登录
1.若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的对应边上高的比为（
A.$2:1$
B.$1:2$
C.$4:1$
D.$1:4$
B
）A.$2:1$
B.$1:2$
C.$4:1$
D.$1:4$
答案
1.B
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：两个三角形相似，相似比为1:2，所求为对应边上高的比。首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比与相似比相等，仅面积比为相似比的平方。本题所求的对应边上的高属于相似三角形的对应线段，因此直接结合已知的相似比即可推导结果，注意不要和面积比的计算混淆。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高的比等于相似比，
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的对应边上高的比为$1:2$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应高的性质，相似比的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对相似三角形对应线段性质的掌握，解题时要注意区分对应线段的比和面积比的不同计算规则，避免概念混淆失分。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先梳理已知条件：两个三角形相似，相似比为1:2，所求为对应边上高的比。首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比与相似比相等，仅面积比为相似比的平方。本题所求的对应边上的高属于相似三角形的对应线段，因此直接结合已知的相似比即可推导结果，注意不要和面积比的计算混淆。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高的比等于相似比，
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的对应边上高的比为$1:2$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应高的性质，相似比的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对相似三角形对应线段性质的掌握，解题时要注意区分对应线段的比和面积比的不同计算规则，避免概念混淆失分。
【难度系数】
0.9
2. 已知△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'分别是两个三角形对应角的平分线，且AC：A'C'=2：3.若BD=4 cm，则B'D'的长是 （
A.3 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
C
）A.3 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先根据已知的两个三角形相似，结合给出的对应边AC与A'C'的比值确定两个三角形的相似比；再回忆相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，最后将已知的BD长度代入比例式，即可求出B'D'的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，AC和A'C'是两个三角形的对应边
∴两个三角形的相似比为$AC:A'C'=2:3$
又
∵BD和B'D'分别是两个三角形的对应角平分线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$
将$BD=4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{4}{B'D'}=\frac{2}{3}$
交叉相乘解得：$2B'D'=12$，即$B'D'=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的相似比 2.相似三角形对应线段的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查相似三角形对应线段的性质，解题关键是明确相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，牢记性质即可快速计算得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的两个三角形相似，结合给出的对应边AC与A'C'的比值确定两个三角形的相似比；再回忆相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，最后将已知的BD长度代入比例式，即可求出B'D'的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，AC和A'C'是两个三角形的对应边
∴两个三角形的相似比为$AC:A'C'=2:3$
又
∵BD和B'D'分别是两个三角形的对应角平分线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$
将$BD=4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{4}{B'D'}=\frac{2}{3}$
交叉相乘解得：$2B'D'=12$，即$B'D'=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的相似比 2.相似三角形对应线段的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查相似三角形对应线段的性质，解题关键是明确相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，牢记性质即可快速计算得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知$△ ABC ∽ △ DEF$，AM为$△ ABC$的高，BN为角平分线，DJ为$△ DEF$的高，EK为角平分线，$AM:DJ=3:2$，则$\frac{BN}{EK}$的值为（
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
D
）A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：△ABC与△DEF相似，AM、DJ是两个三角形的对应高，BN、EK是两个三角形的对应角平分线，已知对应高的比值。我们需要先根据相似三角形对应高的比等于相似比，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求出BN与EK的比值。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，AM为△ABC的高，DJ为△DEF的高
∴相似三角形对应高的比等于相似比，即相似比$=\frac{AM}{DJ}=\frac{3}{2}$
又
∵BN为△ABC的角平分线，EK为△DEF的角平分线
∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴$\frac{BN}{EK}=\frac{AM}{DJ}=\frac{3}{2}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应线段性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形对应线段的比等于相似比这一性质，只要准确识别对应线段，牢记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：△ABC与△DEF相似，AM、DJ是两个三角形的对应高，BN、EK是两个三角形的对应角平分线，已知对应高的比值。我们需要先根据相似三角形对应高的比等于相似比，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求出BN与EK的比值。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，AM为△ABC的高，DJ为△DEF的高
∴相似三角形对应高的比等于相似比，即相似比$=\frac{AM}{DJ}=\frac{3}{2}$
又
∵BN为△ABC的角平分线，EK为△DEF的角平分线
∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴$\frac{BN}{EK}=\frac{AM}{DJ}=\frac{3}{2}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应线段性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形对应线段的比等于相似比这一性质，只要准确识别对应线段，牢记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$△ ABC$的边$AB$，$AC$上的点，$DE // BC$，$CF$，$EG$分别是$△ ABC$与$△ ADE$的中线.已知$AD:BD=4:3$，$EG=4\ \mathrm{cm}$，求$CF$的长.
答案
4.解:
∵AD:DB=4:3,
∴AD:AB=4:7.
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
∵CF,EG分别是△ABC与△ADE对应边上的中线,
∴$\frac{EG}{CF}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{4}{CF}=\frac{4}{7}$.
∴$CF=7$ cm.
∵AD:DB=4:3,
∴AD:AB=4:7.
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
∵CF,EG分别是△ABC与△ADE对应边上的中线,
∴$\frac{EG}{CF}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{4}{CF}=\frac{4}{7}$.
∴$CF=7$ cm.
解析
【分析】
解题时先从已知条件$DE// BC$入手，可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似；再根据$AD:BD=4:3$求出两个三角形的相似比$AD:AB$；最后结合$EG$、$CF$是两个三角形的对应中线，利用相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，列比例式即可求出$CF$的长度。
【解析】
解：$\because AD:DB=4:3$，
$\therefore AD:AB=4:(4+3)=4:7$，
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
又$\because CF$，$EG$分别是$△ ABC$与$△ ADE$对应边上的中线，
$\therefore$相似三角形对应中线的比等于相似比，即$\frac{EG}{CF}=\frac{AD}{AB}$，
将$EG=4\ \mathrm{cm}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{7}$代入得：$\frac{4}{CF}=\frac{4}{7}$，
解得：$CF=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CF$的长为$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形对应中线的性质；比例运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的核心是准确求出相似比，再结合对应中线的比例关系列算式求解，掌握相似三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$DE// BC$入手，可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似；再根据$AD:BD=4:3$求出两个三角形的相似比$AD:AB$；最后结合$EG$、$CF$是两个三角形的对应中线，利用相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，列比例式即可求出$CF$的长度。
【解析】
解：$\because AD:DB=4:3$，
$\therefore AD:AB=4:(4+3)=4:7$，
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
又$\because CF$，$EG$分别是$△ ABC$与$△ ADE$对应边上的中线，
$\therefore$相似三角形对应中线的比等于相似比，即$\frac{EG}{CF}=\frac{AD}{AB}$，
将$EG=4\ \mathrm{cm}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{7}$代入得：$\frac{4}{CF}=\frac{4}{7}$，
解得：$CF=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CF$的长为$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形对应中线的性质；比例运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的核心是准确求出相似比，再结合对应中线的比例关系列算式求解，掌握相似三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，AF是△ABC的高，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，DE交AF于点G。若DE＝10，BC＝30，GF＝12，求点A到DE的距离。
答案
5.解:
∵AF是△ABC的高,
∴AF⊥BC.
∵DE//BC,
∴AF⊥DE,△ADE∽△ABC.
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{AG}{AG+12}=\frac{10}{30}$.
∴$AG=6$.
∴点A到DE的距离是6.
∵AF是△ABC的高,
∴AF⊥BC.
∵DE//BC,
∴AF⊥DE,△ADE∽△ABC.
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{AG}{AG+12}=\frac{10}{30}$.
∴$AG=6$.
∴点A到DE的距离是6.
解析
【分析】
要求点A到DE的距离，实际就是求线段AG的长度。首先由AF是△ABC的高可知AF⊥BC，结合DE//BC，一方面可得AG是点A到DE的垂线段即所求距离，另一方面可判定△ADE与△ABC相似；根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得到AG与AF的比值等于DE与BC的比值，又因为AF=AG+GF，已知GF、DE、BC的长度，代入比例式列方程即可求出AG的长度。
【解析】
解：
∵AF是△ABC的高，
∴AF⊥BC。
∵DE//BC，
∴AF⊥DE，△ADE∽△ABC。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AG}{AF}=\frac{DE}{BC}$，
代入已知条件$DE=10$，$BC=30$，$GF=12$，$AF=AG+GF$，得：
$\frac{AG}{AG+12}=\frac{10}{30}$，
解得$AG=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题型，解题核心是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形对应高成比例的性质建立方程求解，能帮助学生巩固相似三角形对应线段的比例关系的应用。
【难度系数】
0.7
要求点A到DE的距离，实际就是求线段AG的长度。首先由AF是△ABC的高可知AF⊥BC，结合DE//BC，一方面可得AG是点A到DE的垂线段即所求距离，另一方面可判定△ADE与△ABC相似；根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得到AG与AF的比值等于DE与BC的比值，又因为AF=AG+GF，已知GF、DE、BC的长度，代入比例式列方程即可求出AG的长度。
【解析】
解：
∵AF是△ABC的高，
∴AF⊥BC。
∵DE//BC，
∴AF⊥DE，△ADE∽△ABC。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AG}{AF}=\frac{DE}{BC}$，
代入已知条件$DE=10$，$BC=30$，$GF=12$，$AF=AG+GF$，得：
$\frac{AG}{AG+12}=\frac{10}{30}$，
解得$AG=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题型，解题核心是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形对应高成比例的性质建立方程求解，能帮助学生巩固相似三角形对应线段的比例关系的应用。
【难度系数】
0.7
6.(教材P98习题T10变式)如图,小明为测得学校操场上小树的高CD,他站在教室里的点A处,从教室的窗口望出去,恰好能看见小树的整个树冠DH.经测量,窗口高EF=1.2 m,树干高CH=0.9 m,点A距墙根G 1.5 m,点C距墙根G 4.5 m,且A,G,C三点在同一水平线上.请根据上面的信息,帮小明计算出小树的高CD.
答案
6.解:由题意,得$FG⊥AC,CD⊥AC,∴FG//CD.∴△BEF∽△BHD.∴\frac{EF}{DH}=\frac{AG}{AC}.∵AG=1.5\ \mathrm{m},CG=4.5\ \mathrm{m},EF=1.2\ \mathrm{m},∴\frac{1.2}{DH}=\frac{1.5}{1.5+4.5}.∴DH=4.8\ \mathrm{m}.∴CD=DH+CH=5.7\ \mathrm{m}.$答:小树的高CD为5.7 m.
解析
【分析】
要计算小树的高度CD，首先观察到FG和CD都垂直于水平直线AC，可推出FG//CD，进而得到△BEF与△BHD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的水平距离和窗口高度，先求出树冠部分DH的长度，最后加上树干CH的高度即可得到小树总高。
【解析】
解：由题意，得$FG⊥AC,CD⊥AC$，
$\therefore FG// CD$，
$\therefore △ BEF∽△ BHD$，
$\therefore \frac{EF}{DH}=\frac{AG}{AC}$。
已知$AG=1.5\ \mathrm{m}$，$CG=4.5\ \mathrm{m}$，$EF=1.2\ \mathrm{m}$，$CH=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC=AG+CG=1.5+4.5=6\ \mathrm{m}$，
代入比例式得$\frac{1.2}{DH}=\frac{1.5}{6}$，
解得$DH=4.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=DH+CH=4.8+0.9=5.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
小树的高CD为$\boxed{5.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形判定与性质，比例计算，相似实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的常见题型，解题关键是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系，计算时注意不要遗漏树干高度CH，避免出现结果偏差。
【难度系数】
0.7
要计算小树的高度CD，首先观察到FG和CD都垂直于水平直线AC，可推出FG//CD，进而得到△BEF与△BHD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的水平距离和窗口高度，先求出树冠部分DH的长度，最后加上树干CH的高度即可得到小树总高。
【解析】
解：由题意，得$FG⊥AC,CD⊥AC$，
$\therefore FG// CD$，
$\therefore △ BEF∽△ BHD$，
$\therefore \frac{EF}{DH}=\frac{AG}{AC}$。
已知$AG=1.5\ \mathrm{m}$，$CG=4.5\ \mathrm{m}$，$EF=1.2\ \mathrm{m}$，$CH=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC=AG+CG=1.5+4.5=6\ \mathrm{m}$，
代入比例式得$\frac{1.2}{DH}=\frac{1.5}{6}$，
解得$DH=4.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=DH+CH=4.8+0.9=5.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
小树的高CD为$\boxed{5.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形判定与性质，比例计算，相似实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的常见题型，解题关键是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系，计算时注意不要遗漏树干高度CH，避免出现结果偏差。
【难度系数】
0.7
