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1 一个正方形的面积是27，估计这个正方形的边长在 （
A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间
C
）A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据正方形面积和边长的对应关系，确定边长是面积的算术平方根，即边长为√27。接下来要估算√27的取值范围，只需找到27介于哪两个相邻正整数的平方之间，再结合算术平方根的性质对三个数同时开方，就能得到边长的取值区间，对应选出正确选项即可。
【解析】
设这个正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
$a^2=27$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{27}$。
计算相邻正整数的平方：$5^2=25$，$6^2=36$，
可得大小关系：$25＜27＜36$，
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，对不等式各项同时开算术平方根，得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{27}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{27}＜6$，
因此这个正方形的边长在5和6之间。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积公式；算术平方根的性质；无理数估算
【点评】
本题是基础估算类题型，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，再结合算术平方根的性质确定无理数的范围，掌握该方法就能快速完成作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先根据正方形面积和边长的对应关系，确定边长是面积的算术平方根，即边长为√27。接下来要估算√27的取值范围，只需找到27介于哪两个相邻正整数的平方之间，再结合算术平方根的性质对三个数同时开方，就能得到边长的取值区间，对应选出正确选项即可。
【解析】
设这个正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
$a^2=27$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{27}$。
计算相邻正整数的平方：$5^2=25$，$6^2=36$，
可得大小关系：$25＜27＜36$，
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，对不等式各项同时开算术平方根，得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{27}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{27}＜6$，
因此这个正方形的边长在5和6之间。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积公式；算术平方根的性质；无理数估算
【点评】
本题是基础估算类题型，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，再结合算术平方根的性质确定无理数的范围，掌握该方法就能快速完成作答。
【难度系数】
0.8
2$\sqrt{15}-1$最接近的数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. B
解析
【分析】
要判断$\sqrt{15}-1$最接近的数，首先需要估算无理数$\sqrt{15}$的取值范围：先找到与15相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{15}$介于哪两个相邻整数之间，再通过比较15与两个完全平方数的距离，判断$\sqrt{15}$更靠近哪个整数，最后减去1即可得到所求式子的近似值，匹配对应选项即可。
【解析】
首先确定$\sqrt{15}$的取值范围：
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$
∴$3＜\sqrt{15}＜4$
再判断$\sqrt{15}$的近似值：15与16的差为1，与9的差为6，可知$\sqrt{15}$非常接近4，估算得$\sqrt{15}\approx3.87$
代入式子计算：$\sqrt{15}-1\approx3.87-1=2.87$
2.87与3的差值最小，因此最接近的数是3。
【答案】
B
【知识点】
无理数估算，实数减法运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的大致范围，再通过差值判断更接近的整数，是估算类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要判断$\sqrt{15}-1$最接近的数，首先需要估算无理数$\sqrt{15}$的取值范围：先找到与15相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{15}$介于哪两个相邻整数之间，再通过比较15与两个完全平方数的距离，判断$\sqrt{15}$更靠近哪个整数，最后减去1即可得到所求式子的近似值，匹配对应选项即可。
【解析】
首先确定$\sqrt{15}$的取值范围：
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$
∴$3＜\sqrt{15}＜4$
再判断$\sqrt{15}$的近似值：15与16的差为1，与9的差为6，可知$\sqrt{15}$非常接近4，估算得$\sqrt{15}\approx3.87$
代入式子计算：$\sqrt{15}-1\approx3.87-1=2.87$
2.87与3的差值最小，因此最接近的数是3。
【答案】
B
【知识点】
无理数估算，实数减法运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的大致范围，再通过差值判断更接近的整数，是估算类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
3 若$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{17}$，则整数a的值不可能为下列数中的（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. D
解析
【分析】要解决这道题，首先需要通过找到被开方数相邻的完全平方数，估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{17}$的取值范围，再结合$a$是整数的条件，确定所有符合$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{17}$的整数$a$，最后对比选项选出不可能的数值即可。
【解析】首先估算$\sqrt{3}$的范围：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
再估算$\sqrt{17}$的范围：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$
结合已知条件$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{17}$，可得$a$的取值范围为$1＜ a ＜5$
又$\because a$是整数，$\therefore a$可取的值为2、3、4
因此整数$a$不可能为5。
【答案】D
【知识点】无理数大小估算；不等式整数解
【点评】本题核心考查无理数的估算方法，解题的关键是利用相邻完全平方数确定无理数的大致范围，再筛选出符合要求的整数，属于基础类题型，熟练掌握估算技巧即可快速作答。
【难度系数】0.85
【解析】首先估算$\sqrt{3}$的范围：
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
再估算$\sqrt{17}$的范围：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$
结合已知条件$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{17}$，可得$a$的取值范围为$1＜ a ＜5$
又$\because a$是整数，$\therefore a$可取的值为2、3、4
因此整数$a$不可能为5。
【答案】D
【知识点】无理数大小估算；不等式整数解
【点评】本题核心考查无理数的估算方法，解题的关键是利用相邻完全平方数确定无理数的大致范围，再筛选出符合要求的整数，属于基础类题型，熟练掌握估算技巧即可快速作答。
【难度系数】0.85
4 若$m$，$n$为相邻的两个正整数，且$m＜\sqrt{65}＜n$，则$m+n$的值为
17
。答案
4. 17
解析
【分析】
解题的核心是估算√65的取值范围，首先找到与65相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可确定√65介于哪两个相邻正整数之间，得到m、n的数值后求和即可。具体思考步骤：第一步回忆10以内正整数的平方值，找到比65小和比65大的相邻完全平方数；第二步对三个数同时开算术平方得到√65的范围；第三步确定m、n后代入计算m+n。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ 8²=64，9²=81，且64＜65＜81
根据算术平方根的性质：当0＜a＜b时，√a＜√b，可得：
√64 ＜ √65 ＜ √81，即8 ＜ √65 ＜ 9
∵ m、n是相邻的正整数，且m＜√65＜n
∴ m=8，n=9
∴ m+n=8+9=17
【答案】
17
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是估算类基础题型，主要考查对常见完全平方数的熟悉度，以及利用算术平方根性质判断无理数取值范围的能力，熟练记忆1到10的平方数可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题的核心是估算√65的取值范围，首先找到与65相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可确定√65介于哪两个相邻正整数之间，得到m、n的数值后求和即可。具体思考步骤：第一步回忆10以内正整数的平方值，找到比65小和比65大的相邻完全平方数；第二步对三个数同时开算术平方得到√65的范围；第三步确定m、n后代入计算m+n。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ 8²=64，9²=81，且64＜65＜81
根据算术平方根的性质：当0＜a＜b时，√a＜√b，可得：
√64 ＜ √65 ＜ √81，即8 ＜ √65 ＜ 9
∵ m、n是相邻的正整数，且m＜√65＜n
∴ m=8，n=9
∴ m+n=8+9=17
【答案】
17
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是估算类基础题型，主要考查对常见完全平方数的熟悉度，以及利用算术平方根性质判断无理数取值范围的能力，熟练记忆1到10的平方数可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
5 在实数$\sqrt{3}, -2, 0, -\sqrt{5}$中，最小的数是
$-\sqrt{5}$
。答案
5. $-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要找到给定实数中最小的数，首先回忆实数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于负数，因此最小的数一定在负数当中；接下来比较负数的大小，需遵循“两个负数比较，绝对值大的数反而更小”的规则，因此要先计算两个负数的绝对值，再通过估算无理数的大小比较绝对值的大小，最终判断出最小的数。
【解析】
1. 先对四个实数分类判断正负：
正数$\sqrt{3}＞0$，0既不是正数也不是负数，负数$-2＜0$、$-\sqrt{5}＜0$，根据“正数＞0＞负数”，可知最小的数在$-2$和$-\sqrt{5}$中。
2. 比较两个负数的绝对值：
$|-2|=2=\sqrt{4}$，$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$。
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$|-2|＜|-\sqrt{5}|$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\sqrt{5}＜-2$。
3. 四个数从小到大排序为：$-\sqrt{5}＜-2＜0＜\sqrt{3}$，因此最小的数是$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于实数比较的基础题型，解题核心是熟练掌握实数大小比较的规则，结合无理数估算判断负数绝对值的大小即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要找到给定实数中最小的数，首先回忆实数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于负数，因此最小的数一定在负数当中；接下来比较负数的大小，需遵循“两个负数比较，绝对值大的数反而更小”的规则，因此要先计算两个负数的绝对值，再通过估算无理数的大小比较绝对值的大小，最终判断出最小的数。
【解析】
1. 先对四个实数分类判断正负：
正数$\sqrt{3}＞0$，0既不是正数也不是负数，负数$-2＜0$、$-\sqrt{5}＜0$，根据“正数＞0＞负数”，可知最小的数在$-2$和$-\sqrt{5}$中。
2. 比较两个负数的绝对值：
$|-2|=2=\sqrt{4}$，$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$。
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$|-2|＜|-\sqrt{5}|$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\sqrt{5}＜-2$。
3. 四个数从小到大排序为：$-\sqrt{5}＜-2＜0＜\sqrt{3}$，因此最小的数是$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于实数比较的基础题型，解题核心是熟练掌握实数大小比较的规则，结合无理数估算判断负数绝对值的大小即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
6 [2024安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$ ______ $\frac{22}{7}$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
6. ＞
解析
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用“对于两个正数a、b，若$a^2＞b^2$，则$a＞b$”的性质，通过平方法把无理数转化为有理数，再比较两个有理数的大小即可得出结论。
【解析】
∵ $\sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2=10$，
$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$，
∵ $10=\frac{490}{49}$，$\frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，
∴ $(\sqrt{10})^2 ＞ (\frac{22}{7})^2$，
∴ $\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，二次根式的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，采用平方法将含二次根式的数转化为有理数比较，是解决这类问题的常用技巧，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可利用“对于两个正数a、b，若$a^2＞b^2$，则$a＞b$”的性质，通过平方法把无理数转化为有理数，再比较两个有理数的大小即可得出结论。
【解析】
∵ $\sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，
分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{10})^2=10$，
$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$，
∵ $10=\frac{490}{49}$，$\frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，
∴ $(\sqrt{10})^2 ＞ (\frac{22}{7})^2$，
∴ $\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，二次根式的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，采用平方法将含二次根式的数转化为有理数比较，是解决这类问题的常用技巧，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
7 用计算器比较大小：$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6}$
＞
0（填“＞”“＜”或“=”）。答案
7. ＞
解析
【分析】
要比较$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6}$和0的大小，本质是判断$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6}$的正负，即比较$\sqrt[3]{17}$和$\sqrt{6}$的大小。我们可以借助计算器分别算出两个无理数的近似值，再计算两者的差，根据差的符号即可得出大小关系。
【解析】
1. 用计算器计算两个无理数的近似值（保留三位小数即可满足精度要求）：
$\sqrt[3]{17} \approx 2.571$，$\sqrt{6} \approx 2.449$
2. 计算两者的差：
$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6} \approx 2.571 - 2.449 = 0.122$
3. 判断符号：$0.122＞0$，因此$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6} ＞ 0$。
【答案】
＞
【知识点】
计算器开方运算；实数大小比较
【点评】
本题考查利用计算器计算无理数近似值来比较大小的方法，解题核心是通过作差法判断结果的正负，计算时注意取近似值的精度足够判断差的符号即可，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.9
要比较$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6}$和0的大小，本质是判断$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6}$的正负，即比较$\sqrt[3]{17}$和$\sqrt{6}$的大小。我们可以借助计算器分别算出两个无理数的近似值，再计算两者的差，根据差的符号即可得出大小关系。
【解析】
1. 用计算器计算两个无理数的近似值（保留三位小数即可满足精度要求）：
$\sqrt[3]{17} \approx 2.571$，$\sqrt{6} \approx 2.449$
2. 计算两者的差：
$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6} \approx 2.571 - 2.449 = 0.122$
3. 判断符号：$0.122＞0$，因此$\sqrt[3]{17} - \sqrt{6} ＞ 0$。
【答案】
＞
【知识点】
计算器开方运算；实数大小比较
【点评】
本题考查利用计算器计算无理数近似值来比较大小的方法，解题核心是通过作差法判断结果的正负，计算时注意取近似值的精度足够判断差的符号即可，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.9
8 教材P37 随堂练习T3变式 利用计算器比较下面各组数的大小：
(1) $\sqrt{18}$与$\sqrt[3]{35}$；
(2) $\frac{8}{13}$与$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
(1) $\sqrt{18}$与$\sqrt[3]{35}$；
(2) $\frac{8}{13}$与$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
答案
8. (1) $\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$ (2) $\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
解析
【分析】
要比较含无理数的两组数的大小，可借助计算器分别计算出每组中两个数的近似值，再通过比较近似值的大小确定原数的大小关系，计算时注意保留足够的小数位数，避免因精度不够导致判断错误。
(1) 分别计算$\sqrt{18}$和$\sqrt[3]{35}$的近似值，再比较两个近似值的大小；
(2) 先计算$\sqrt{6}$的近似值，再求出$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$的近似值，同时计算$\frac{8}{13}$的近似值，最后比较两个近似值的大小。
【解析】
(1) 用计算器计算可得：
$\sqrt{18}\approx4.2426$，$\sqrt[3]{35}\approx3.2711$
因为$4.2426＞3.2711$，所以$\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$。
(2) 用计算器计算可得：
$\sqrt{6}\approx2.4495$，因此$\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx\frac{2.4495-1}{2}=\frac{1.4495}{2}=0.72475$
又$\frac{8}{13}\approx0.6154$
因为$0.6154＜0.72475$，所以$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$ (2) $\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
【知识点】
计算器开方运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是通过计算器将无理数转化为近似小数，再按照小数大小比较的规则判断即可，计算过程中要注意操作计算器的正确性，保留的小数位数至少为3到4位，避免精度不足导致判断失误。
【难度系数】
0.9
要比较含无理数的两组数的大小，可借助计算器分别计算出每组中两个数的近似值，再通过比较近似值的大小确定原数的大小关系，计算时注意保留足够的小数位数，避免因精度不够导致判断错误。
(1) 分别计算$\sqrt{18}$和$\sqrt[3]{35}$的近似值，再比较两个近似值的大小；
(2) 先计算$\sqrt{6}$的近似值，再求出$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$的近似值，同时计算$\frac{8}{13}$的近似值，最后比较两个近似值的大小。
【解析】
(1) 用计算器计算可得：
$\sqrt{18}\approx4.2426$，$\sqrt[3]{35}\approx3.2711$
因为$4.2426＞3.2711$，所以$\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$。
(2) 用计算器计算可得：
$\sqrt{6}\approx2.4495$，因此$\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx\frac{2.4495-1}{2}=\frac{1.4495}{2}=0.72475$
又$\frac{8}{13}\approx0.6154$
因为$0.6154＜0.72475$，所以$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$ (2) $\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
【知识点】
计算器开方运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是通过计算器将无理数转化为近似小数，再按照小数大小比较的规则判断即可，计算过程中要注意操作计算器的正确性，保留的小数位数至少为3到4位，避免精度不足导致判断失误。
【难度系数】
0.9
9 某地为新建一个以环保为主题的公园，开辟了一块长方形荒地. 已知这块荒地的长是宽的3倍，它的面积为600 000 m²，则该荒地的宽约为
450
m(结果精确到10 m).答案
9. 450
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，题目明确给出了长方形荒地长和宽的倍数关系，以及面积大小，要求宽的近似值。第一步我们可以设宽为未知数，根据长是宽的3倍表示出长；第二步利用长方形面积=长×宽的等量关系列方程，求出宽的平方的值；第三步由于宽是正数，所以取算术平方根，再对得到的无理数进行估算，最后按照精确到10m的要求取近似值即可。
【解析】
解：设该荒地的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则它的长为$ 3x \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式，列方程得：
$ x · 3x = 600000 $
整理得：$ 3x^2 = 600000 $
化简得：$ x^2 = 200000 $
因为宽为正数，所以$ x = \sqrt{200000} $。
接下来估算$ \sqrt{200000} $的大小：
$ 440^2 = 193600 $，$ 450^2 = 202500 $，
且$ 193600 ＜ 200000 ＜ 202500 $，进一步计算得$ \sqrt{200000} \approx 447.2 $。
要求结果精确到10m，对447.2取近似值，个位数字是7，大于5，所以向十位进1，得到450。
【答案】
450
【知识点】
长方形面积公式，估算无理数大小，近似数取值
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了方程思想和估算能力，解题时要先根据面积公式列出方程，再准确估算无理数的大小，最后按照精度要求取近似值，需要注意实际问题中边长只能取正数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，题目明确给出了长方形荒地长和宽的倍数关系，以及面积大小，要求宽的近似值。第一步我们可以设宽为未知数，根据长是宽的3倍表示出长；第二步利用长方形面积=长×宽的等量关系列方程，求出宽的平方的值；第三步由于宽是正数，所以取算术平方根，再对得到的无理数进行估算，最后按照精确到10m的要求取近似值即可。
【解析】
解：设该荒地的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则它的长为$ 3x \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式，列方程得：
$ x · 3x = 600000 $
整理得：$ 3x^2 = 600000 $
化简得：$ x^2 = 200000 $
因为宽为正数，所以$ x = \sqrt{200000} $。
接下来估算$ \sqrt{200000} $的大小：
$ 440^2 = 193600 $，$ 450^2 = 202500 $，
且$ 193600 ＜ 200000 ＜ 202500 $，进一步计算得$ \sqrt{200000} \approx 447.2 $。
要求结果精确到10m，对447.2取近似值，个位数字是7，大于5，所以向十位进1，得到450。
【答案】
450
【知识点】
长方形面积公式，估算无理数大小，近似数取值
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了方程思想和估算能力，解题时要先根据面积公式列出方程，再准确估算无理数的大小，最后按照精度要求取近似值，需要注意实际问题中边长只能取正数。
【难度系数】
0.7
10 阅读下面的文字,解答问题.大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部地写出来,而由于$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的整数部分为1,将$\sqrt{2}$减去其整数部分1,所得的差$\sqrt{2}-1$就是其小数部分,根据以上内容,解答下列问题:
(1)$\sqrt{3}$的整数部分是________,小数部分是________.
(2)$1+\sqrt{2}$的整数部分是________,小数部分是________.
(3)若设$5-\sqrt{13}$的整数部分为$x$,小数部分为$y$.求:
① $x$与$y$的值;
② $4x-xy$的值.
(1)$\sqrt{3}$的整数部分是________,小数部分是________.
(2)$1+\sqrt{2}$的整数部分是________,小数部分是________.
(3)若设$5-\sqrt{13}$的整数部分为$x$,小数部分为$y$.求:
① $x$与$y$的值;
② $4x-xy$的值.
答案
10. (1) 1 $\sqrt{3}-1$ (2) 2 $\sqrt{2}-1$ (3) ① 因为$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$,所以$3＜\sqrt{13}＜4$. 所以$-4＜-\sqrt{13}＜-3$. 所以$1＜5-\sqrt{13}＜2$. 所以$5-\sqrt{13}$的整数部分$x=1$,小数部分$y=5-\sqrt{13}-1=4-\sqrt{13}$ ② 因为$x=1,y=4-\sqrt{13}$,所以$4x-xy=4×1-1×(4-\sqrt{13})=\sqrt{13}$
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是先估算出无理数中根号部分的取值范围，确定其介于哪两个相邻整数之间，再根据不等式的性质推导出所求式子的取值范围，即可得到整数部分；小数部分为原式子减去整数部分，最后将求得的整数、小数部分代入代数式计算即可。具体步骤：①先找根号下的数介于哪两个相邻完全平方数之间，得到根号数的范围；②对根号数进行加减运算得到目标式子的范围，确定整数部分；③用原式子减整数部分得小数部分；④代入代数式化简求值。
【解析】
(1) 因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，因此$\sqrt{3}$的整数部分是1，小数部分为$\sqrt{3}-1$。
(2) 已知$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式两边同时加1得$2＜1+\sqrt{2}＜3$，因此$1+\sqrt{2}$的整数部分是2，小数部分为$(1+\sqrt{2})-2=\sqrt{2}-1$。
(3) ① 先估算$\sqrt{13}$的范围：因为$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$；不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$；再两边同时加5得$1＜5-\sqrt{13}＜2$，因此$5-\sqrt{13}$的整数部分$x=1$，小数部分$y=5-\sqrt{13}-1=4-\sqrt{13}$。
② 将$x=1$，$y=4-\sqrt{13}$代入$4x-xy$计算：
$4x-xy=4×1 - 1×(4-\sqrt{13})=4 - 4 + \sqrt{13}=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $1$，$\sqrt{3}-1$；(2) $2$，$\sqrt{2}-1$；(3) ① $x=1$，$y=4-\sqrt{13}$；② $\sqrt{13}$
【知识点】
无理数的估算，实数的整数与小数部分，代数式求值
【点评】
本题重点考查无理数的估算能力，解题关键是熟练掌握用夹逼法确定无理数的取值范围，注意求带负号的无理数相关式子的范围时，不等号方向要正确改变，牢记小数部分=原数-整数部分的规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心思路是先估算出无理数中根号部分的取值范围，确定其介于哪两个相邻整数之间，再根据不等式的性质推导出所求式子的取值范围，即可得到整数部分；小数部分为原式子减去整数部分，最后将求得的整数、小数部分代入代数式计算即可。具体步骤：①先找根号下的数介于哪两个相邻完全平方数之间，得到根号数的范围；②对根号数进行加减运算得到目标式子的范围，确定整数部分；③用原式子减整数部分得小数部分；④代入代数式化简求值。
【解析】
(1) 因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，因此$\sqrt{3}$的整数部分是1，小数部分为$\sqrt{3}-1$。
(2) 已知$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式两边同时加1得$2＜1+\sqrt{2}＜3$，因此$1+\sqrt{2}$的整数部分是2，小数部分为$(1+\sqrt{2})-2=\sqrt{2}-1$。
(3) ① 先估算$\sqrt{13}$的范围：因为$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$；不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$；再两边同时加5得$1＜5-\sqrt{13}＜2$，因此$5-\sqrt{13}$的整数部分$x=1$，小数部分$y=5-\sqrt{13}-1=4-\sqrt{13}$。
② 将$x=1$，$y=4-\sqrt{13}$代入$4x-xy$计算：
$4x-xy=4×1 - 1×(4-\sqrt{13})=4 - 4 + \sqrt{13}=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $1$，$\sqrt{3}-1$；(2) $2$，$\sqrt{2}-1$；(3) ① $x=1$，$y=4-\sqrt{13}$；② $\sqrt{13}$
【知识点】
无理数的估算，实数的整数与小数部分，代数式求值
【点评】
本题重点考查无理数的估算能力，解题关键是熟练掌握用夹逼法确定无理数的取值范围，注意求带负号的无理数相关式子的范围时，不等号方向要正确改变，牢记小数部分=原数-整数部分的规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
