8. 如图，在$△ ABC$中，$BD⊥ AC$于点$D$，$AE⊥ BC$于点$E$，交$BD$于点$F$，下列三角形不一定与$△ BCD$相似的是（）

A.$△ BFE$
B.$△ AFD$
C.$△ ACE$
D.$△ BAE$

（第8题图）
（第9题图）

8.D

【分析】
要判断哪个三角形不一定与△BCD相似，核心是运用“两角对应相等的两个三角形相似”这一判定定理。首先明确△BCD的特征：是直角三角形，∠BDC=90°，包含内角∠C和∠CBD。再结合已知的垂直条件，推导各选项三角形与△BCD的角的对应关系，逐一验证即可。
【解析】
已知BD⊥AC，AE⊥BC，因此∠BDC=∠ADB=∠AEB=∠AEC=90°。
选项A：△BFE中，∠BEF=90°=∠BDC，且∠FBE=∠CBD（公共角），由两角对应相等得△BFE∽△BCD，不符合题意；
选项B：△AFD中，∠ADF=90°=∠BDC，又∠DAF+∠C=90°，∠CBD+∠C=90°，根据同角的余角相等得∠DAF=∠CBD，由两角对应相等得△AFD∽△BCD，不符合题意；
选项C：△ACE中，∠AEC=90°=∠BDC，且∠C=∠C（公共角），由两角对应相等得△ACE∽△BCD，不符合题意；
选项D：△BAE中仅∠BEA=∠BDC=90°，无其他确定相等的对应角，无法证明与△BCD相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、同角的余角相等、垂直的性质
【点评】
本题考查相似三角形的基础判定，解题关键是结合垂直关系找到相等的对应角，注意公共角、同角的余角相等这些隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7

9.(合肥蜀山区一模)如图，$△ ABO$的顶点O为坐标原点，点B在x轴的负半轴上，$AB=AO$，点A在第二象限，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象经过点A，过点B作AO的平行线交图象于点C。若$\frac{BC}{AO}=m$，则m的值为。

9.$\sqrt{2}-1$

【分析】
解题时先利用等腰三角形三线合一的性质确定点B坐标与点A坐标的关系，再根据平行线的性质得到相似三角形，借助相似三角形对应边成比例的性质表示出点C的坐标，最后将点C代入反比例函数解析式，建立关于m的方程求解即可，注意比值m为正数，需舍去负根。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ x$轴于点D，过点C作$CE⊥ x$轴于点E，则$∠ ADO=∠ CEB=90°$。
$\because AB=AO$，$AD⊥ BO$，$\therefore$ D是BO的中点，即$BO=2OD$。
设$A(-a,b)$（$a＞0,b＞0$），则$OD=a$，$AD=b$，$BO=2a$，$\therefore$ 点B坐标为$(-2a,0)$。
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点A，$\therefore k=(-a)· b=-ab$。
$\because BC// AO$，$\therefore ∠ CBE=∠ AOD$，又$∠ CEB=∠ ADO=90°$，$\therefore △ CBE∽△ AOD$。
$\therefore \frac{CE}{AD}=\frac{BE}{OD}=\frac{BC}{AO}=m$，
$\therefore CE=mb$，$BE=ma$，则点C的坐标为$(-2a-ma,mb)$。
将点C代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：
$mb=\frac{-ab}{-2a-ma}$
化简右边得$\frac{-ab}{-a(2+m)}=\frac{b}{2+m}$，
$\therefore mb=\frac{b}{2+m}$，$b\ne0$，约去b得$m=\frac{1}{2+m}$，
整理得$m^2+2m-1=0$，解得$m=-1\pm\sqrt{2}$。
$\because m$是线段比值，为正数，$\therefore m=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，考查学生对坐标法、相似性质的灵活运用能力，通过设参数简化计算是解题的关键，这类题型是中考的常见考法。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,已知正方形$DEFG$,且点$E,F$在斜边$BC$上,点$D,G$分别在边$AB,AC$上.求证:$EF^2=BE· CF$.

10. 证明:$\because ∠A=90°, \therefore ∠B+∠C=90°. \because$ 四边形 $DEFG$ 是正方形,$\therefore DE=GF=EF,∠BED=∠GFC=90°. \therefore ∠B+∠BDE=90°. \therefore ∠C=∠BDE. \therefore △BDE∽△GCF. \therefore \dfrac{DE}{CF}=\dfrac{BE}{GF}. \therefore \dfrac{EF}{CF}=\dfrac{BE}{EF}. \therefore EF^2=BE·CF$.

【分析】
要证明$EF^2=BE·CF$这类等积式，通常先将其转化为比例式$\frac{EF}{BE}=\frac{CF}{EF}$，再通过证明对应三角形相似得到比例关系。结合已知条件，四边形DEFG是正方形，可得$DE=GF=EF$，且$∠ BED=∠ GFC=90°$；再结合$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ B+∠ C=90°$，利用同角的余角相等可推出$∠ BDE=∠ C$，进而证明$△ BDE ∽ △ GCF$，最后替换等线段即可得到待证结论。
【解析】
证明：$\because ∠ A=90°, \therefore ∠ B+∠ C=90°$。
$\because$ 四边形 $DEFG$ 是正方形，
$\therefore DE=GF=EF,∠ BED=∠ GFC=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ BDE=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ BDE$，
$\therefore △ BDE ∽ △ GCF$，
$\therefore \dfrac{DE}{CF}=\dfrac{BE}{GF}$，
将$DE=EF、GF=EF$代入比例式得$\dfrac{EF}{CF}=\dfrac{BE}{EF}$，
交叉相乘可得$EF^2=BE·CF$。
【答案】
$EF^2=BE·CF$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是利用相似三角形证明等积式的典型基础题，解题核心是将等积式转化为比例式，再结合图形性质寻找相似三角形，通过等线段代换得到结论，能够较好地考查学生对相似判定、特殊四边形性质的掌握程度和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7

11.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，把$△ ACD$沿$AD$折叠，使得点$C$落在斜边$AB$上的点$E$处.
(1)求证：$△ BDE ∽ △ BAC$；
(2)已知$AC=6$，$BC=8$，求线段$AD$的长.

11.(1)证明:由折叠的性质,得$∠AED=∠C=90°, \therefore ∠DEB=90°=∠C$. 又$\because ∠B=∠B, \therefore △BDE∽△BAC$. (2)解:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\because AC=6,BC=8, \therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$. 由折叠的性质,得$AE=AC=6, \therefore BE=AB-AE=4. \because △BDE∽△BAC, \therefore \dfrac{BE}{BC}=\dfrac{DE}{AC}$,即$\dfrac{4}{8}=\dfrac{DE}{6}. \therefore DE=3. \therefore AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=3\sqrt{5}$.

【分析】
(1)要证明△BDE∽△BAC，可通过两角对应相等的两个三角形相似的判定定理推导：首先根据折叠性质可得∠AED=∠C=90°，进而推出∠DEB=∠C，再结合公共角∠B，即可完成相似证明。
(2)求AD的长可分四步进行：第一步在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AB的长度；第二步根据折叠性质得到AE=AC，进而求出BE的长度；第三步利用(1)中相似三角形的对应边成比例求出DE的长度；最后在Rt△ADE中用勾股定理计算出AD的长度。
【解析】
(1)证明：由折叠的性质，得$∠AED=∠C=90°, \therefore ∠DEB=90°=∠C$。
又$\because ∠B=∠B$（公共角）, $\therefore △BDE∽△BAC$。
(2)解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because AC=6,BC=8,∠C=90°$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠的性质，得$AE=AC=6$，
$\therefore BE=AB-AE=10-6=4$。
$\because △BDE∽△BAC, \therefore \dfrac{BE}{BC}=\dfrac{DE}{AC}$，
代入数据得$\dfrac{4}{8}=\dfrac{DE}{6}$，解得$DE=3$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
【答案】
(1)△BDE∽△BAC得证；(2)$AD=3\sqrt{5}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将折叠变换、相似三角形、勾股定理三个考点结合考查，解题核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合相似三角形的边角关系求解线段长度，解题思路清晰，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

12. 双空题 安徽热点（无为一模）已知矩形ABCD，连接BD，E是AD上一点，使得$∠ EBD=∠ CBD$.
(1)如图①，若$AB=3$，$BC=5$，则AE的长为.
(2)如图②，连接CE，交BD于点F.若$CF=CD$，则$\frac{AE}{DE}$的值为.

12.(1)$\dfrac{8}{5}$ (2)$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

【分析】
(1) 先利用矩形对边平行的性质得到∠CBD=∠EDB，结合已知∠EBD=∠CBD可推出BE=DE；再设AE的长为x，将BE、DE用含x的式子表示，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程即可求解AE的长度。
(2) 设AE=x，DE=y，所求比值为$k=\frac{x}{y}$，由(1)的结论得BE=DE=y，结合Rt△ABE的勾股定理可得CD（即AB）与x、y的关系；再由AD//BC证明△EDF∽△CBF，得到CF与EF的比例关系，结合CF=CD将CE用CD表示；最后在Rt△CDE中利用勾股定理列方程，整理后即可求出k的值。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC=5，∠A=90°，
∴∠CBD=∠EDB，
又
∵∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE。
设AE=a，则DE=AD - AE=5 - a，
∴BE=5 - a。
在Rt△ABE中，由勾股定理得$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入AB=3得：$3^2 + a^2 = (5 - a)^2$，
展开得$9 + a^2 =25 -10a +a^2$，
化简得$10a=16$，解得$a=\frac{8}{5}$，即AE=$\frac{8}{5}$。
(2) 设AE=x，DE=y，令$\frac{AE}{DE}=\frac{x}{y}=k(k＞0)$，则$x=ky$，$AD=BC=x+y=y(k+1)$，
由(1)的结论可知BE=DE=y。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CDE=90°，AB=CD=CF，
在Rt△ABE中，由勾股定理得$AB^2 + AE^2 = BE^2$，即$CD^2 + (ky)^2 = y^2$，
整理得$CD^2 = y^2(1 - k^2)$ ①。
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，又∠EFD=∠CFB，
∴△EDF∽△CBF，
∴$\frac{CF}{EF} = \frac{BC}{DE} = \frac{(k+1)y}{y} =k+1$。
∵CF=CD，
∴$EF=\frac{CD}{k+1}$，
∴$CE= CF + EF = CD + \frac{CD}{k+1} = CD·\frac{k+2}{k+1}$。
在Rt△CDE中，由勾股定理得$CE^2 = DE^2 + CD^2$，
将CE的表达式代入得：$(CD·\frac{k+2}{k+1})^2 = y^2 + CD^2$ ②。
将①代入②，两边同时除以$y^2$得：$\frac{(1 -k^2)·(k+2)^2}{(k+1)^2} = 2 -k^2$，
化简$1 -k^2=(1 -k)(1 +k)$，约去$(1 +k)$得：$\frac{(1 -k)(k+2)^2}{k+1} = 2 -k^2$，
展开整理得$k^2 +k -1 =0$，
解得$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负根不合题意舍去），即$\frac{AE}{DE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1) $\dfrac{8}{5}$；(2) $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题以矩形为背景，综合考查了等腰三角形的判定、勾股定理及相似三角形的应用，第一问侧重基础性质的应用，第二问需要结合方程思想，通过设参数建立等量关系求解，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6