13. 项目学习 新趋势（2024－2025·合肥庐江县期中）根据引入概念，理解应用概念.
经历数学概念的学习过程
| | 概念1 | 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. |
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| 引入概念 | 概念2 | 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”. |
| | | 问题解决 |
| 理解概念 | 任务1 | (1) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，写出图中两对“等角三角形”. ①；②； |
| 理解概念 | 任务2 | (2) 如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°. 求证：CD是△ABC的“等角分割线”； |
| 应用概念 | 任务3 | (3) 在△ABC中，若∠A＝42°，CD为△ABC的“等角分割线”，写出∠ACB可能的度数(写出一个即可). |

13.解:任务1:$△ACD$和$△CBD$ $△CBD$和$△ABC$(答案不唯一) 任务2:证明:$\because ∠A=40^{\circ },∠B=60^{\circ },\therefore ∠ACB=180^{\circ }-∠A-∠B=80^{\circ }.$$\because$在$△ABC$中,CD为角平分线,$\therefore ∠ACD=∠BCD=40^{\circ },\therefore ∠ACD=∠A,\therefore CD=AD,\therefore △ACD$是等腰三角形.$\because ∠ADC=180^{\circ }-∠A-∠ACD=180^{\circ }-40^{\circ }-40^{\circ }=100^{\circ },\therefore ∠BDC=180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ },\therefore ∠BDC=∠ACB.$又$\because ∠B=∠B,∠BCD=∠A,\therefore △ABC$与$△CBD$是“等角三角形”,$\therefore CD$是$△ABC$的“等角分割线”.任务3:$84^{\circ }$或$111^{\circ }$或$92^{\circ }$或$106^{\circ }$.(写出其中任何一个即可)[解析:根据题意可知,分以下六种情况讨论:①当$△ACD$是等腰三角形,$CD=AD$时,$∠BCD=∠ACD=∠A=42^{\circ },\therefore ∠ACB=∠ACD+∠BCD=84^{\circ }$;②当$△ACD$是等腰三角形,$AC=AD$时,$∠ADC=∠ACD=69^{\circ },∠BCD=∠A=42^{\circ }$,$\therefore ∠ACB=∠ACD+∠BCD=111^{\circ }$;③当$△ACD$是等腰三角形,$CD=AC$时,不符合题意,舍去.④当$△BCD$是等腰三角形,$CD=BD$时,$∠ACD=∠B=∠BCD,\therefore ∠B=\frac {180^{\circ }-∠A}{3}=46^{\circ },\therefore ∠ACB=180^{\circ }-∠A-∠B=92^{\circ }$;⑤当$△BCD$是等腰三角形,$BC=BD$时,$∠ACD=∠B,∠BCD=∠BDC=∠A+∠ACD=42^{\circ }+∠B$,$\therefore$在$△BCD$中,$42^{\circ }+∠B+42^{\circ }+∠B+∠B=180^{\circ },\therefore ∠B=32^{\circ },∠ACB=180^{\circ }-∠A-∠B=106^{\circ }$;⑥当$△BCD$是等腰三角形,$CB=CD$时,不符合题意,舍去.综上所述,$∠ACB$的度数为$84^{\circ }$或$111^{\circ }$或$92^{\circ }$或$106^{\circ }$]

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解两个新概念：①“等角三角形”即两个三角形的三个内角对应相等；②“等角分割线”需同时满足两个条件：分割出的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形互为等角三角形。
任务1：Rt△ABC中斜边上的高CD将其分成两个小直角三角形，三个三角形两两内角对应相等，任选两对即可；
任务2：先利用三角形内角和求出△ABC的∠ACB，再结合角平分线的性质求出各小角的度数，分别验证“分割出等腰三角形”“另一个小三角形与原三角形是等角三角形”两个条件即可得证；
任务3：分两种大情况分类讨论：一是分割出的△ACD为等腰三角形，二是△BCD为等腰三角形，每种情况再细分等腰三角形的腰的组合，排除不符合题意的情况，结合内角和计算∠ACB的度数即可。
【解析】
任务1
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。
由同角的余角相等可得：∠ACD=∠B，∠A=∠BCD，三个三角形两两内角对应相等，任选两对即可。
任务2
证明：
已知∠A=40°，∠B=60°，根据三角形内角和为180°得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-40°-60°=80°$
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴$∠ ACD=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=40°$
∴$∠ ACD=∠ A=40°$，即△ACD中CD=AD，△ACD是等腰三角形。
计算得$∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=180°-60°-40°=80°$，因此$∠ BDC=∠ ACB$，又∠B为公共角，∠BCD=∠A，可得△BCD与△ABC三个内角对应相等，互为等角三角形。
综上CD满足“等角分割线”的定义，得证。
任务3
示例：当△ACD为等腰三角形，CD=AD时：
∠ACD=∠A=42°，由△BCD与△ABC互为等角三角形得∠BCD=∠A=42°，因此$∠ ACB=42°+42°=84°$。
（其余情况合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{△ABC}$和$\boldsymbol{△ACD}$；$\boldsymbol{△ACD}$和$\boldsymbol{△CBD}$（答案不唯一）
(2) 证明见解析
(3) $\boldsymbol{84°}$（或111°、92°、106°，任写一个即可）
【知识点】
新定义问题；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题以新定义为载体，考查学生对新概念的迁移应用能力，前两问侧重基础概念的理解，难度较低；第三问需要结合等腰三角形的性质分类讨论，解题时要注意排除不符合题意的情况，避免错解漏解。
【难度系数】
0.65