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6. 如图,在$△ ABC$中,分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若$△ ADC$的周长为10,$AB=7$,则$△ ABC$的周长为 (
A.7
B.14
C.17
D.20
(第6题图) (第7题图)
C
)A.7
B.14
C.17
D.20
(第6题图) (第7题图)
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD。接下来将△ADC的周长通过等量代换转化为AC与BC的长度和，最后加上AB的长度即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：由作图方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$。
已知△ADC的周长为10，即$AC + CD + AD = 10$，
将AD替换为BD，可得$AC + CD + BD = AC + BC = 10$。
△ABC的周长为$AC + BC + AB$，已知$AB=7$，代入得：
$C_{△ ABC}=10 + 7 = 17$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
3.尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的关键是根据尺规作图的特征识别出垂直平分线，再利用垂直平分线的性质进行线段等量代换，将未知周长转化为已知条件求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图方法，判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD。接下来将△ADC的周长通过等量代换转化为AC与BC的长度和，最后加上AB的长度即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：由作图方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$。
已知△ADC的周长为10，即$AC + CD + AD = 10$，
将AD替换为BD，可得$AC + CD + BD = AC + BC = 10$。
△ABC的周长为$AC + BC + AB$，已知$AB=7$，代入得：
$C_{△ ABC}=10 + 7 = 17$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
3.尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的关键是根据尺规作图的特征识别出垂直平分线，再利用垂直平分线的性质进行线段等量代换，将未知周长转化为已知条件求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
7.(2024·蚌埠三模)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为边$AC$上一点,且$AD=BD$.若$∠ DBC=30°$,则$∠ C$的度数为 (
A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
B
)A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
7.B
解析
【分析】
本题可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，通过设未知数列方程求解。首先明确已知的等腰三角形对应的等角关系：由AB=AC可得∠ABC=∠C，由AD=BD可得∠A=∠ABD；再结合∠DBC=30°，可将△ABC的三个内角都用同一个未知数表示，最后代入三角形内角和公式计算即可得到∠C的度数。
【解析】
设∠A的度数为$ x $。
∵ $ AD=BD $，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$ ∠ ABD = ∠ A = x $。
∵ $ ∠ DBC=30° $，
∴ $ ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = x + 30° $。
又
∵ $ AB=AC $，同理可得$ ∠ C = ∠ ABC = x + 30° $。
根据三角形内角和为$ 180° $，在$ △ ABC $中有：
$ ∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180° $
代入得：$ x + (x + 30°) + (x + 30°) = 180° $
解方程得：$ 3x + 60° = 180° $，$ 3x = 120° $，$ x = 40° $。
∴ $ ∠ C = 40° + 30° = 70° $。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，方程思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，核心考查等边对等角性质的应用，将角度关系转化为方程求解是几何角度计算的常用技巧，需要熟练掌握角度间的等量代换方法。
【难度系数】
0.7
本题可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，通过设未知数列方程求解。首先明确已知的等腰三角形对应的等角关系：由AB=AC可得∠ABC=∠C，由AD=BD可得∠A=∠ABD；再结合∠DBC=30°，可将△ABC的三个内角都用同一个未知数表示，最后代入三角形内角和公式计算即可得到∠C的度数。
【解析】
设∠A的度数为$ x $。
∵ $ AD=BD $，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$ ∠ ABD = ∠ A = x $。
∵ $ ∠ DBC=30° $，
∴ $ ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = x + 30° $。
又
∵ $ AB=AC $，同理可得$ ∠ C = ∠ ABC = x + 30° $。
根据三角形内角和为$ 180° $，在$ △ ABC $中有：
$ ∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180° $
代入得：$ x + (x + 30°) + (x + 30°) = 180° $
解方程得：$ 3x + 60° = 180° $，$ 3x = 120° $，$ x = 40° $。
∴ $ ∠ C = 40° + 30° = 70° $。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，方程思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，核心考查等边对等角性质的应用，将角度关系转化为方程求解是几何角度计算的常用技巧，需要熟练掌握角度间的等量代换方法。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$△ ABC$的周长为14，$AB=AC=5$，$AD⊥ BC$于点$D$，则$BD$的长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
（第8题图）
（第9题图）
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
（第8题图）
（第9题图）
答案
8.B
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，已知三角形周长和两条腰的长度，可先计算出底边BC的长度；再根据AD⊥BC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是BC边上的中线，即点D为BC的中点，因此BD的长度为BC长度的一半，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC的周长为14，AB=AC=5
∴BC = 14 - AB - AC = 14 - 5 - 5 = 4
又
∵AB=AC，AD⊥BC
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，即D为BC的中点
∴BD = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ × 4 = 2
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形性质的灵活运用，解题的关键是明确等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，结合周长求出底边长后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，已知三角形周长和两条腰的长度，可先计算出底边BC的长度；再根据AD⊥BC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是BC边上的中线，即点D为BC的中点，因此BD的长度为BC长度的一半，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC的周长为14，AB=AC=5
∴BC = 14 - AB - AC = 14 - 5 - 5 = 4
又
∵AB=AC，AD⊥BC
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，即D为BC的中点
∴BD = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ × 4 = 2
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形性质的灵活运用，解题的关键是明确等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，结合周长求出底边长后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$△ ABC$的$BC$边上截取$BE=AB$，连接$AE$，作$△ ABE$的角平分线$BD$，交$AE$于点$D$。若$∠ EAC=∠ C$，$BC=9$，$AB=5$，则$AD$的长为
2
。答案
9.2
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 由BE=AB可知△ABE是等腰三角形，结合BD是△ABE的角平分线，可利用等腰三角形三线合一的性质得到D是AE的中点，即AD=$\frac{1}{2}$AE；2. 由∠EAC=∠C可利用等角对等边得到AE=EC；3. 结合已知的BC、AB长度先求出EC的长度，即可逐步算出AD的长度。
【解析】
解：
∵ BE=AB，BD平分∠ABE
∴ △ABE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，BD是AE边上的中线
∴ AD=DE=$\frac{1}{2}$AE
∵ ∠EAC=∠C
∴ AE=EC（等角对等边）
已知AB=5，故BE=AB=5
又
∵ BC=9
∴ EC=BC-BE=9-5=4
∴ AE=EC=4
∴ AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 等角对等边
3. 线段和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别图中的等腰三角形，结合等腰三角形的性质推导线段的等量关系，再结合线段和差计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：1. 由BE=AB可知△ABE是等腰三角形，结合BD是△ABE的角平分线，可利用等腰三角形三线合一的性质得到D是AE的中点，即AD=$\frac{1}{2}$AE；2. 由∠EAC=∠C可利用等角对等边得到AE=EC；3. 结合已知的BC、AB长度先求出EC的长度，即可逐步算出AD的长度。
【解析】
解：
∵ BE=AB，BD平分∠ABE
∴ △ABE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，BD是AE边上的中线
∴ AD=DE=$\frac{1}{2}$AE
∵ ∠EAC=∠C
∴ AE=EC（等角对等边）
已知AB=5，故BE=AB=5
又
∵ BC=9
∴ EC=BC-BE=9-5=4
∴ AE=EC=4
∴ AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 等角对等边
3. 线段和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别图中的等腰三角形，结合等腰三角形的性质推导线段的等量关系，再结合线段和差计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$BD⊥ AC$，$AE⊥ BC$，垂足分别为$D$，$E$，$AE$，$BD$相交于点$O$，连接$DE$。
(1)判断$△ CDE$的形状，并说明理由；
(2)若$OA=12$，求$OE$的长。
(1)判断$△ CDE$的形状，并说明理由；
(2)若$OA=12$，求$OE$的长。
答案
10.解:(1)$△CDE$是等边三角形.理由如下:$\because △ABC$是等边三角形,且$BD⊥AC,AE⊥BC,\therefore ∠C=60^{\circ },BC=AC$,$CE=\frac {1}{2}BC,CD=\frac {1}{2}AC.\therefore CD=CE.\therefore △CDE$是等边三角形. (2)解:$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ABC=∠BAC=60^{\circ }.$$\because BD⊥AC,AE⊥BC,\therefore ∠BAE=∠DBA=∠DBC=\frac {1}{2}×60^{\circ }=30^{\circ }.$$\therefore OB=OA=12.\therefore OE=\frac {1}{2}OB=6.$
解析
【分析】
(1)要判断△CDE的形状，可结合等边三角形的判定思路分析：已知△ABC是等边三角形，可得∠C=60°、AC=BC；再结合BD⊥AC、AE⊥BC，根据等边三角形“三线合一”的性质，可知D、E分别是AC、BC的中点，即可推出CD=CE，结合∠C=60°就能判定△CDE的形状。
(2)求OE的长时，观察发现OE在Rt△BOE中，先利用等边三角形三线合一的性质，得到AE、BD是角平分线，推出∠BAE=∠ABD=30°，即可得OB=OA=12；再结合∠OBE=30°，利用直角三角形30°角对的直角边为斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
(1)△CDE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，$BD⊥AC$，$AE⊥BC$，
∴$∠C=60°$，$BC=AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$CD=\frac{1}{2}AC$，
∴$CD=CE$，
∴△CDE是有一个角为60°的等腰三角形，即△CDE为等边三角形。
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ABC=∠BAC=60°$，
∵$BD⊥AC$，$AE⊥BC$，
∴AE、BD分别平分∠BAC、∠ABC，
∴$∠BAE=∠DBA=∠DBC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$∠BAE=∠DBA$，
∴$OB=OA=12$，
在Rt△BEO中，$∠OBE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
(1)△CDE是等边三角形；(2)$OE=6$
【知识点】
等边三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的基础综合题，解题核心是熟练运用等边三角形“三线合一”的性质，结合对应图形的判定、边角关系即可求解，是三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
(1)要判断△CDE的形状，可结合等边三角形的判定思路分析：已知△ABC是等边三角形，可得∠C=60°、AC=BC；再结合BD⊥AC、AE⊥BC，根据等边三角形“三线合一”的性质，可知D、E分别是AC、BC的中点，即可推出CD=CE，结合∠C=60°就能判定△CDE的形状。
(2)求OE的长时，观察发现OE在Rt△BOE中，先利用等边三角形三线合一的性质，得到AE、BD是角平分线，推出∠BAE=∠ABD=30°，即可得OB=OA=12；再结合∠OBE=30°，利用直角三角形30°角对的直角边为斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
(1)△CDE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，$BD⊥AC$，$AE⊥BC$，
∴$∠C=60°$，$BC=AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$CD=\frac{1}{2}AC$，
∴$CD=CE$，
∴△CDE是有一个角为60°的等腰三角形，即△CDE为等边三角形。
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ABC=∠BAC=60°$，
∵$BD⊥AC$，$AE⊥BC$，
∴AE、BD分别平分∠BAC、∠ABC，
∴$∠BAE=∠DBA=∠DBC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$∠BAE=∠DBA$，
∴$OB=OA=12$，
在Rt△BEO中，$∠OBE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
(1)△CDE是等边三角形；(2)$OE=6$
【知识点】
等边三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的基础综合题，解题核心是熟练运用等边三角形“三线合一”的性质，结合对应图形的判定、边角关系即可求解，是三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=60°$.以点B为圆心,适当长度为半径画弧,分别交BA,BC于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧交于点G;作射线BG,交AC于点D.若$AD=BD$,则$∠ A$的度数为(
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
B
)A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
11.B
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图是作角平分线，可得BD平分∠ABC，推出∠ABD=∠CBD；再结合AD=BD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠ABD，进而可将∠ABC用∠A表示；最后利用三角形内角和为180°，代入已知∠C=60°列方程求解即可得到∠A的度数。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，BD是∠ABC的角平分线，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$，
∵ $AD = BD$，
∴ $△ ABD$是等腰三角形，
∴ $∠ A = ∠ ABD$，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD = ∠ A$，即$∠ ABC = 2∠ A$，
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，已知$∠ C=60°$，
代入得：$∠ A + 2∠ A + 60° = 180°$，
解得：$3∠ A = 120°$，$∠ A = 40°$。
【答案】
B
【知识点】
尺规作角平分线；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确识别角平分线的尺规作图，结合等腰三角形性质得到角的等量关系，再利用三角形内角和公式求解，是角平分线、等腰三角形相关知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
首先识别题中的尺规作图是作角平分线，可得BD平分∠ABC，推出∠ABD=∠CBD；再结合AD=BD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠ABD，进而可将∠ABC用∠A表示；最后利用三角形内角和为180°，代入已知∠C=60°列方程求解即可得到∠A的度数。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，BD是∠ABC的角平分线，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$，
∵ $AD = BD$，
∴ $△ ABD$是等腰三角形，
∴ $∠ A = ∠ ABD$，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD = ∠ A$，即$∠ ABC = 2∠ A$，
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，已知$∠ C=60°$，
代入得：$∠ A + 2∠ A + 60° = 180°$，
解得：$3∠ A = 120°$，$∠ A = 40°$。
【答案】
B
【知识点】
尺规作角平分线；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确识别角平分线的尺规作图，结合等腰三角形性质得到角的等量关系，再利用三角形内角和公式求解，是角平分线、等腰三角形相关知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是AC延长线上的一点,点E在射线DB上,且有$∠ BAC=∠ CED$,连接EA.求证:EA平分$∠ BEC$.
答案
12.证明:过点A作$AM⊥BD$于点M,$AN⊥CE$于点N,$\therefore ∠AMB=∠ANC=90^{\circ }.$$\because ∠BAC+∠ABD+∠D=180^{\circ },∠CED+∠DCE+∠D=180^{\circ },∠BAC=∠CED,\therefore ∠ABD=∠DCE.$$\therefore ∠ABM=∠ACN.$在$△ABM$和$△ACN$中,$\because \{\begin{array}{l} ∠AMB=∠ANC,\\ ∠ABM=∠ACN,\\ AB=AC,\end{array} $$\therefore △ABM≌ △ACN(AAS).\therefore AM=AN.$$\because AM⊥BD,AN⊥CE,\therefore EA$平分$∠BEC.$
解析
【分析】
要证明EA平分∠BEC，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，只需证明AM=AN即可。已知AB=AC，可通过证明△ABM≌△ACN得到AM=AN：结合已知∠BAC=∠CED，利用三角形内角和为180°，可推出∠ABM=∠ACN，结合两个直角相等、AB=AC的条件，即可用AAS判定两三角形全等，最终推导出结论。
【解析】
证明:过点A作$AM⊥BD$于点M,$AN⊥CE$于点N,$\therefore ∠AMB=∠ANC=90^{\circ }.$
$\because ∠BAC+∠ABD+∠D=180^{\circ },∠CED+∠DCE+∠D=180^{\circ },∠BAC=∠CED,$
$\therefore ∠ABD=∠DCE$，即$∠ABM=∠ACN.$
在$△ABM$和$△ACN$中,
$\because \{\begin{array}{l} ∠AMB=∠ANC,\\ ∠ABM=∠ACN,\\ AB=AC,\end{array} $
$\therefore △ABM≌ △ACN(AAS).$
$\therefore AM=AN.$
又$\because AM⊥BD,AN⊥CE,$
$\therefore EA$平分$∠BEC.$
【答案】
EA平分$∠ BEC$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用角平分线的判定构造垂线段，将角平分线的证明转化为线段相等的证明，再通过三角形内角和推导等角完成全等证明，考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要证明EA平分∠BEC，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，只需证明AM=AN即可。已知AB=AC，可通过证明△ABM≌△ACN得到AM=AN：结合已知∠BAC=∠CED，利用三角形内角和为180°，可推出∠ABM=∠ACN，结合两个直角相等、AB=AC的条件，即可用AAS判定两三角形全等，最终推导出结论。
【解析】
证明:过点A作$AM⊥BD$于点M,$AN⊥CE$于点N,$\therefore ∠AMB=∠ANC=90^{\circ }.$
$\because ∠BAC+∠ABD+∠D=180^{\circ },∠CED+∠DCE+∠D=180^{\circ },∠BAC=∠CED,$
$\therefore ∠ABD=∠DCE$，即$∠ABM=∠ACN.$
在$△ABM$和$△ACN$中,
$\because \{\begin{array}{l} ∠AMB=∠ANC,\\ ∠ABM=∠ACN,\\ AB=AC,\end{array} $
$\therefore △ABM≌ △ACN(AAS).$
$\therefore AM=AN.$
又$\because AM⊥BD,AN⊥CE,$
$\therefore EA$平分$∠BEC.$
【答案】
EA平分$∠ BEC$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用角平分线的判定构造垂线段，将角平分线的证明转化为线段相等的证明，再通过三角形内角和推导等角完成全等证明，考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
