DOE∽△ COB$，
$\therefore \frac{OE}{OB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的常规题型，核心考查平行线构造的两类相似模型（“A型”和“X型”相似）的应用，解题的关键是先通过“A型”相似得到$DE$与$BC$的比值，再代入“X型”相似的对应边比例关系求解，熟练掌握常见相似模型可提升解题效率。
【难度系数】
0.7

3. 一题多解思维发散（教材P75习题T11变式）
如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE,交AC于点F.求证:$\frac{AE}{DE}=\frac{2AF}{CF}$.
证法一(构造“A”字型):如图,过点D作DH//BF,交AC于点H.(请把证明过程补充完整)

证法二(构造“X”字型):如图,过点D作DK//AC,交BF于点K.(请把证明过程补充完整)

思考:本题还有其他作辅助线构造“A”或“X”字型,比如过点A作BF的平行线,与CB的延长线相交或过点A作BC的平行线,与BF的延长线相交等,通过这些证法,你能发现解决这类问题的共性方法吗?

3.(证法一)证明:$\because DH// BF,\therefore \frac{CH}{FH}=\frac{CD}{BD},\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{FH}.\because AD$ 是 BC 边上的中线,$\therefore CD=BD. \therefore CH=FH=\frac{1}{2}CF. \therefore \frac{AE}{DE}=\frac{AF}{FH}=\frac{AF}{\frac{1}{2}CF}=\frac{2AF}{CF}.$
(证法二)证明:$\because AD$ 是 BC 边上的中线,$\therefore BD=\frac{1}{2}BC. \because DK// AC,\therefore △ BDK∽ △ BCF,△ DEK∽ △ AEF. \therefore \frac{BD}{BC}=\frac{DK}{CF}=\frac{1}{2},\frac{AF}{DK}=\frac{AE}{DE}. \therefore DK=\frac{1}{2}CF. \therefore \frac{AE}{DE}=\frac{AF}{DK}=\frac{AF}{\frac{1}{2}CF}=\frac{2AF}{CF}.$

【分析】
要证明线段比例式$\frac{AE}{DE}=\frac{2AF}{CF}$，两种证法均通过作平行线构造平行线分线段成比例或相似三角形的基本模型，结合中线的性质转化线段比例：
1. 证法一构造“A”字型：过点D作$DH// BF$，首先在$△ BCF$中，由平行线分线段成比例及D是BC中点，可得H是CF中点，即$FH=\frac{1}{2}CF$；再在$△ ADH$中，由$EF// DH$可得$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{FH}$，替换FH即可得证。
2. 证法二构造“X”字型：过点D作$DK// AC$，首先可得$△ BDK ∽ △ BCF$，结合D是BC中点得$DK=\frac{1}{2}CF$；再由$△ DEK ∽ △ AEF$得$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{DK}$，替换DK即可得证。
思考部分可结合构造相似模型的思路推导：除题中两种辅助线外，还有其他构造A、X字型相似模型的方法，共性是通过作平行线构造基础几何模型转化线段比例。
【解析】
证法一证明：
$\because DH// BF$，
$\therefore \frac{CH}{FH}=\frac{CD}{BD}$，$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{FH}$。
$\because AD$是BC边上的中线，$\therefore CD=BD$，
$\therefore CH=FH=\frac{1}{2}CF$，
$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{AF}{FH}=\frac{AF}{\frac{1}{2}CF}=\frac{2AF}{CF}$。
证法二证明：
$\because AD$是BC边上的中线，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$。
$\because DK// AC$，
$\therefore △ BDK ∽ △ BCF$，$△ DEK ∽ △ AEF$，
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{DK}{CF}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{DK}=\frac{AE}{DE}$，
$\therefore DK=\frac{1}{2}CF$，
$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{AF}{DK}=\frac{AF}{\frac{1}{2}CF}=\frac{2AF}{CF}$。
思考填空：
第一空：相似模型；
第二空：作平行线构造A字型或X字型的平行线分线段成比例/相似三角形基本图形，结合已知条件转化线段比例，即可证明线段比例式。
【答案】
证法一、证法二证明过程见上述解析；思考部分依次填：相似模型；作平行线构造A字型或X字型基本图形，转化线段比例证明比例式。
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形中线的性质
【点评】
本题采用一题多解的形式，考查线段比例的证明方法，核心是通过作平行线构造A字型、X字型的相似或平行线分线段成比例基本模型，结合中点性质转化线段关系，能够有效训练几何辅助线构造思维，提升相似相关模型的应用能力。
【难度系数】
0.6

4.如图,在$Rt△ ABC$中,CD是斜边AB上的高.明明同学根据已知条件,得出下列结论:
①$AC^2 = AD · AB$; ②$BC^2 = BD · AB$;
③$CD^2 = AD · BD$; ④$CD · AB = AC · BC$,
其中正确结论是.(填序号)

4. ①②③④

【分析】
解题思路：首先结合直角三角形斜边上的高的特征，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明图中的三个直角三角形两两相似，再根据相似三角形对应边成比例推导前三个结论；最后利用三角形面积的两种不同计算方式推导第四个结论，逐一验证即可。
【解析】
解：已知在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，因此$∠ ADC=∠ CDB=∠ ACB=90°$。
1. 验证结论①：
$∠ A$是$△ ACD$和$△ ABC$的公共角，且$∠ ADC=∠ ACB=90°$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ACD∽△ ABC$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2 = AD·AB$，故①正确。
2. 验证结论②：
$∠ B$是$△ BCD$和$△ BAC$的公共角，且$∠ CDB=∠ ACB=90°$，同理可得$△ BCD∽△ BAC$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，交叉相乘得$BC^2 = BD·AB$，故②正确。
3. 验证结论③：
$\because ∠ A+∠ ACD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，$\therefore ∠ A=∠ BCD$。
又$\because ∠ ADC=∠ CDB=90°$，$\therefore △ ACD∽△ CBD$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，交叉相乘得$CD^2 = AD·BD$，故③正确。
4. 验证结论④：
$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$，联立两式得$\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，化简得$CD·AB = AC·BC$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等面积法
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，核心考查直角三角形斜边上的高形成的相似模型（即射影定理的推导），熟练掌握相似三角形的判定方法和等面积法的应用就能快速解题。
【难度系数】
0.7