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7.(易错题)如果两个相似三角形的对应边之比为2:5,其中一个三角形的一边上的中线的长为7,那么另一个三角形对应边的中线的长为 (
A.$\frac{35}{2}$
B.$\frac{14}{5}$
C.$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$
D.无法确定
C
)A.$\frac{35}{2}$
B.$\frac{14}{5}$
C.$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$
D.无法确定
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应中线之比等于相似比。再分析题目条件，已知相似比为2:5，但未明确长度为7的中线属于两个三角形中的哪一个，因此需要分两种情况讨论计算，即可得到全部可能的结果。
【解析】
∵两个相似三角形的对应边之比为2:5，
∴两个相似三角形的对应中线之比也为2:5。
分两种情况讨论：
① 若长为7的中线是相似比中占“2”的三角形的中线，设另一个三角形对应中线长为$x$，
则 $\frac{2}{5}=\frac{7}{x}$，解得 $x=\frac{35}{2}$；
② 若长为7的中线是相似比中占“5”的三角形的中线，设另一个三角形对应中线长为$y$，
则 $\frac{2}{5}=\frac{y}{7}$，解得 $y=\frac{14}{5}$。
因此另一个三角形对应边的中线长为$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形对应线段性质；分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，解题时容易忽略已知中线所属三角形的不确定性，仅考虑一种情况导致错选。做题时要认真审题，对存在多种可能性的条件要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应中线之比等于相似比。再分析题目条件，已知相似比为2:5，但未明确长度为7的中线属于两个三角形中的哪一个，因此需要分两种情况讨论计算，即可得到全部可能的结果。
【解析】
∵两个相似三角形的对应边之比为2:5，
∴两个相似三角形的对应中线之比也为2:5。
分两种情况讨论：
① 若长为7的中线是相似比中占“2”的三角形的中线，设另一个三角形对应中线长为$x$，
则 $\frac{2}{5}=\frac{7}{x}$，解得 $x=\frac{35}{2}$；
② 若长为7的中线是相似比中占“5”的三角形的中线，设另一个三角形对应中线长为$y$，
则 $\frac{2}{5}=\frac{y}{7}$，解得 $y=\frac{14}{5}$。
因此另一个三角形对应边的中线长为$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形对应线段性质；分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，解题时容易忽略已知中线所属三角形的不确定性，仅考虑一种情况导致错选。做题时要认真审题，对存在多种可能性的条件要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,AF平分∠BAC,交DE于点G,交BC于点F.若AE=3,CE=1,AD=2,BD=4,则AF:AG的值是
2
. 答案
8.2
解析
【分析】
解题思路如下：首先计算出△ABC的两条边AB、AC的长度，再验证AB与AE的比值、AC与AD的比值是否相等，结合公共角∠BAC，可判定△ABC和△AED相似；再结合AF、AG分别是两个相似三角形对应角的角平分线，根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求出AF:AG的比值。
【解析】
解：先计算边的长度：
$AC = AE + CE = 3 + 1 = 4$，
$AB = AD + BD = 2 + 4 = 6$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{AC}{AD}=\frac{4}{2}=2$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
又
∵ $∠ BAC = ∠ EAD$（公共角相等），
∴ $△ ABC ∽ △ AED$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵ AF是$△ ABC$中$∠ BAC$的角平分线，AG是$△ AED$中$∠ EAD$的角平分线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{AB}{AE}=2$，即$AF:AG=2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形对应线段的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的核心是先通过边长比例和公共角判定三角形相似，再利用相似三角形对应角平分线的性质求解，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先计算出△ABC的两条边AB、AC的长度，再验证AB与AE的比值、AC与AD的比值是否相等，结合公共角∠BAC，可判定△ABC和△AED相似；再结合AF、AG分别是两个相似三角形对应角的角平分线，根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求出AF:AG的比值。
【解析】
解：先计算边的长度：
$AC = AE + CE = 3 + 1 = 4$，
$AB = AD + BD = 2 + 4 = 6$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{AC}{AD}=\frac{4}{2}=2$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
又
∵ $∠ BAC = ∠ EAD$（公共角相等），
∴ $△ ABC ∽ △ AED$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵ AF是$△ ABC$中$∠ BAC$的角平分线，AG是$△ AED$中$∠ EAD$的角平分线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{AB}{AE}=2$，即$AF:AG=2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形对应线段的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的核心是先通过边长比例和公共角判定三角形相似，再利用相似三角形对应角平分线的性质求解，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理。
【难度系数】
0.7
9. 学科融合新趋势（淮北期末）我国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.小孔成像示意图及其对应的数学模型如图所示.已知AC与BD交于点O，AB//CD，点O到AB的距离为10 cm，点O到CD的距离为15 cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4 cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是
3.6
cm.答案
9.3.6
解析
【分析】
解题时首先观察到AB平行于CD，结合内错角相等可判定△AOB与△COD相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，建立AB与CD的比例关系，代入已知的AB高度和两个高的数值，即可计算出像CD的高度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设CD的高度为$x$cm，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{10}{15}$
将AB=2.4cm代入上式：
$\frac{2.4}{x}=\frac{2}{3}$
解得：$x=3.6$
【答案】
3.6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合小孔成像的生活场景，体现跨学科融合的考查趋势，核心是利用相似三角形的性质解决实际测量问题，解题关键是找准相似三角形对应的边和高的比例关系，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AB平行于CD，结合内错角相等可判定△AOB与△COD相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，建立AB与CD的比例关系，代入已知的AB高度和两个高的数值，即可计算出像CD的高度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设CD的高度为$x$cm，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{10}{15}$
将AB=2.4cm代入上式：
$\frac{2.4}{x}=\frac{2}{3}$
解得：$x=3.6$
【答案】
3.6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合小孔成像的生活场景，体现跨学科融合的考查趋势，核心是利用相似三角形的性质解决实际测量问题，解题关键是找准相似三角形对应的边和高的比例关系，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
10.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACB=∠ADC=90°,AB=18,AC=12.
(1)求AD和CD的长;
(2)若$DE⊥AC,CF⊥AB$,垂足分别为E,F,求$\frac{DE}{CF}$的值.
(1)求AD和CD的长;
(2)若$DE⊥AC,CF⊥AB$,垂足分别为E,F,求$\frac{DE}{CF}$的值.
答案
10.解:(1)
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD.
∵∠ACB=∠ADC=90°,
∴△ABC∽△ACD.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$,即$\frac{18}{12}=\frac{12}{AD}$.
∴$AD=8$.在Rt△ACD中,由勾股定理,得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=4\sqrt{5}$.(2)由(1),得△ABC∽△ACD.
∵$DE⊥AC,CF⊥AB,∴\frac{DE}{CF}=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$.
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD.
∵∠ACB=∠ADC=90°,
∴△ABC∽△ACD.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$,即$\frac{18}{12}=\frac{12}{AD}$.
∴$AD=8$.在Rt△ACD中,由勾股定理,得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=4\sqrt{5}$.(2)由(1),得△ABC∽△ACD.
∵$DE⊥AC,CF⊥AB,∴\frac{DE}{CF}=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要求AD、CD的长度，先观察已知条件：AC平分∠BAD可得∠BAC=∠CAD，又有∠ACB=∠ADC=90°，可先证△ABC∽△ACD，利用相似三角形对应边成比例求出AD的长，再在Rt△ACD中用勾股定理计算CD的长。
(2) DE是△ACD中AC边上的高，CF是△ABC中AB边上的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可直接求出二者的比值。
【解析】
(1)
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
又
∵∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，代入AB=18，AC=12得$\frac{18}{12}=\frac{12}{AD}$，
解得AD=8。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
(2) 由(1)知△ABC∽△ACD，
∵DE⊥AC，CF⊥AB，DE、CF分别是两个相似三角形对应边上的高，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $AD=8$，$CD=4\sqrt{5}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是先通过角的关系证明三角形相似，再结合相似三角形的性质和勾股定理逐步求解，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是快速解决第二问的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AD、CD的长度，先观察已知条件：AC平分∠BAD可得∠BAC=∠CAD，又有∠ACB=∠ADC=90°，可先证△ABC∽△ACD，利用相似三角形对应边成比例求出AD的长，再在Rt△ACD中用勾股定理计算CD的长。
(2) DE是△ACD中AC边上的高，CF是△ABC中AB边上的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可直接求出二者的比值。
【解析】
(1)
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
又
∵∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，代入AB=18，AC=12得$\frac{18}{12}=\frac{12}{AD}$，
解得AD=8。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
(2) 由(1)知△ABC∽△ACD，
∵DE⊥AC，CF⊥AB，DE、CF分别是两个相似三角形对应边上的高，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $AD=8$，$CD=4\sqrt{5}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是先通过角的关系证明三角形相似，再结合相似三角形的性质和勾股定理逐步求解，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是快速解决第二问的核心。
【难度系数】
0.7
11.某校为学生设计的板凳的截面如图所示，其中$AB=CD$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，$BC // EF // AD$，且$BC$，$EF$到地面$AD$的距离分别为$40\ \mathrm{cm}$，$8\ \mathrm{cm}$。为使板凳两腿底端$A$，$D$之间的距离为$50\ \mathrm{cm}$，求横梁$EF$的长。（材质及其厚度等忽略不计）
答案
11.解:过点C作$CM//AB$,交AD于点M,交EF于点N,过点C作$CH⊥AD$于点H,交EF于点G.由题意,得$CH=40\ \mathrm{cm},GH=8\ \mathrm{cm}$.易得$AM=EN=BC=20\ \mathrm{cm},∴CG=CH-GH=32\ \mathrm{cm}$.
∵$AD=50\ \mathrm{cm},∴DM=AD-AM=30\ \mathrm{cm}$.
∵$EF//AD,∴△CNF∽△CMD.∴\frac{FN}{DM}=\frac{CG}{CH}$,即$\frac{FN}{30}=\frac{32}{40}.∴FN=24\ \mathrm{cm}.∴EF=EN+FN=44\ \mathrm{cm}.$答:横梁EF的长为44 cm.
∵$AD=50\ \mathrm{cm},∴DM=AD-AM=30\ \mathrm{cm}$.
∵$EF//AD,∴△CNF∽△CMD.∴\frac{FN}{DM}=\frac{CG}{CH}$,即$\frac{FN}{30}=\frac{32}{40}.∴FN=24\ \mathrm{cm}.∴EF=EN+FN=44\ \mathrm{cm}.$答:横梁EF的长为44 cm.
解析
【分析】
本题是梯形结合相似三角形的实际应用问题，解题思路可按以下步骤展开：①观察图形特征，已知梯形中一组平行线段，可通过作辅助线将梯形拆分为平行四边形和三角形，简化计算；②利用平行四边形的性质，将已知的BC、AD长度转化为三角形的底边长；③结合两条平行线到地面的距离，得到相似三角形的对应高，再根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，求出未知线段长度，最终得到EF的长。
【解析】
过点C作$CM// AB$，交AD于点M，交EF于点N，过点C作$CH⊥ AD$于点H，交EF于点G。
由题意得：$CH=40\ \mathrm{cm}$，$GH=8\ \mathrm{cm}$。
∵$BC// AD$，$CM// AB$，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴$AM=EN=BC=20\ \mathrm{cm}$，$CG=CH-GH=40-8=32\ \mathrm{cm}$。
∵$AD=50\ \mathrm{cm}$，
∴$DM=AD-AM=50-20=30\ \mathrm{cm}$。
∵$EF// AD$，
∴$△ CNF∽△ CMD$，
根据相似三角形的性质可得$\frac{FN}{DM}=\frac{CG}{CH}$，代入数据得$\frac{FN}{30}=\frac{32}{40}$，
解得$FN=24\ \mathrm{cm}$，
∴$EF=EN+FN=20+24=44\ \mathrm{cm}$。
【答案】
横梁EF的长为$\boldsymbol{44\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的性质，梯形辅助线作法，平行四边形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是通过构造辅助线将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力，以及对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是梯形结合相似三角形的实际应用问题，解题思路可按以下步骤展开：①观察图形特征，已知梯形中一组平行线段，可通过作辅助线将梯形拆分为平行四边形和三角形，简化计算；②利用平行四边形的性质，将已知的BC、AD长度转化为三角形的底边长；③结合两条平行线到地面的距离，得到相似三角形的对应高，再根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，求出未知线段长度，最终得到EF的长。
【解析】
过点C作$CM// AB$，交AD于点M，交EF于点N，过点C作$CH⊥ AD$于点H，交EF于点G。
由题意得：$CH=40\ \mathrm{cm}$，$GH=8\ \mathrm{cm}$。
∵$BC// AD$，$CM// AB$，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴$AM=EN=BC=20\ \mathrm{cm}$，$CG=CH-GH=40-8=32\ \mathrm{cm}$。
∵$AD=50\ \mathrm{cm}$，
∴$DM=AD-AM=50-20=30\ \mathrm{cm}$。
∵$EF// AD$，
∴$△ CNF∽△ CMD$，
根据相似三角形的性质可得$\frac{FN}{DM}=\frac{CG}{CH}$，代入数据得$\frac{FN}{30}=\frac{32}{40}$，
解得$FN=24\ \mathrm{cm}$，
∴$EF=EN+FN=20+24=44\ \mathrm{cm}$。
【答案】
横梁EF的长为$\boldsymbol{44\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的性质，梯形辅助线作法，平行四边形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是通过构造辅助线将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力，以及对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
