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5.（六安金安区期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为边$AB$上一点，且$CD=CA$，过点$D$作$DE ⊥ AB$，交$BC$于点$E$。求证：$△ CDE ∽ △ CBD$。
答案
5. 证明:$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ A+∠ B=90°. \because DE⊥ AB,\therefore ∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=90°. \because CD=CA,\therefore ∠ A=∠ ADC.$
$\therefore ∠ CDE=∠ B. 又\because ∠ DCE=∠ BCD,\therefore △ CDE∽ △ CBD.$
$\therefore ∠ CDE=∠ B. 又\because ∠ DCE=∠ BCD,\therefore △ CDE∽ △ CBD.$
解析
【分析】
要证明△CDE∽△CBD，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先观察两个三角形，存在公共角∠DCE=∠BCD，因此只需再证明一组对应角相等即可。结合已知条件：由CD=CA可利用等腰三角形性质得∠A=∠ADC；再由∠ACB=90°、DE⊥AB可得两组互余的角，通过等角的余角相等即可推出∠CDE=∠B，进而满足相似的判定条件。
【解析】
证明：
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$。
$\because DE⊥AB$，
$\therefore ∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°$。
$\because CD=CA$，
$\therefore ∠A=∠ADC$。
$\therefore ∠CDE=∠B$。
又$\because ∠DCE=∠BCD$，
$\therefore △CDE∽△CBD$。
【答案】
证明过程如上：
$\because ∠ACB=90°,\therefore ∠A+∠B=90°. \because DE⊥ AB,\therefore ∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=90°. \because CD=CA,\therefore ∠ A=∠ ADC.$
$\therefore ∠ CDE=∠ B. 又\because ∠ DCE=∠ BCD,\therefore △ CDE∽ △ CBD.$
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题核心是结合三角形的基础性质推导得到两组对应角相等，需要熟练掌握相似三角形的判定定理以及等腰、直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
要证明△CDE∽△CBD，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先观察两个三角形，存在公共角∠DCE=∠BCD，因此只需再证明一组对应角相等即可。结合已知条件：由CD=CA可利用等腰三角形性质得∠A=∠ADC；再由∠ACB=90°、DE⊥AB可得两组互余的角，通过等角的余角相等即可推出∠CDE=∠B，进而满足相似的判定条件。
【解析】
证明：
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$。
$\because DE⊥AB$，
$\therefore ∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°$。
$\because CD=CA$，
$\therefore ∠A=∠ADC$。
$\therefore ∠CDE=∠B$。
又$\because ∠DCE=∠BCD$，
$\therefore △CDE∽△CBD$。
【答案】
证明过程如上：
$\because ∠ACB=90°,\therefore ∠A+∠B=90°. \because DE⊥ AB,\therefore ∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=90°. \because CD=CA,\therefore ∠ A=∠ ADC.$
$\therefore ∠ CDE=∠ B. 又\because ∠ DCE=∠ BCD,\therefore △ CDE∽ △ CBD.$
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题核心是结合三角形的基础性质推导得到两组对应角相等，需要熟练掌握相似三角形的判定定理以及等腰、直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在正方形ABCD中，AB=9，E为边BC上一点，且BE=3，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，连接AF，则CF的长为
2
。答案
6. 2
解析
【分析】
首先回忆正方形的性质：正方形四条边相等，四个内角均为直角。已知EF⊥AE，可得∠AEF=90°，结合平角定义和直角三角形两锐角互余，可推出∠BAE=∠CEF，进而可证明△ABE和△ECF相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=9，
∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°，
∵BE=3，
∴EC=BC-BE=9-3=6，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=180°-∠AEF=90°，
又
∵在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
将AB=9，EC=6，BE=3代入得：$\frac{9}{6}=\frac{3}{CF}$，
解得：CF=2。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是一线三等角相似模型的典型应用，解题的关键是利用同角的余角相等推导得到相等的角，进而证明三角形相似，再结合相似三角形的性质建立比例式求解未知线段长度，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先回忆正方形的性质：正方形四条边相等，四个内角均为直角。已知EF⊥AE，可得∠AEF=90°，结合平角定义和直角三角形两锐角互余，可推出∠BAE=∠CEF，进而可证明△ABE和△ECF相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=9，
∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°，
∵BE=3，
∴EC=BC-BE=9-3=6，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=180°-∠AEF=90°，
又
∵在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
将AB=9，EC=6，BE=3代入得：$\frac{9}{6}=\frac{3}{CF}$，
解得：CF=2。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是一线三等角相似模型的典型应用，解题的关键是利用同角的余角相等推导得到相等的角，进而证明三角形相似，再结合相似三角形的性质建立比例式求解未知线段长度，难度不大。
【难度系数】
0.7
7.(宣城期末)如图,在正三角形ABC中,D是边BC上任意一点,且∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若AB=3,BD=1,求AE的长.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若AB=3,BD=1,求AE的长.
答案
7.(1)证明:$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ BAC=∠ B=∠ C=60°. \because ∠ ADE=60°,\therefore ∠ BAD+∠ BDA=∠ BDA+∠ CDE=120°.$
$\therefore ∠ BAD=∠ CDE. \therefore △ ABD∽ △ DCE.$
(2)解:$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore BC=AC=AB=3. \therefore CD=BC-BD=2.$ 由(1)知$△ ABD∽ △ DCE,\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE},即\frac{3}{2}=\frac{1}{CE}. \therefore CE=\frac{2}{3}. \therefore AE=AC-CE=\frac{7}{3}.$
$\therefore ∠ BAD=∠ CDE. \therefore △ ABD∽ △ DCE.$
(2)解:$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore BC=AC=AB=3. \therefore CD=BC-BD=2.$ 由(1)知$△ ABD∽ △ DCE,\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE},即\frac{3}{2}=\frac{1}{CE}. \therefore CE=\frac{2}{3}. \therefore AE=AC-CE=\frac{7}{3}.$
解析
【分析】
（1）要证明△ABD∽△DCE，可使用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理。已知△ABC是正三角形，可直接得到∠B=∠C=60°，再结合∠ADE=60°，利用平角性质和三角形内角和定理推导得到另一组对应角相等，即可完成证明。
（2）求AE的长度时，观察图形可得AE=AC-CE，AC为正三角形边长等于AB=3，因此只需计算CE的长度即可。借助（1）的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE，进而得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=60°$，
$\because ∠ ADE=60°$，
$\therefore ∠ADB + ∠CDE = 180°-∠ADE=120°$，
又$\because$在△ABD中，$∠ BAD+∠ BDA=180°-∠B=120°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CDE$，
又$\because ∠B=∠C=60°$，
$\therefore △ ABD∽ △ DCE$。
(2) 解：$\because △ ABC$ 是等边三角形，$AB=3$，
$\therefore BC=AC=AB=3$，
$\therefore CD=BC-BD=3-1=2$，
由(1)知$△ ABD∽ △ DCE$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，即$\frac{3}{2}=\frac{1}{CE}$，
解得$CE=\frac{2}{3}$，
$\therefore AE=AC-CE=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) 已证△ABD∽△DCE；(2) $AE=\frac{7}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与相似三角形结合的基础典型题，解题关键是先通过角度推导证明相似，再借助相似的性质求解线段长度，熟练掌握基础几何性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABD∽△DCE，可使用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理。已知△ABC是正三角形，可直接得到∠B=∠C=60°，再结合∠ADE=60°，利用平角性质和三角形内角和定理推导得到另一组对应角相等，即可完成证明。
（2）求AE的长度时，观察图形可得AE=AC-CE，AC为正三角形边长等于AB=3，因此只需计算CE的长度即可。借助（1）的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE，进而得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=60°$，
$\because ∠ ADE=60°$，
$\therefore ∠ADB + ∠CDE = 180°-∠ADE=120°$，
又$\because$在△ABD中，$∠ BAD+∠ BDA=180°-∠B=120°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CDE$，
又$\because ∠B=∠C=60°$，
$\therefore △ ABD∽ △ DCE$。
(2) 解：$\because △ ABC$ 是等边三角形，$AB=3$，
$\therefore BC=AC=AB=3$，
$\therefore CD=BC-BD=3-1=2$，
由(1)知$△ ABD∽ △ DCE$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，即$\frac{3}{2}=\frac{1}{CE}$，
解得$CE=\frac{2}{3}$，
$\therefore AE=AC-CE=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) 已证△ABD∽△DCE；(2) $AE=\frac{7}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与相似三角形结合的基础典型题，解题关键是先通过角度推导证明相似，再借助相似的性质求解线段长度，熟练掌握基础几何性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC=∠CFE=90°，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF.
(1)求证：△CAE∽△CBF；
(2)若BE=1，AE=2，求CE的长.
(1)求证：△CAE∽△CBF；
(2)若BE=1，AE=2，求CE的长.
答案
8.(1)证明:$\because △ ABC$ 和 $△ CEF$ 均为等腰直角三角形,$\therefore ∠ ACB=∠ ECF=45°. \therefore ∠ ACE=∠ BCF.$ 易得$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CF}=\sqrt{2}. \therefore △ CAE∽ △ CBF.$
(2)解:$\because △ CAE∽ △ CBF,\therefore ∠ CAE=∠ CBF,\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}. \because AE=2,\therefore BF=\sqrt{2}. 又\because ∠ CAE+∠ CBE=90°,$
$\therefore ∠ CBF+∠ CBE=90°. \therefore ∠ EBF=90°. 在Rt△ EBF 中,EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{3}. \because △ CEF 是等腰直角三角形,\therefore CF=EF=\sqrt{3}.$
$\therefore CE=\sqrt{EF^2+CF^2}=\sqrt{6}.$
(2)解:$\because △ CAE∽ △ CBF,\therefore ∠ CAE=∠ CBF,\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}. \because AE=2,\therefore BF=\sqrt{2}. 又\because ∠ CAE+∠ CBE=90°,$
$\therefore ∠ CBF+∠ CBE=90°. \therefore ∠ EBF=90°. 在Rt△ EBF 中,EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{3}. \because △ CEF 是等腰直角三角形,\therefore CF=EF=\sqrt{3}.$
$\therefore CE=\sqrt{EF^2+CF^2}=\sqrt{6}.$
解析
【分析】
(1)要证明△CAE∽△CBF，可选用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理推导。先结合两个等腰直角三角形的性质，得到两组对应边的比值相等，再推导两组边的夹角相等，即可完成相似证明。
(2)求CE的长度时，先借助第一问的相似结论，得到对应角相等、对应边成比例的关系，将已知的∠CAE+∠CBE=90°转化为△EBF为直角三角形，用勾股定理求出EF的长度，再结合△CEF是等腰直角三角形的性质，用勾股定理计算CE即可。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC=∠CFE=90°，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACB - ∠ECB = ∠ECF - ∠ECB，即∠ACE=∠BCF。
在等腰Rt△ABC中，$\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，在等腰Rt△CEF中，$\frac{CE}{CF}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CF}=\sqrt{2}$，
∴△CAE∽△CBF。
(2)解：
∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠CBF，$\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，
∵AE=2，
∴$\frac{2}{BF}=\sqrt{2}$，解得$BF=\sqrt{2}$。
又
∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，即∠EBF=90°，
在Rt△EBF中，BE=1，$BF=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$。
∵△CEF是等腰直角三角形，∠CFE=90°，
∴$CF=EF=\sqrt{3}$，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EF^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$CE=\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与特殊三角形、勾股定理结合的典型综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的性质找到相似的判定条件，再通过相似的性质完成角和边的转化，最终用勾股定理求解线段长度，对逻辑转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1)要证明△CAE∽△CBF，可选用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理推导。先结合两个等腰直角三角形的性质，得到两组对应边的比值相等，再推导两组边的夹角相等，即可完成相似证明。
(2)求CE的长度时，先借助第一问的相似结论，得到对应角相等、对应边成比例的关系，将已知的∠CAE+∠CBE=90°转化为△EBF为直角三角形，用勾股定理求出EF的长度，再结合△CEF是等腰直角三角形的性质，用勾股定理计算CE即可。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC=∠CFE=90°，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACB - ∠ECB = ∠ECF - ∠ECB，即∠ACE=∠BCF。
在等腰Rt△ABC中，$\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，在等腰Rt△CEF中，$\frac{CE}{CF}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{CF}=\sqrt{2}$，
∴△CAE∽△CBF。
(2)解：
∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠CBF，$\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$，
∵AE=2，
∴$\frac{2}{BF}=\sqrt{2}$，解得$BF=\sqrt{2}$。
又
∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，即∠EBF=90°，
在Rt△EBF中，BE=1，$BF=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$。
∵△CEF是等腰直角三角形，∠CFE=90°，
∴$CF=EF=\sqrt{3}$，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EF^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
【答案】
(1)证明见上述过程；(2)$CE=\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与特殊三角形、勾股定理结合的典型综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的性质找到相似的判定条件，再通过相似的性质完成角和边的转化，最终用勾股定理求解线段长度，对逻辑转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
