思维导图 ▶▶▶ 构建知识体系
轴对称图形与等腰三角形
轴对称图形
├─ 轴对称图形与轴对称
├─ 轴对称的性质：对称轴对应点的连线
└─ 坐标系中的轴对称
├─ 点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为
└─ 关于y轴对称的点的坐标为
线段的垂直平分线
├─ 定义:经过线段的并且于这条线段的直线
├─ 性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
└─ 判定:到线段两端距离的点在线段的垂直平分线上
等腰三角形
├─ 定义:有两条边相等的三角形
├─ 性质:①等腰三角形的两相等(简称“”)
│ ②等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和底边上的高重合(简称“三线合一”)
└─ 判定:有两个角的三角形是等腰三角形(简称“”)
等边三角形
├─ 定义:三条边都相等的三角形
├─ 性质:等边三角形三个内角，每一个内角都等于
├─ 判定:①三个角都的三角形是等边三角形
│ ②有一个角是60°的三角形是等边三角形
└─ 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的
角平分线
├─ 尺规作图:作角的平分线;过一点作已知直线的垂线
├─ 性质:角平分线上的点到角两边的距离
└─ 判定:角的内部到角两边距离的点在角的平分线上

轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线；点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)；点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)；线段垂直平分线定义:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线；性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；判定:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形性质:①等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)；判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)；等边三角形性质:等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°；判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；角平分线性质:角平分线上的点到角两边的距离相等；判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

【分析】
本题是对轴对称与等腰三角形章节的基础知识点汇总考察，全部为教材原文识记内容。解题时依次回忆各板块对应的概念、性质、判定规则对号入座即可：①回忆轴对称性质填对称轴与对应点连线的关系；②回忆平面直角坐标系中对称点坐标变化规律（关于x轴对称则横坐标不变、纵坐标变号，关于y轴对称则纵坐标不变、横坐标变号）；③回忆线段垂直平分线的定义、性质、判定；④回忆等腰、等边三角形的性质和判定口诀；⑤回忆含30°角的直角三角形的特殊性质；⑥回忆角平分线的性质和判定内容，逐一填写即可。
【解析】
我们按知识点顺序逐一推导填写：
1. 轴对称的性质：对称轴和对应点连线的关系是垂直平分，故填垂直平分；
2. 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标取相反数，因此点$P(x,y)$关于x轴对称的点坐标为$(x,-y)$；
3. 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，因此点$P(x,y)$关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$；
4. 线段垂直平分线的定义需满足两个条件：经过线段中点、和线段垂直，因此依次填中点、垂直；
5. 线段垂直平分线的性质：线上任意一点到线段两端的距离相等，故填相等；
6. 线段垂直平分线的判定是性质的逆用：到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上，故填相等；
7. 等腰三角形的性质：两条边相等对应的两个底角相等，简称等边对等角，因此依次填底角、等边对等角；
8. 等腰三角形的判定是性质的逆用：两个角相等对应的两条边相等，简称等角对等边，因此依次填相等、等角对等边；
9. 等边三角形的性质：三个内角都相等，三角形内角和为180°，因此每个内角为$180°÷3=60°$，依次填相等、$60°$；
10. 等边三角形判定1：三个角都相等的三角形三条边也相等，是等边三角形，故填相等；
11. 等边三角形判定2：等腰三角形本身有两个角相等，若再有一个角是$60°$，则三个角都相等，为等边三角形，故填等腰；
12. 含30°角的直角三角形的特殊性质：30°角对的直角边长度是斜边的一半，故填一半；
13. 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，故填相等；
14. 角平分线的判定是性质的逆用：角内部到两边距离相等的点在角平分线上，故填相等。
【答案】
轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线；点$P(x,y)$关于x轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；点$P(x,y)$关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$；线段垂直平分线定义:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线；性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；判定:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形性质:①等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)；判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)；等边三角形性质:等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于$60°$；判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于斜边的一半；角平分线性质:角平分线上的点到角两边的距离相等；判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
轴对称的性质、等腰（等边）三角形的性质与判定、线段与角平分线的性质判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，用于梳理本章核心知识点，所有内容都是几何板块的基础核心结论，熟练掌握这些内容是解决轴对称相关几何综合题的前提，需要准确记忆，避免混淆相关性质和判定。
【难度系数】
0.9

1. 学科融合新趋势 在下列四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是 （）

1.A

【分析】
要判断四个化学仪器示意图是否为轴对称图形，首先明确轴对称图形的判断依据：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形。接下来逐个分析四个选项的图形特征，验证是否满足该条件即可：A为试管，外形是均匀的柱形截面，沿竖直中线折叠两侧完全对称；B洗气瓶的两个导管一长一短，折叠后无法重合；C铁架台的竖直支架靠近底座左端，不在中线上，折叠后支架位置无法重合；D分液漏斗侧面有活塞结构，另一侧无对应结构，折叠后无法重合，因此只有A符合要求。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一判断：
选项A：试管示意图沿竖直中线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项B：洗气瓶两侧的导管长度、伸出长度均不相同，折叠后无法重合，不属于轴对称图形；
选项C：铁架台的竖直支架位于底座一侧，不在底座中线上，折叠后支架位置无法重合，不属于轴对称图形；
选项D：分液漏斗侧面有活塞结构，另一侧无对应结构，折叠后无法重合，不属于轴对称图形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 轴对称图形识别
【点评】
本题是跨学科融合题型，将数学中轴对称图形的判断与化学常见仪器的外形认知相结合，考查形式灵活，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8

2.如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$l$对称，$∠ A=50°$，$∠ C'=30°$，则$∠ B$的度数为（）

A.$30°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$

（第2题图）
（第4题图）

2.D

【分析】
解题时首先结合轴对称的性质思考：关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等，因此可以得到∠C和已知的∠C'相等。再根据三角形内角和为180°，用内角和减去已知的∠A和∠C的度数，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C=∠C'=30°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：∠A+∠B+∠C=180°，
已知∠A=50°，∠C=30°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-30°=100°。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用轴对称的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和定理计算未知角的度数，考查学生对基础性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8

3.已知点$A(m,2)$和点$B(-3,n)$关于$x$轴对称，则$m-n$的值是（）

A.$-1$
B.$-3$
C.$3$
D.$1$

3.A

【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们先利用该性质求出m、n的取值，再将m、n代入代数式m-n计算即可得到结果。
【解析】
∵ 关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，
点$A(m,2)$和点$B(-3,n)$关于x轴对称，
∴ $m = -3$，$n = -2$，
∴ $m - n = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，是基础题型，熟练掌握不同对称方式下的点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8

4.如图，在$△ ABC$中，线段AC的垂直平分线交AB于点D，连接CD.若$∠ A=48°$，则$∠ BDC$的度数为 （）

A.$48°$
B.$96°$
C.$90°$
D.$84°$

4.B

【分析】
解题时首先抓住题干中的关键条件“线段AC的垂直平分线”，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而推出△ADC为等腰三角形，得到∠ACD=∠A；再观察∠BDC的位置，它是△ADC的外角，结合三角形外角的性质即可求出∠BDC的度数。
【解析】
∵点D在AC的垂直平分线上
∴AD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴△ADC是等腰三角形，∠ACD=∠A=48°
∵∠BDC是△ADC的外角
∴∠BDC=∠A+∠ACD=48°+48°=96°
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对基础几何性质的应用，解题关键是能快速从题干条件关联到对应的性质定理，再结合图形特征选择合适的定理计算角度。
【难度系数】
0.8

5.如图，AC=AD，BC=BD，则下列结论正确的是
（）

A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB
D.∠ACB=∠ADB=90°

5.B

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先根据已知条件AC=AD，可判断点A在CD的垂直平分线上；再由BC=BD，可判断点B也在CD的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，即可得出AB是CD的垂直平分线。再逐一分析其余选项，判断其是否有条件支撑，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ AC=AD，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵ BC=BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上，
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD，故B选项正确。
对其余选项分析如下：
A选项：题目未给出CA=CB、DA=DB等能证明点C、D在AB垂直平分线上的条件，无法得出CD垂直平分AB，故A错误；
C选项：没有条件证明△ACB为等腰三角形或△ACD≌△BCD等，无法推出CD平分∠ACB，故C错误；
D选项：题目无直角相关的已知条件，无法得出∠ACB=∠ADB=90°，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查线段垂直平分线的判定，解题时要严格结合已知条件推导，切忌随意添加题目未给出的条件，逐一验证选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8