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3.如图,在△ABC中,D,E为边AC上的两个点,试在AB,BC上分别取点M,N,使四边形DMNE的周长最小.
答案
3.解:如图,分别作点D,E关于AB,BC的对称点D',E',连接D'E',分别交AB,BC于点M,N,则DM+MN+EN=D'M+MN+E'N=D'E',此时四边形DMNE的周长最小，
。解析
【分析】
要使四边形DMNE的周长最小，首先分析周长的组成：四边形DMNE的周长=DM+MN+NE+ED，其中D、E是AC上的定点，因此ED的长度是固定值，所以只需让DM+MN+NE的和最小即可。我们可以利用轴对称的性质，将折线段DM、NE转化为另外两条相等的线段，把折线段的和转化为两点之间的连线，再根据“两点之间线段最短”找到最短路径，从而确定M、N的位置。
【解析】
1. 明确周长中的定值：D、E为边AC上的定点，因此线段DE的长度固定，要使四边形DMNE周长最小，只需使DM+MN+NE的和最小。
2. 作对称点：分别作点D关于直线AB的对称点D'，点E关于直线BC的对称点E'。根据轴对称的性质可得：DM=D'M，NE=NE'。
3. 转化线段和：此时DM+MN+NE=D'M+MN+E'N，根据“两点之间线段最短”，当D'、M、N、E'四点共线时，D'M+MN+E'N的和最小，最小值为线段D'E'的长度。
4. 确定所求点：连接D'E'，分别交AB、BC于点M、N，该M、N即为所求的点，此时四边形DMNE的周长最小。
【答案】
分别作点D,E关于AB,BC的对称点D',E',连接D'E',分别交AB,BC于点M,N,则DM+MN+EN=D'M+MN+E'N=D'E',此时四边形DMNE的周长最小，。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题属于轴对称最短路径的典型应用，解题核心是通过轴对称变换将分散的折线段转化为共线的线段和，从而利用两点之间线段最短的性质求解，解题时要注意准确找到对应点的对称点，体会转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
要使四边形DMNE的周长最小，首先分析周长的组成：四边形DMNE的周长=DM+MN+NE+ED，其中D、E是AC上的定点，因此ED的长度是固定值，所以只需让DM+MN+NE的和最小即可。我们可以利用轴对称的性质，将折线段DM、NE转化为另外两条相等的线段，把折线段的和转化为两点之间的连线，再根据“两点之间线段最短”找到最短路径，从而确定M、N的位置。
【解析】
1. 明确周长中的定值：D、E为边AC上的定点，因此线段DE的长度固定，要使四边形DMNE周长最小，只需使DM+MN+NE的和最小。
2. 作对称点：分别作点D关于直线AB的对称点D'，点E关于直线BC的对称点E'。根据轴对称的性质可得：DM=D'M，NE=NE'。
3. 转化线段和：此时DM+MN+NE=D'M+MN+E'N，根据“两点之间线段最短”，当D'、M、N、E'四点共线时，D'M+MN+E'N的和最小，最小值为线段D'E'的长度。
4. 确定所求点：连接D'E'，分别交AB、BC于点M、N，该M、N即为所求的点，此时四边形DMNE的周长最小。
【答案】
分别作点D,E关于AB,BC的对称点D',E',连接D'E',分别交AB,BC于点M,N,则DM+MN+EN=D'M+MN+E'N=D'E',此时四边形DMNE的周长最小，
。【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题属于轴对称最短路径的典型应用，解题核心是通过轴对称变换将分散的折线段转化为共线的线段和，从而利用两点之间线段最短的性质求解，解题时要注意准确找到对应点的对称点，体会转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
方法总结：
常见最值问题 | 原理
--- | ---
在直线$l$上找一点$P$，使$PA + PB$的值最小。
作法：作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$与直线$l$交于点$P$
| $PA + PB =$
在直线$l_1,l_2$上分别求作点$M,N$，使$△ PMN$的周长的值最小。
作法：分别作点$P$关于直线$l_1,l_2$的对称点$P',P''$，连接$P'P''$，分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$ | $PM + MN + PN =$
在直线$l_1,l_2$上分别求作点$M,N$，使四边形$PMNQ$的周长的值最小。
作法：分别作点$P,Q$关于直线$l_1,l_2$的对称点$P',Q'$，连接$P'Q'$，分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$ | $PQ + PM + MN + QN = PQ +$
常见最值问题 | 原理
--- | ---
在直线$l$上找一点$P$，使$PA + PB$的值最小。
作法：作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$与直线$l$交于点$P$
| $PA + PB =$ $A'B$
，两点之间，线段最短在直线$l_1,l_2$上分别求作点$M,N$，使$△ PMN$的周长的值最小。
作法：分别作点$P$关于直线$l_1,l_2$的对称点$P',P''$，连接$P'P''$，分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$ | $PM + MN + PN =$
$P'P''$
，两点之间，线段最短在直线$l_1,l_2$上分别求作点$M,N$，使四边形$PMNQ$的周长的值最小。
作法：分别作点$P,Q$关于直线$l_1,l_2$的对称点$P',Q'$，连接$P'Q'$，分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$ | $PQ + PM + MN + QN = PQ +$
$P'Q'$
，两点之间，线段最短答案
$A'B$ $P'P''$ $P'Q'$
解析
【分析】
解决这类轴对称相关的最值问题，核心思路是利用轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，将原本的折线段长度和转化为两个定点之间的线段长度，再结合“两点之间，线段最短”的原理得到最小值。
首先看第一个问题：点A和A'关于直线l对称，故PA=PA'，可将PA+PB转化为PA'+PB，当P在A'B与直线l的交点时，PA'+PB的长度就是线段A'B的长度，为最小值。
再看第二个问题：点P关于l₁的对称点是P'，故PM=P'M；点P关于l₂的对称点是P''，故PN=P''N，可将PM+MN+PN转化为P'M+MN+P''N，当M、N为P'P''与两直线交点时，三者之和就是线段P'P''的长度，为最小值。
最后看第三个问题：点P关于l₁的对称点是P'，故PM=P'M；点Q关于l₂的对称点是Q'，故QN=Q'N，可将PM+MN+QN转化为P'M+MN+Q'N，当M、N为P'Q'与两直线交点时，三者之和就是线段P'Q'的长度，因此总周长可转化为PQ加上P'Q'的长度，为最小值。
【解析】
1. 由轴对称的性质可知，点A与A'关于直线l对称，因此$PA=PA'$，则$PA+PB=PA'+PB$，当P为$A'B$与直线l的交点时，$PA'+PB=A'B$，此时和最小，故第一空填$A'B$。
2. 由轴对称的性质可知，点P与$P'$关于直线$l_1$对称，故$PM=P'M$；点P与$P''$关于直线$l_2$对称，故$PN=P''N$，因此$PM+MN+PN=P'M+MN+P''N$，当M、N为$P'P''$与两条直线的交点时，$P'M+MN+P''N=P'P''$，此时周长最小，故第二空填$P'P''$。
3. 由轴对称的性质可知，点P与$P'$关于直线$l_1$对称，故$PM=P'M$；点Q与$Q'$关于直线$l_2$对称，故$QN=Q'N$，因此$PM+MN+QN=P'M+MN+Q'N$，当M、N为$P'Q'$与两条直线的交点时，$P'M+MN+Q'N=P'Q'$，因此$PQ+PM+MN+QN=PQ+P'Q'$，此时周长最小，故第三空填$P'Q'$。
【答案】
$A'B$；$P'P''$；$P'Q'$
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称应用于最短路径问题的基础总结类题目，核心是掌握“用轴对称转化折线段为定点连线段”的思路，该方法是解决几何最短路径问题的常用方法，熟练掌握后可快速求解同类最值问题。
【难度系数】
0.8
解决这类轴对称相关的最值问题，核心思路是利用轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，将原本的折线段长度和转化为两个定点之间的线段长度，再结合“两点之间，线段最短”的原理得到最小值。
首先看第一个问题：点A和A'关于直线l对称，故PA=PA'，可将PA+PB转化为PA'+PB，当P在A'B与直线l的交点时，PA'+PB的长度就是线段A'B的长度，为最小值。
再看第二个问题：点P关于l₁的对称点是P'，故PM=P'M；点P关于l₂的对称点是P''，故PN=P''N，可将PM+MN+PN转化为P'M+MN+P''N，当M、N为P'P''与两直线交点时，三者之和就是线段P'P''的长度，为最小值。
最后看第三个问题：点P关于l₁的对称点是P'，故PM=P'M；点Q关于l₂的对称点是Q'，故QN=Q'N，可将PM+MN+QN转化为P'M+MN+Q'N，当M、N为P'Q'与两直线交点时，三者之和就是线段P'Q'的长度，因此总周长可转化为PQ加上P'Q'的长度，为最小值。
【解析】
1. 由轴对称的性质可知，点A与A'关于直线l对称，因此$PA=PA'$，则$PA+PB=PA'+PB$，当P为$A'B$与直线l的交点时，$PA'+PB=A'B$，此时和最小，故第一空填$A'B$。
2. 由轴对称的性质可知，点P与$P'$关于直线$l_1$对称，故$PM=P'M$；点P与$P''$关于直线$l_2$对称，故$PN=P''N$，因此$PM+MN+PN=P'M+MN+P''N$，当M、N为$P'P''$与两条直线的交点时，$P'M+MN+P''N=P'P''$，此时周长最小，故第二空填$P'P''$。
3. 由轴对称的性质可知，点P与$P'$关于直线$l_1$对称，故$PM=P'M$；点Q与$Q'$关于直线$l_2$对称，故$QN=Q'N$，因此$PM+MN+QN=P'M+MN+Q'N$，当M、N为$P'Q'$与两条直线的交点时，$P'M+MN+Q'N=P'Q'$，因此$PQ+PM+MN+QN=PQ+P'Q'$，此时周长最小，故第三空填$P'Q'$。
【答案】
$A'B$；$P'P''$；$P'Q'$
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称应用于最短路径问题的基础总结类题目，核心是掌握“用轴对称转化折线段为定点连线段”的思路，该方法是解决几何最短路径问题的常用方法，熟练掌握后可快速求解同类最值问题。
【难度系数】
0.8
成果检测：
如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$AB=6$，$△ ABC$的面积为12，$CD⊥ AB$于点$D$，直线$EF$垂直平分$BC$，交$AB$于点$E$，交$BC$于点$F$。$P$是线段$EF$上的一个动点，则$△ PBD$周长的最小值是（
A.6
B.7
C.10
D.12
如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$AB=6$，$△ ABC$的面积为12，$CD⊥ AB$于点$D$，直线$EF$垂直平分$BC$，交$AB$于点$E$，交$BC$于点$F$。$P$是线段$EF$上的一个动点，则$△ PBD$周长的最小值是（
B
）A.6
B.7
C.10
D.12
答案
B
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形三线合一的性质和已知的三角形面积、底边长，求出CD的长度和BD的长度；再利用线段垂直平分线的性质，将PB转化为PC，把△PBD的周长转化为PC+PD+BD，将求周长最小值的问题转化为求PC+PD的最小值；最后根据两点之间线段最短，确定当C、P、D三点共线时PC+PD最小，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 求BD和CD的长度：
已知$AC=BC$，$CD⊥AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，D是AB的中点，因此$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
由$△ABC$的面积为12，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$12=\frac{1}{2}×AB×CD$，代入$AB=6$解得：$CD=\frac{12×2}{6}=4$。
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
因为EF是BC的垂直平分线，点P在EF上，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$PB=PC$。
因此$△PBD$的周长$=PB+PD+BD=PC+PD+3$。
3. 求周长最小值：
要使$△PBD$周长最小，需使$PC+PD$最小，根据两点之间线段最短，当C、P、D三点共线时，$PC+PD$的最小值等于CD的长度4。
因此$△PBD$周长的最小值为$4+3=7$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题是轴对称最值类的典型题型，核心是通过线段垂直平分线的性质完成等线段转化，将三角形周长最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，解题关键是找准线段的等量关系，确定动点取最小值时的位置。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形三线合一的性质和已知的三角形面积、底边长，求出CD的长度和BD的长度；再利用线段垂直平分线的性质，将PB转化为PC，把△PBD的周长转化为PC+PD+BD，将求周长最小值的问题转化为求PC+PD的最小值；最后根据两点之间线段最短，确定当C、P、D三点共线时PC+PD最小，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 求BD和CD的长度：
已知$AC=BC$，$CD⊥AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，D是AB的中点，因此$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
由$△ABC$的面积为12，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$12=\frac{1}{2}×AB×CD$，代入$AB=6$解得：$CD=\frac{12×2}{6}=4$。
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
因为EF是BC的垂直平分线，点P在EF上，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$PB=PC$。
因此$△PBD$的周长$=PB+PD+BD=PC+PD+3$。
3. 求周长最小值：
要使$△PBD$周长最小，需使$PC+PD$最小，根据两点之间线段最短，当C、P、D三点共线时，$PC+PD$的最小值等于CD的长度4。
因此$△PBD$周长的最小值为$4+3=7$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题是轴对称最值类的典型题型，核心是通过线段垂直平分线的性质完成等线段转化，将三角形周长最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，解题关键是找准线段的等量关系，确定动点取最小值时的位置。
【难度系数】
0.7
任务2:会利用“轴对称＋垂线段最短”求最值
创设问题情境:若将题干中条件“CD⊥AB于点D”改为“D为线段AB上一点”，问题改为“求PB＋PD的最小值，并指出此时点D的位置”.
创设问题情境:若将题干中条件“CD⊥AB于点D”改为“D为线段AB上一点”，问题改为“求PB＋PD的最小值，并指出此时点D的位置”.
答案
解:连接CP.
∵EF垂直平分BC,
∴PB=PC.
∴PB+PD=PC+PD.
∵PC+PD≥CD,
∴当点C,D,P三点共线时,PC+PD的值最小,此时PB+PD=PC+PD=CD.又
∵CD⊥AB时,CD最小,此时S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·CD=12,
∴CD=4.
∴PB+PD的最小值为4.
∴当CD⊥AB时,PB+PD的最小值为4.
∵EF垂直平分BC,
∴PB=PC.
∴PB+PD=PC+PD.
∵PC+PD≥CD,
∴当点C,D,P三点共线时,PC+PD的值最小,此时PB+PD=PC+PD=CD.又
∵CD⊥AB时,CD最小,此时S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·CD=12,
∴CD=4.
∴PB+PD的最小值为4.
∴当CD⊥AB时,PB+PD的最小值为4.
解析
【分析】
要解决PB+PD的最小值问题，首先利用轴对称性质转化线段：已知EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，点P在EF上时PB=PC，因此可将PB+PD转化为PC+PD。接下来求PC+PD的最小值，根据两点之间线段最短，当C、P、D三点共线时，PC+PD的最小值等于CD的长度；再根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD的长度最小，最后结合三角形面积公式即可计算出CD的最小长度，也就是PB+PD的最小值，此时D为AB边上的垂足。
【解析】
连接CP，
∵EF垂直平分BC，点P在EF上，
∴PB=PC，
∴PB+PD=PC+PD，
根据两点之间线段最短可得：PC+PD≥CD，
∴当点C、P、D三点共线时，PC+PD的值最小，此时PB+PD=PC+PD=CD。
再根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD的长度最小，
已知$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=12$，计算得CD=4，
即此时PB+PD的最小值为4。
综上，当CD⊥AB时，PB+PD取得最小值4。
【答案】
PB+PD的最小值为4，此时点D为过点C作AB的垂线的垂足（即CD⊥AB时的点D）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短
【点评】
本题是轴对称类最短路径的典型问题，解题关键是通过线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将分散的线段和转化为共端点的线段和，再结合最短原理逐步推导最小值，同时结合三角形面积计算具体数值，充分体现了几何最值问题中的转化思想。
【难度系数】
0.6
要解决PB+PD的最小值问题，首先利用轴对称性质转化线段：已知EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，点P在EF上时PB=PC，因此可将PB+PD转化为PC+PD。接下来求PC+PD的最小值，根据两点之间线段最短，当C、P、D三点共线时，PC+PD的最小值等于CD的长度；再根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD的长度最小，最后结合三角形面积公式即可计算出CD的最小长度，也就是PB+PD的最小值，此时D为AB边上的垂足。
【解析】
连接CP，
∵EF垂直平分BC，点P在EF上，
∴PB=PC，
∴PB+PD=PC+PD，
根据两点之间线段最短可得：PC+PD≥CD，
∴当点C、P、D三点共线时，PC+PD的值最小，此时PB+PD=PC+PD=CD。
再根据垂线段最短的性质，当CD⊥AB时，CD的长度最小，
已知$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=12$，计算得CD=4，
即此时PB+PD的最小值为4。
综上，当CD⊥AB时，PB+PD取得最小值4。
【答案】
PB+PD的最小值为4，此时点D为过点C作AB的垂线的垂足（即CD⊥AB时的点D）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短
【点评】
本题是轴对称类最短路径的典型问题，解题关键是通过线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将分散的线段和转化为共端点的线段和，再结合最短原理逐步推导最小值，同时结合三角形面积计算具体数值，充分体现了几何最值问题中的转化思想。
【难度系数】
0.6
4. 一题多解 思维发散 如图，点P在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PD+CD的值最小。
答案
4.解:如图,作点P关于直线OB的对称点P',过点P'作P'C⊥OA,垂足为C,P'C交OB于点D,点C,D即为所求，
。【另解】作点P关于直线OA的对称点P'',过点P''向直线OB作垂线,垂足即为点D,P''D与OA的交点即为点C。
解析
【分析】
要使PD+CD的值最小，需利用轴对称性质将折线转化为直线段，结合最短距离相关性质求解：首先D在OB上，作点P关于OB的对称点P'，根据轴对称性质可得PD=P'D，那么PD+CD就转化为P'D+CD；要让P'D+CD的和最小，本质是求点P'到直线OA的最短距离，根据垂线段最短，过P'作OA的垂线，垂线与OA的交点就是C，与OB的交点就是D，此时PD+CD的长度等于垂线段P'C的长度，为最小值。
【解析】
1. 作点P关于直线OB的对称点P'，根据轴对称的性质，对于OB上任意一点D，都有PD=P'D，因此PD+CD = P'D+CD。
2. 过点P'作P'C⊥OA，垂足为C，线段P'C与OB交于点D。根据垂线段最短，P'C是点P'到直线OA的最短距离，即P'D+CD的最小值为P'C的长度，因此点C、D即为所求。
另解：也可作点P关于直线OA的对称点P''，过点P''作直线OB的垂线，垂足为点D，P''D与OA的交点即为点C，此时PD+CD的和同样为最小值。
【答案】
如图,作点P关于直线OB的对称点P',过点P'作P'C⊥OA,垂足为C,P'C交OB于点D,点C,D即为所求，。
【另解】作点P关于直线OA的对称点P'',过点P''向直线OB作垂线,垂足即为点D,P''D与OA的交点即为点C。
【知识点】
轴对称的性质、垂线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是轴对称应用于最值问题的典型题型，解题核心是通过轴对称变换将分散的线段整合到同一路径上，再结合垂线段最短的性质得到最短距离，熟练掌握轴对称的性质和最短路径的转化思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要使PD+CD的值最小，需利用轴对称性质将折线转化为直线段，结合最短距离相关性质求解：首先D在OB上，作点P关于OB的对称点P'，根据轴对称性质可得PD=P'D，那么PD+CD就转化为P'D+CD；要让P'D+CD的和最小，本质是求点P'到直线OA的最短距离，根据垂线段最短，过P'作OA的垂线，垂线与OA的交点就是C，与OB的交点就是D，此时PD+CD的长度等于垂线段P'C的长度，为最小值。
【解析】
1. 作点P关于直线OB的对称点P'，根据轴对称的性质，对于OB上任意一点D，都有PD=P'D，因此PD+CD = P'D+CD。
2. 过点P'作P'C⊥OA，垂足为C，线段P'C与OB交于点D。根据垂线段最短，P'C是点P'到直线OA的最短距离，即P'D+CD的最小值为P'C的长度，因此点C、D即为所求。
另解：也可作点P关于直线OA的对称点P''，过点P''作直线OB的垂线，垂足为点D，P''D与OA的交点即为点C，此时PD+CD的和同样为最小值。
【答案】
如图,作点P关于直线OB的对称点P',过点P'作P'C⊥OA,垂足为C,P'C交OB于点D,点C,D即为所求，
。【另解】作点P关于直线OA的对称点P'',过点P''向直线OB作垂线,垂足即为点D,P''D与OA的交点即为点C。
【知识点】
轴对称的性质、垂线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是轴对称应用于最值问题的典型题型，解题核心是通过轴对称变换将分散的线段整合到同一路径上，再结合垂线段最短的性质得到最短距离，熟练掌握轴对称的性质和最短路径的转化思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
