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1 [2025 德州]下列实数为无理数的是 （
A.$-3$
B.$\sqrt{5}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$0.\dot{3}$
B
）A.$-3$
B.$\sqrt{5}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$0.\dot{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个数是无理数，首先要明确有理数和无理数的核心定义：有理数是整数和分数的统称，本质为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。解题时只需要逐个分析选项，判断每个数所属的类别，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 有理数包含整数、分数，所有有限小数和无限循环小数都属于有理数；
2. 无理数是无限不循环小数，常见的类型有开方开不尽的数、含$π$的数等。
接下来逐个分析选项：
A. $-3$是整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\sqrt{5}$是5开平方的结果，开方开不尽，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
C. $\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数，不符合题意；
D. $0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合题意。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个数是无理数，首先要明确有理数和无理数的核心定义：有理数是整数和分数的统称，本质为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。解题时只需要逐个分析选项，判断每个数所属的类别，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 有理数包含整数、分数，所有有限小数和无限循环小数都属于有理数；
2. 无理数是无限不循环小数，常见的类型有开方开不尽的数、含$π$的数等。
接下来逐个分析选项：
A. $-3$是整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\sqrt{5}$是5开平方的结果，开方开不尽，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
C. $\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数，不符合题意；
D. $0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合题意。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2 对于实数$\sqrt{10}$的描述，正确的是（
A.介于2和3之间，更接近于2
B.介于2和3之间，更接近于3
C.介于3和4之间，更接近于3
D.介于3和4之间，更接近于4
C
）A.介于2和3之间，更接近于2
B.介于2和3之间，更接近于3
C.介于3和4之间，更接近于3
D.介于3和4之间，更接近于4
答案
2. C
解析
【分析】
要判断$\sqrt{10}$的范围和更接近的整数，分两步思考：第一步先找与10相邻的两个完全平方数，通过平方运算确定$\sqrt{10}$所在的整数区间，排除错误选项；第二步计算10和这两个完全平方数的差值，差值越小说明$\sqrt{10}$越接近对应的整数，即可选出正确答案。
【解析】
首先计算相邻整数的平方确定区间：
∵ $3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且 $9 ＜ 10 ＜ 16$
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即 $3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，因此排除A、B选项。
接下来比较$\sqrt{10}$与3、4的距离：
10与9的差值为 $10 - 9 = 1$，10与16的差值为 $16 - 10 = 6$
∵ $1 ＜ 6$，说明$\sqrt{10}$和3的距离更小，因此$\sqrt{10}$更接近于3。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的典型基础题，解题核心是利用平方运算确定无理数的整数区间，再通过差值比较判断其更接近的整数，掌握该方法可快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.8
要判断$\sqrt{10}$的范围和更接近的整数，分两步思考：第一步先找与10相邻的两个完全平方数，通过平方运算确定$\sqrt{10}$所在的整数区间，排除错误选项；第二步计算10和这两个完全平方数的差值，差值越小说明$\sqrt{10}$越接近对应的整数，即可选出正确答案。
【解析】
首先计算相邻整数的平方确定区间：
∵ $3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且 $9 ＜ 10 ＜ 16$
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即 $3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，因此排除A、B选项。
接下来比较$\sqrt{10}$与3、4的距离：
10与9的差值为 $10 - 9 = 1$，10与16的差值为 $16 - 10 = 6$
∵ $1 ＜ 6$，说明$\sqrt{10}$和3的距离更小，因此$\sqrt{10}$更接近于3。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的典型基础题，解题核心是利用平方运算确定无理数的整数区间，再通过差值比较判断其更接近的整数，掌握该方法可快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.8
3 下列运算中,正确的是 （
A.$\sqrt{25^2 -1}=24$
B.$\sqrt{9\dfrac{1}{4}}=3\dfrac{1}{2}$
C.$\sqrt{81}=\pm9$
D.$-\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}=-\dfrac{1}{3}$
D
）A.$\sqrt{25^2 -1}=24$
B.$\sqrt{9\dfrac{1}{4}}=3\dfrac{1}{2}$
C.$\sqrt{81}=\pm9$
D.$-\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}=-\dfrac{1}{3}$
答案
3. D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的相关运算与性质，解题时需先明确算术平方根的非负性、二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$等核心规则，再逐一计算每个选项的运算结果，判断对错后选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算根号内的部分，$25^2-1=625-1=624$，而$24^2=576≠624$，因此$\sqrt{25^2-1}≠24$，A错误。
B选项：带分数开方需先化为假分数，$9\frac{1}{4}=\frac{37}{4}$，$\sqrt{\frac{37}{4}}=\frac{\sqrt{37}}{2}$，而$3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}=12\frac{1}{4}≠9\frac{1}{4}$，B错误。
C选项：$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，算术平方根结果为非负数，因此$\sqrt{81}=9$，不是$\pm9$，C错误。
D选项：先计算根号内的平方，$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，再开算术平方根得$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，加上前面的负号，结果为$-\frac{1}{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式的性质
3. 根式化简运算
【点评】
本题属于二次根式基础运算类题目，易错点在于混淆算术平方根和平方根的符号、带分数直接拆分开方、忽略根号下平方结果的非负性，只要熟练掌握相关性质，逐一排查选项即可得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的相关运算与性质，解题时需先明确算术平方根的非负性、二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$等核心规则，再逐一计算每个选项的运算结果，判断对错后选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算根号内的部分，$25^2-1=625-1=624$，而$24^2=576≠624$，因此$\sqrt{25^2-1}≠24$，A错误。
B选项：带分数开方需先化为假分数，$9\frac{1}{4}=\frac{37}{4}$，$\sqrt{\frac{37}{4}}=\frac{\sqrt{37}}{2}$，而$3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}=12\frac{1}{4}≠9\frac{1}{4}$，B错误。
C选项：$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，算术平方根结果为非负数，因此$\sqrt{81}=9$，不是$\pm9$，C错误。
D选项：先计算根号内的平方，$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，再开算术平方根得$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，加上前面的负号，结果为$-\frac{1}{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式的性质
3. 根式化简运算
【点评】
本题属于二次根式基础运算类题目，易错点在于混淆算术平方根和平方根的符号、带分数直接拆分开方、忽略根号下平方结果的非负性，只要熟练掌握相关性质，逐一排查选项即可得分。
【难度系数】
0.8
4 下列判断正确的是（
A.若$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，则$a=b$
B.若$|a|=(\sqrt{b})^2$，则$a=b$
C.若$a＞b$，则$a^2＞b^2$
D.若$(\sqrt{a})^2=(\sqrt{b})^2$，则$a=b$
D
）A.若$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，则$a=b$
B.若$|a|=(\sqrt{b})^2$，则$a=b$
C.若$a＞b$，则$a^2＞b^2$
D.若$(\sqrt{a})^2=(\sqrt{b})^2$，则$a=b$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查二次根式、绝对值、平方的相关性质，做这类判断正误的选择题，可通过逐个分析选项，结合性质推导或举反例排除错误选项的方法解答，解题时需注意二次根式有意义的隐含条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{b^2}=|b|$，因此$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$等价于$|a|=|b|$，此时$a=b$或$a=-b$，例如$a=2$，$b=-2$时满足$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，但$a≠b$，故A错误。
选项B：$(\sqrt{b})^2$成立的前提是$b≥0$，且$(\sqrt{b})^2=b$，因此$|a|=(\sqrt{b})^2$等价于$|a|=b$，此时$a=b$或$a=-b$，例如$a=-3$，$b=3$时满足$|a|=(\sqrt{b})^2$，但$a≠b$，故B错误。
选项C：可举反例判断，当$a=1$，$b=-2$时，$a＞b$，但$a^2=1$，$b^2=4$，$a^2＜b^2$，故C错误。
选项D：$(\sqrt{a})^2$成立的前提是$a≥0$，$(\sqrt{b})^2$成立的前提是$b≥0$，且$(\sqrt{a})^2=a$，$(\sqrt{b})^2=b$，因此$(\sqrt{a})^2=(\sqrt{b})^2$可直接推出$a=b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的性质 3.平方的运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意二次根式中被开方数非负的隐含条件，灵活运用举反例的方法可以快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式、绝对值、平方的相关性质，做这类判断正误的选择题，可通过逐个分析选项，结合性质推导或举反例排除错误选项的方法解答，解题时需注意二次根式有意义的隐含条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{b^2}=|b|$，因此$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$等价于$|a|=|b|$，此时$a=b$或$a=-b$，例如$a=2$，$b=-2$时满足$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，但$a≠b$，故A错误。
选项B：$(\sqrt{b})^2$成立的前提是$b≥0$，且$(\sqrt{b})^2=b$，因此$|a|=(\sqrt{b})^2$等价于$|a|=b$，此时$a=b$或$a=-b$，例如$a=-3$，$b=3$时满足$|a|=(\sqrt{b})^2$，但$a≠b$，故B错误。
选项C：可举反例判断，当$a=1$，$b=-2$时，$a＞b$，但$a^2=1$，$b^2=4$，$a^2＜b^2$，故C错误。
选项D：$(\sqrt{a})^2$成立的前提是$a≥0$，$(\sqrt{b})^2$成立的前提是$b≥0$，且$(\sqrt{a})^2=a$，$(\sqrt{b})^2=b$，因此$(\sqrt{a})^2=(\sqrt{b})^2$可直接推出$a=b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的性质 3.平方的运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意二次根式中被开方数非负的隐含条件，灵活运用举反例的方法可以快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
5 已知$x$没有平方根，且$|x|=64$，则$x$的立方根为（
A.8
B.$-8$
C.$\pm 4$
D.$-4$
D
）A.8
B.$-8$
C.$\pm 4$
D.$-4$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，负数没有平方根，因此可先判断出x的符号为负；再结合绝对值的性质求出x的具体值；最后根据立方根的定义计算x的立方根即可得到答案。
【解析】
第一步：根据平方根的性质判断x的符号
∵ 只有非负数才有平方根，x没有平方根
∴ x ＜ 0
第二步：结合绝对值的性质求x的值
∵ |x|=64
∴ x = 64 或 x = -64
结合x＜0的结论，可得x = -64
第三步：计算x的立方根
∵ (-4)³ = -64
∴ -64的立方根是-4，即x的立方根为-4
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，绝对值的性质，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念综合题，解题的核心是先通过平方根的性质确定x的取值范围，避免忽略x的符号直接根据绝对值取值导致错误，需要注意区分平方根和立方根的性质：负数没有平方根，但负数有负的立方根。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，负数没有平方根，因此可先判断出x的符号为负；再结合绝对值的性质求出x的具体值；最后根据立方根的定义计算x的立方根即可得到答案。
【解析】
第一步：根据平方根的性质判断x的符号
∵ 只有非负数才有平方根，x没有平方根
∴ x ＜ 0
第二步：结合绝对值的性质求x的值
∵ |x|=64
∴ x = 64 或 x = -64
结合x＜0的结论，可得x = -64
第三步：计算x的立方根
∵ (-4)³ = -64
∴ -64的立方根是-4，即x的立方根为-4
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，绝对值的性质，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念综合题，解题的核心是先通过平方根的性质确定x的取值范围，避免忽略x的符号直接根据绝对值取值导致错误，需要注意区分平方根和立方根的性质：负数没有平方根，但负数有负的立方根。
【难度系数】
0.8
6 如果2,5,m是某三角形三边的长，那么
$\sqrt{(m-3)^2} + \sqrt{(m-7)^2}$等于（
A.$2m - 10$
B.$10 - 2m$
C.$10$
D.$4$
$\sqrt{(m-3)^2} + \sqrt{(m-7)^2}$等于（
D
）A.$2m - 10$
B.$10 - 2m$
C.$10$
D.$4$
答案
6. D
解析
【分析】
要化简这个含二次根式的式子，首先需要根据三角形三边的关系确定m的取值范围，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的和，最后根据m的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系确定m的取值范围
∵2，5，m是三角形的三边长
∴两边之差＜第三边＜两边之和，即$5-2 ＜ m ＜ 5+2$
解得$3 ＜ m ＜ 7$
第二步：利用二次根式的性质化简原式
根据$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(m-3)^2} + \sqrt{(m-7)^2}$ = $|m-3| + |m-7|$
第三步：去绝对值并计算
∵$3 ＜ m ＜ 7$
∴$m-3 ＞ 0$，$m-7 ＜ 0$
∴$|m-3| = m-3$，$|m-7| = -(m-7) = 7 - m$
代入原式得：
$(m-3) + (7 - m) = m - 3 + 7 - m = 4$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和二次根式、绝对值的化简结合考查，解题的核心是先准确求出参数的取值范围，再根据绝对值的性质正确去绝对值符号计算，掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要化简这个含二次根式的式子，首先需要根据三角形三边的关系确定m的取值范围，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的和，最后根据m的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系确定m的取值范围
∵2，5，m是三角形的三边长
∴两边之差＜第三边＜两边之和，即$5-2 ＜ m ＜ 5+2$
解得$3 ＜ m ＜ 7$
第二步：利用二次根式的性质化简原式
根据$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(m-3)^2} + \sqrt{(m-7)^2}$ = $|m-3| + |m-7|$
第三步：去绝对值并计算
∵$3 ＜ m ＜ 7$
∴$m-3 ＞ 0$，$m-7 ＜ 0$
∴$|m-3| = m-3$，$|m-7| = -(m-7) = 7 - m$
代入原式得：
$(m-3) + (7 - m) = m - 3 + 7 - m = 4$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和二次根式、绝对值的化简结合考查，解题的核心是先准确求出参数的取值范围，再根据绝对值的性质正确去绝对值符号计算，掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7 现将体积是$125\ \mathrm{cm}^3$的正方体木块锯成8个同样大小的小正方体木块，准备从中选取$n$个小正方体木块，排放在长方形木板上，已知长方形木板的长是宽的4倍，面积是$36\ \mathrm{cm}^2$。若只排放一层小正方体木块，则$n$的最大值是（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
7. C 【解析】因为体积是 125 cm³ 的正方体木块锯成 8 个同样大小的小正方体木块,所以每个小正方体木块的棱长为2.5 cm. 因为长方形木板的面积是 36 cm²,长是宽的 4 倍,所以可设长方形木板的宽为 x cm,则长为 4x cm. 由题意,得 x ·4x=36,解得 x=3(负值舍去). 所以 4x=12. 因为 12÷2.5=4.8,所以 n 的最大值是 4.
解析
【分析】
解题可按照三步思考：第一步先求小正方体的棱长：已知大正方体体积，平均分成8个相同小正方体，先算出单个小正方体体积，再开立方即可得到棱长。第二步求长方形木板的长和宽：结合长是宽的4倍、面积为36cm²的条件，设未知数列方程求解，边长取正值。第三步计算最多摆放的小正方体数量：因为只放一层，先判断木板宽度只能放下1排小正方体，再用木板长除以小正方体棱长，结果取整数部分即为n的最大值。
【解析】
1. 求小正方体棱长：
大正方体体积为$125\ \mathrm{cm}^3$，锯成8个相同的小正方体，单个小正方体体积为$\frac{125}{8}\ \mathrm{cm}^3$，因此小正方体棱长为$\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{cm}$。
2. 求长方形木板的长宽：
设木板宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$4x\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$x·4x=36$，整理得$4x^2=36$，即$x^2=9$，解得$x=3$（边长为正，舍去负解），因此木板长为$4×3=12\ \mathrm{cm}$，宽为$3\ \mathrm{cm}$。
3. 计算最大摆放数量：
木板宽$3\ \mathrm{cm}$，仅够摆放1排小正方体（$2.5＜3＜2×2.5$）；沿长的方向可摆放数量为$12÷2.5=4.8$，个数为整数，因此最多摆4个，即$n$的最大值为4。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，一元二次方程应用，实际问题取整
【点评】
本题是几何与方程结合的实际应用题，核心是先准确求出小正方体棱长和木板尺寸，再结合实际摆放规则对结果取整，易错点是直接对除法结果四舍五入，需注意取不大于计算结果的最大整数。
【难度系数】
0.7
解题可按照三步思考：第一步先求小正方体的棱长：已知大正方体体积，平均分成8个相同小正方体，先算出单个小正方体体积，再开立方即可得到棱长。第二步求长方形木板的长和宽：结合长是宽的4倍、面积为36cm²的条件，设未知数列方程求解，边长取正值。第三步计算最多摆放的小正方体数量：因为只放一层，先判断木板宽度只能放下1排小正方体，再用木板长除以小正方体棱长，结果取整数部分即为n的最大值。
【解析】
1. 求小正方体棱长：
大正方体体积为$125\ \mathrm{cm}^3$，锯成8个相同的小正方体，单个小正方体体积为$\frac{125}{8}\ \mathrm{cm}^3$，因此小正方体棱长为$\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{cm}$。
2. 求长方形木板的长宽：
设木板宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$4x\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$x·4x=36$，整理得$4x^2=36$，即$x^2=9$，解得$x=3$（边长为正，舍去负解），因此木板长为$4×3=12\ \mathrm{cm}$，宽为$3\ \mathrm{cm}$。
3. 计算最大摆放数量：
木板宽$3\ \mathrm{cm}$，仅够摆放1排小正方体（$2.5＜3＜2×2.5$）；沿长的方向可摆放数量为$12÷2.5=4.8$，个数为整数，因此最多摆4个，即$n$的最大值为4。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，一元二次方程应用，实际问题取整
【点评】
本题是几何与方程结合的实际应用题，核心是先准确求出小正方体棱长和木板尺寸，再结合实际摆放规则对结果取整，易错点是直接对除法结果四舍五入，需注意取不大于计算结果的最大整数。
【难度系数】
0.7
8 [2024 滨州]写出一个比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数：
答案不唯一,如2
答案
8. 答案不唯一,如2
解析
【分析】
要找到比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要确定这两个无理数的取值范围，我们可以用“夹逼法”：找和被开方数相邻的完全平方数，通过比较平方数的大小推导无理数的区间，再从区间内筛选整数即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$
第二步，估算$\sqrt{10}$的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ $3＜\sqrt{10}＜4$
结合两个范围可知，大于$\sqrt{3}$、小于$\sqrt{10}$的整数有2和3，任选其一即可。
【答案】
答案不唯一，如2
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题考查无理数的估算能力，解题核心是利用相邻完全平方数夹逼确定无理数的整数区间，属于基础题型，熟练掌握估算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要找到比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要确定这两个无理数的取值范围，我们可以用“夹逼法”：找和被开方数相邻的完全平方数，通过比较平方数的大小推导无理数的区间，再从区间内筛选整数即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$
第二步，估算$\sqrt{10}$的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ $3＜\sqrt{10}＜4$
结合两个范围可知，大于$\sqrt{3}$、小于$\sqrt{10}$的整数有2和3，任选其一即可。
【答案】
答案不唯一，如2
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题考查无理数的估算能力，解题核心是利用相邻完全平方数夹逼确定无理数的整数区间，属于基础题型，熟练掌握估算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
9 $\sqrt{\frac{81}{16}}$的倒数是
$\dfrac{4}{9}$
；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的相反数的绝对值是$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
。答案
9. $\dfrac{4}{9}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题分为两个小问，解题思路分别如下：
1. 求$\sqrt{\frac{81}{16}}$的倒数：首先需要先化简二次根式$\sqrt{\frac{81}{16}}$，得到其算术平方根的结果，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）计算倒数即可。
2. 求$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的相反数的绝对值：首先根据相反数的定义求出$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的相反数，再结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）计算最终结果，也可利用“一个数的相反数的绝对值等于这个数的绝对值”的规律简化计算。
【解析】
1. 计算第一个空：
先化简二次根式：$\sqrt{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\dfrac{9}{4}$，
根据倒数定义，$\dfrac{9}{4}$的倒数为$\dfrac{4}{9}$，故第一个空填$\dfrac{4}{9}$。
2. 计算第二个空：
先求$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的相反数：$-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\sqrt{3}$，
因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，故第二个空填$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\dfrac{4}{9}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，倒数的定义，绝对值与相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，侧重考查实数相关的基础定义和二次根式的简单运算，掌握核心概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题分为两个小问，解题思路分别如下：
1. 求$\sqrt{\frac{81}{16}}$的倒数：首先需要先化简二次根式$\sqrt{\frac{81}{16}}$，得到其算术平方根的结果，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）计算倒数即可。
2. 求$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的相反数的绝对值：首先根据相反数的定义求出$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的相反数，再结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）计算最终结果，也可利用“一个数的相反数的绝对值等于这个数的绝对值”的规律简化计算。
【解析】
1. 计算第一个空：
先化简二次根式：$\sqrt{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\dfrac{9}{4}$，
根据倒数定义，$\dfrac{9}{4}$的倒数为$\dfrac{4}{9}$，故第一个空填$\dfrac{4}{9}$。
2. 计算第二个空：
先求$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的相反数：$-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\sqrt{3}$，
因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，故第二个空填$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\dfrac{4}{9}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，倒数的定义，绝对值与相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，侧重考查实数相关的基础定义和二次根式的简单运算，掌握核心概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
10 计算：$\sqrt{64} ÷ \sqrt[3]{27} - \sqrt{( \frac{1}{3} )^2} = \_\_\_\_\_\_$
答案
10. $\dfrac{7}{3}$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时遵循“先开方、再乘除、最后加减”的运算顺序即可。首先需要分别计算出每个根式的化简结果，再代入原式按四则运算规则计算，计算时注意二次根式的结果是非负数。
【解析】
解：第一步先化简各根式：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$（$8^2=64$，算术平方根为非负）
2. 计算立方根：$\sqrt[3]{27}=3$（$3^3=27$）
3. 计算二次根式：$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$（$\sqrt{a^2}=|a|$，结果为非负）
将化简结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=8÷3 - \frac{1}{3}\\&=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\\&=\frac{7}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
二次根式化简、立方根运算、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查开方运算的规则和实数四则运算的顺序，难度较低，只要熟练掌握开方的计算方法，按步骤逐步计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道实数混合运算题，解题时遵循“先开方、再乘除、最后加减”的运算顺序即可。首先需要分别计算出每个根式的化简结果，再代入原式按四则运算规则计算，计算时注意二次根式的结果是非负数。
【解析】
解：第一步先化简各根式：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$（$8^2=64$，算术平方根为非负）
2. 计算立方根：$\sqrt[3]{27}=3$（$3^3=27$）
3. 计算二次根式：$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$（$\sqrt{a^2}=|a|$，结果为非负）
将化简结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=8÷3 - \frac{1}{3}\\&=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\\&=\frac{7}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
二次根式化简、立方根运算、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查开方运算的规则和实数四则运算的顺序，难度较低，只要熟练掌握开方的计算方法，按步骤逐步计算即可得分。
【难度系数】
0.8
11 利用计算器，得$\sqrt{0.05} \approx 0.223\ 6$，$\sqrt{0.5} \approx 0.707\ 1$，$\sqrt{5} \approx 2.236$，$\sqrt{50} \approx 7.071$，按此规律，可得$\sqrt{500}$的值约为
22.36
。答案
11. 22.36
解析
【分析】
解题时首先观察题干给出的几组被开方数和对应算术平方根的数值，寻找二者的变化规律：对比$\sqrt{0.05} \approx 0.223\ 6$和$\sqrt{5} \approx 2.236$，发现被开方数的小数点向右移动2位时，算术平方根的小数点向右移动1位；再对比$\sqrt{0.5} \approx 0.707\ 1$和$\sqrt{50} \approx 7.071$，可验证该规律成立。接下来找$\sqrt{500}$对应的已知被开方数，已知$\sqrt{5} \approx 2.236$，被开方数5的小数点向右移动2位即为500，按照规律将算术平方根2.236的小数点向右移动1位，即可得到$\sqrt{500}$的近似值。
【解析】
观察已知数据可总结规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
已知$\sqrt{5} \approx 2.236$，被开方数5的小数点向右移动2位得到500，因此将2.236的小数点向右移动1位，可得$\sqrt{500} \approx 22.36$。
【答案】
22.36
【知识点】
1. 算术平方根的变化规律
2. 数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，核心考查算术平方根随被开方数变化的平移规律，做题时只要找准被开方数的小数点移动位数，就能快速推算出结果，避免了复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干给出的几组被开方数和对应算术平方根的数值，寻找二者的变化规律：对比$\sqrt{0.05} \approx 0.223\ 6$和$\sqrt{5} \approx 2.236$，发现被开方数的小数点向右移动2位时，算术平方根的小数点向右移动1位；再对比$\sqrt{0.5} \approx 0.707\ 1$和$\sqrt{50} \approx 7.071$，可验证该规律成立。接下来找$\sqrt{500}$对应的已知被开方数，已知$\sqrt{5} \approx 2.236$，被开方数5的小数点向右移动2位即为500，按照规律将算术平方根2.236的小数点向右移动1位，即可得到$\sqrt{500}$的近似值。
【解析】
观察已知数据可总结规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
已知$\sqrt{5} \approx 2.236$，被开方数5的小数点向右移动2位得到500，因此将2.236的小数点向右移动1位，可得$\sqrt{500} \approx 22.36$。
【答案】
22.36
【知识点】
1. 算术平方根的变化规律
2. 数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，核心考查算术平方根随被开方数变化的平移规律，做题时只要找准被开方数的小数点移动位数，就能快速推算出结果，避免了复杂计算。
【难度系数】
0.8
12 如果$\sqrt{x-\frac{1}{8}}+\sqrt{\frac{1}{8}-x}$有意义，那么$\sqrt[3]{x}=$
$\dfrac{1}{2}$
。答案
12. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入计算x的立方根即可得到结果。
【解析】
要使$\sqrt{x-\frac{1}{8}}+\sqrt{\frac{1}{8}-x}$有意义，需满足两个被开方数均为非负数，即：
$\begin{cases}x-\dfrac{1}{8}≥0 \\\dfrac{1}{8}-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥\dfrac{1}{8}$，解第二个不等式得$x≤\dfrac{1}{8}$，因此$x=\dfrac{1}{8}$。
将$x=\dfrac{1}{8}$代入$\sqrt[3]{x}$得：
$\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2}$（因为$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$）
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；立方根的计算
【点评】
本题是基础运算题，核心是利用二次根式的被开方数非负的性质确定x的取值，再进行立方根的运算，掌握相关概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先得明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入计算x的立方根即可得到结果。
【解析】
要使$\sqrt{x-\frac{1}{8}}+\sqrt{\frac{1}{8}-x}$有意义，需满足两个被开方数均为非负数，即：
$\begin{cases}x-\dfrac{1}{8}≥0 \\\dfrac{1}{8}-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥\dfrac{1}{8}$，解第二个不等式得$x≤\dfrac{1}{8}$，因此$x=\dfrac{1}{8}$。
将$x=\dfrac{1}{8}$代入$\sqrt[3]{x}$得：
$\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2}$（因为$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$）
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；立方根的计算
【点评】
本题是基础运算题，核心是利用二次根式的被开方数非负的性质确定x的取值，再进行立方根的运算，掌握相关概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
13 如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点E在数轴上，且在点A的左侧，AD=AE，则点E表示的数是
$1-\sqrt{7}$
。答案
13. $1-\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用正方形面积公式求出边长AD的长度，正方形面积等于边长的平方，已知面积为7，对7开算术平方根就能得到AD的长；第二步，根据题目给出的AD=AE，得到线段AE的长度；第三步，结合数轴的性质，点E在点A左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，点A对应数1，用1减去AE的长度即可得到点E表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为7，正方形面积=边长²，
∴$AD^2=7$，
∵AD为正方形边长，长度为正数，
∴$AD=\sqrt{7}$，
又
∵$AD=AE$，
∴$AE=\sqrt{7}$，
∵顶点A与数轴上表示1的点重合，且点E在点A的左侧，
∴点E表示的数为$1-\sqrt{7}$。
【答案】
$1-\sqrt{7}$
【知识点】
正方形的性质，实数与数轴，算术平方根
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质与数轴知识结合，解题的核心是先求出正方形的边长，再根据数轴上点的位置关系计算对应数值，需要注意数轴上左侧的点对应的数更小。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先利用正方形面积公式求出边长AD的长度，正方形面积等于边长的平方，已知面积为7，对7开算术平方根就能得到AD的长；第二步，根据题目给出的AD=AE，得到线段AE的长度；第三步，结合数轴的性质，点E在点A左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，点A对应数1，用1减去AE的长度即可得到点E表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为7，正方形面积=边长²，
∴$AD^2=7$，
∵AD为正方形边长，长度为正数，
∴$AD=\sqrt{7}$，
又
∵$AD=AE$，
∴$AE=\sqrt{7}$，
∵顶点A与数轴上表示1的点重合，且点E在点A的左侧，
∴点E表示的数为$1-\sqrt{7}$。
【答案】
$1-\sqrt{7}$
【知识点】
正方形的性质，实数与数轴，算术平方根
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质与数轴知识结合，解题的核心是先求出正方形的边长，再根据数轴上点的位置关系计算对应数值，需要注意数轴上左侧的点对应的数更小。
【难度系数】
0.8
三、解答题
14 比较$\frac{9-\sqrt{22}}{4}$和$\frac{1}{2}$的大小.
14 比较$\frac{9-\sqrt{22}}{4}$和$\frac{1}{2}$的大小.
答案
14. 因为$4＜\sqrt{22}＜5$,所以$-5＜-\sqrt{22}＜-4$. 所以$4＜9-\sqrt{22}＜5$. 所以 $1＜\dfrac{9-\sqrt{22}}{4}＜\dfrac{5}{4}$. 又因为 $\dfrac{1}{2}＜1$, 所以 $\dfrac{9-\sqrt{22}}{4}＞\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要比较含无理数的代数式与有理数的大小，首先可以先估算无理数$\sqrt{22}$的取值范围：先找与22相邻的两个完全平方数，可知$4^2=16$，$5^2=25$，因此$\sqrt{22}$介于4和5之间；再根据不等式的基本性质，对得到的不等式逐步变形，推导出$\frac{9-\sqrt{22}}{4}$的取值范围，最后将其范围和$\frac{1}{2}$对比，即可得出大小关系。
【解析】
解：$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜22＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{22}＜5$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-5＜-\sqrt{22}＜-4$
不等式两边同时加9，得：
$9-5＜9-\sqrt{22}＜9-4$，即$4＜9-\sqrt{22}＜5$
不等式两边同时除以4，不等号方向不变，得：
$\frac{4}{4}＜\frac{9-\sqrt{22}}{4}＜\frac{5}{4}$，即$1＜\frac{9-\sqrt{22}}{4}＜\frac{5}{4}$
又$\because \frac{1}{2}＜1$
$\therefore \frac{9-\sqrt{22}}{4}＞\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{9-\sqrt{22}}{4}＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质；实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的核心是准确估算出无理数的整数范围，再结合不等式的性质推导目标代数式的取值范围，整体思路清晰，运算量小，掌握估算无理数的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要比较含无理数的代数式与有理数的大小，首先可以先估算无理数$\sqrt{22}$的取值范围：先找与22相邻的两个完全平方数，可知$4^2=16$，$5^2=25$，因此$\sqrt{22}$介于4和5之间；再根据不等式的基本性质，对得到的不等式逐步变形，推导出$\frac{9-\sqrt{22}}{4}$的取值范围，最后将其范围和$\frac{1}{2}$对比，即可得出大小关系。
【解析】
解：$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜22＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{22}＜5$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-5＜-\sqrt{22}＜-4$
不等式两边同时加9，得：
$9-5＜9-\sqrt{22}＜9-4$，即$4＜9-\sqrt{22}＜5$
不等式两边同时除以4，不等号方向不变，得：
$\frac{4}{4}＜\frac{9-\sqrt{22}}{4}＜\frac{5}{4}$，即$1＜\frac{9-\sqrt{22}}{4}＜\frac{5}{4}$
又$\because \frac{1}{2}＜1$
$\therefore \frac{9-\sqrt{22}}{4}＞\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{9-\sqrt{22}}{4}＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质；实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的核心是准确估算出无理数的整数范围，再结合不等式的性质推导目标代数式的取值范围，整体思路清晰，运算量小，掌握估算无理数的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
