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10（易错题）若$m＜0$，则$m$的立方根是（
A.$\sqrt[3]{m}$
B.$-\sqrt[3]{m}$
C.$\pm\sqrt[3]{m}$
D.$\sqrt[3]{-m}$
A
）A.$\sqrt[3]{m}$
B.$-\sqrt[3]{m}$
C.$\pm\sqrt[3]{m}$
D.$\sqrt[3]{-m}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的相关性质，注意区分立方根与平方根的差异：平方根仅非负数存在，且正数有2个互为相反数的平方根；但任意实数都有且只有1个立方根，立方根的符号与被开方数的符号一致。本题中m虽然是负数，但它的立方根仍可直接用立方根的符号表示，不要被m＜0的条件误导，错误套用平方根的性质额外添加负号。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，任意实数都有唯一的立方根。
本题中$m＜0$，属于实数，它的立方根就是$\sqrt[3]{m}$：
选项B：$-\sqrt[3]{m}$是正数，不符合负数的立方根为负的性质，错误；
选项C：立方根只有1个，不存在正负两个的情况，错误；
选项D：$\sqrt[3]{-m}$是正数，与m的立方根符号相反，错误。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题属于易错题，易错点是混淆平方根与立方根的性质，注意负数没有平方根，但有唯一的负立方根，不要因为被开方数是负数就随意改变立方根的符号。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆立方根的相关性质，注意区分立方根与平方根的差异：平方根仅非负数存在，且正数有2个互为相反数的平方根；但任意实数都有且只有1个立方根，立方根的符号与被开方数的符号一致。本题中m虽然是负数，但它的立方根仍可直接用立方根的符号表示，不要被m＜0的条件误导，错误套用平方根的性质额外添加负号。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，任意实数都有唯一的立方根。
本题中$m＜0$，属于实数，它的立方根就是$\sqrt[3]{m}$：
选项B：$-\sqrt[3]{m}$是正数，不符合负数的立方根为负的性质，错误；
选项C：立方根只有1个，不存在正负两个的情况，错误；
选项D：$\sqrt[3]{-m}$是正数，与m的立方根符号相反，错误。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题属于易错题，易错点是混淆平方根与立方根的性质，注意负数没有平方根，但有唯一的负立方根，不要因为被开方数是负数就随意改变立方根的符号。
【难度系数】
0.7
11 如果−b是a的立方根，那么下列结论正确的是（
A.−b也是−a的立方根
B.b是a的立方根
C.b是−a的立方根
D.±b都是a的立方根
C
）A.−b也是−a的立方根
B.b是a的立方根
C.b是−a的立方根
D.±b都是a的立方根
答案
C
解析
【分析】
解本题的核心是利用立方根的定义：若x是y的立方根，则满足x³=y。首先根据题目的已知条件“−b是a的立方根”列出对应的等式，再通过计算乘方推导各选项中描述的立方根与被开方数是否满足立方根的定义，逐一判断即可得到正确结论。
【解析】
根据立方根的定义，由−b是a的立方根可得：
$(-b)^3 = a$
根据乘方运算规则计算左边：$-b^3 = a$，变形可得$b^3 = -a$。
接下来逐一分析选项：
A. 若−b是−a的立方根，需满足$(-b)^3=-a$，而已知$(-b)^3=a$，仅当a=0时成立，不具有普遍性，故A错误；
B. 若b是a的立方根，需满足$b^3=a$，而推导得$b^3=-a$，故B错误；
C. 若b是−a的立方根，需满足$b^3=-a$，和推导结果一致，故C正确；
D. 任意实数的立方根只有1个（正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0），不可能同时有两个不同的立方根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义；乘方的运算性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，解题的关键是掌握立方运算和开立方运算的互逆关系，要注意区分立方根和平方根的性质，避免混淆二者的符号规律。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是利用立方根的定义：若x是y的立方根，则满足x³=y。首先根据题目的已知条件“−b是a的立方根”列出对应的等式，再通过计算乘方推导各选项中描述的立方根与被开方数是否满足立方根的定义，逐一判断即可得到正确结论。
【解析】
根据立方根的定义，由−b是a的立方根可得：
$(-b)^3 = a$
根据乘方运算规则计算左边：$-b^3 = a$，变形可得$b^3 = -a$。
接下来逐一分析选项：
A. 若−b是−a的立方根，需满足$(-b)^3=-a$，而已知$(-b)^3=a$，仅当a=0时成立，不具有普遍性，故A错误；
B. 若b是a的立方根，需满足$b^3=a$，而推导得$b^3=-a$，故B错误；
C. 若b是−a的立方根，需满足$b^3=-a$，和推导结果一致，故C正确；
D. 任意实数的立方根只有1个（正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0），不可能同时有两个不同的立方根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义；乘方的运算性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，解题的关键是掌握立方运算和开立方运算的互逆关系，要注意区分立方根和平方根的性质，避免混淆二者的符号规律。
【难度系数】
0.8
12 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序.如图，当输入x的值是64时，输出y的值是
$\sqrt{2}$
，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出y的值，则输入x的值为0或1
.答案
$\sqrt{2}$ 0或1
【解析】当输入$x$的值是64时,则64的算术平方根为8,其立方根为2,再取2的算术平方根为$\sqrt{2}$,它是无理数,输出结果,即输出$y$的值是$\sqrt{2}$.当$x=0$时,$\sqrt{0}=0$,$\sqrt[3]{0}=0$,一直计算下去不能得到无理数,无法输出$y$的值;当$x=1$时,$\sqrt{1}=1$,$\sqrt[3]{1}=1$,一直计算下去不能得到无理数,无法输出$y$的值,则$x$的值为0或1.
【解析】当输入$x$的值是64时,则64的算术平方根为8,其立方根为2,再取2的算术平方根为$\sqrt{2}$,它是无理数,输出结果,即输出$y$的值是$\sqrt{2}$.当$x=0$时,$\sqrt{0}=0$,$\sqrt[3]{0}=0$,一直计算下去不能得到无理数,无法输出$y$的值;当$x=1$时,$\sqrt{1}=1$,$\sqrt[3]{1}=1$,一直计算下去不能得到无理数,无法输出$y$的值,则$x$的值为0或1.
解析
【分析】
解题首先要明确程序的运算逻辑：输入x后先取算术平方根，若结果为无理数直接输出，若为有理数则取其立方根；立方根若为无理数直接输出，若仍为有理数则返回重新取算术平方根，循环运算直到得到无理数输出。第一问代入x=64按逻辑逐步计算即可；第二问无法输出y说明运算始终得到有理数，程序进入死循环，只需找算术平方根、立方根均为自身的特殊值即可。
【解析】
当输入x=64时：
1. 取64的算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，进入下一步运算；
2. 取8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，返回再次取算术平方根；
3. 取2的算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，满足输出条件，因此输出$y=\sqrt{2}$。
分析无法输出y的情况：
若每次运算结果都是有理数，程序会一直循环，无法得到无理数输出：
当x=0时，$\sqrt{0}=0$（有理数），$\sqrt[3]{0}=0$（有理数），反复运算结果始终为0，无法得到无理数；
当x=1时，$\sqrt{1}=1$（有理数），$\sqrt[3]{1}=1$（有理数），反复运算结果始终为1，无法得到无理数；
因此无法输出y时输入的x值为0或1。
【答案】
$\sqrt{2}$；0或1
【知识点】
算术平方根计算，立方根计算，实数分类
【点评】
本题结合程序流程图考查实数的运算性质，需要清晰理解程序的循环逻辑，按步骤运算即可得到输出结果，第二问要注意特殊实数0和1的运算特性，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解题首先要明确程序的运算逻辑：输入x后先取算术平方根，若结果为无理数直接输出，若为有理数则取其立方根；立方根若为无理数直接输出，若仍为有理数则返回重新取算术平方根，循环运算直到得到无理数输出。第一问代入x=64按逻辑逐步计算即可；第二问无法输出y说明运算始终得到有理数，程序进入死循环，只需找算术平方根、立方根均为自身的特殊值即可。
【解析】
当输入x=64时：
1. 取64的算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，进入下一步运算；
2. 取8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，返回再次取算术平方根；
3. 取2的算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，满足输出条件，因此输出$y=\sqrt{2}$。
分析无法输出y的情况：
若每次运算结果都是有理数，程序会一直循环，无法得到无理数输出：
当x=0时，$\sqrt{0}=0$（有理数），$\sqrt[3]{0}=0$（有理数），反复运算结果始终为0，无法得到无理数；
当x=1时，$\sqrt{1}=1$（有理数），$\sqrt[3]{1}=1$（有理数），反复运算结果始终为1，无法得到无理数；
因此无法输出y时输入的x值为0或1。
【答案】
$\sqrt{2}$；0或1
【知识点】
算术平方根计算，立方根计算，实数分类
【点评】
本题结合程序流程图考查实数的运算性质，需要清晰理解程序的循环逻辑，按步骤运算即可得到输出结果，第二问要注意特殊实数0和1的运算特性，避免漏解。
【难度系数】
0.65
13 已知$\sqrt[3]{y-1}+\sqrt[3]{3-2y}=0$，且$x-6$的平方根是它本身，则$x+y=$
8
。答案
8
【解析】因为$\sqrt[3]{y-1}+\sqrt[3]{3-2y}=0$,所以易得$y-1+3-2y=0$,解得$y=2$.因为$x-6$的平方根是它本身,所以$x-6=0$,解得$x=6$.所以$x+y=6+2=8$.
【解析】因为$\sqrt[3]{y-1}+\sqrt[3]{3-2y}=0$,所以易得$y-1+3-2y=0$,解得$y=2$.因为$x-6$的平方根是它本身,所以$x-6=0$,解得$x=6$.所以$x+y=6+2=8$.
解析
【分析】
解题时可拆分题目给出的两个条件分步求解：第一步处理立方根相关条件，根据立方根的性质，若两个数的立方根之和为0，说明这两个立方根互为相反数，对应被开方数也互为相反数，因此两个被开方数相加等于0，列方程即可求出y的值；第二步处理平方根相关条件，回忆平方根的特征，只有0的平方根是它本身，据此可列等式求出x的值，最后将x、y代入x+y计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{y-1}+\sqrt[3]{3-2y}=0$，
根据立方根的性质：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数，
∴$y-1 + (3-2y) = 0$，
解得$y=2$。
又
∵$x-6$的平方根是它本身，且只有0的平方根是它本身，
∴$x-6=0$，
解得$x=6$。
∴$x+y=6+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
立方根的性质，平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对平方根、立方根性质的理解，解题关键是熟记特殊数的平方根特征以及立方根的运算规律，计算量小，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可拆分题目给出的两个条件分步求解：第一步处理立方根相关条件，根据立方根的性质，若两个数的立方根之和为0，说明这两个立方根互为相反数，对应被开方数也互为相反数，因此两个被开方数相加等于0，列方程即可求出y的值；第二步处理平方根相关条件，回忆平方根的特征，只有0的平方根是它本身，据此可列等式求出x的值，最后将x、y代入x+y计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{y-1}+\sqrt[3]{3-2y}=0$，
根据立方根的性质：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数，
∴$y-1 + (3-2y) = 0$，
解得$y=2$。
又
∵$x-6$的平方根是它本身，且只有0的平方根是它本身，
∴$x-6=0$，
解得$x=6$。
∴$x+y=6+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
立方根的性质，平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对平方根、立方根性质的理解，解题关键是熟记特殊数的平方根特征以及立方根的运算规律，计算量小，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14 求下面各式中$x$的值：
(1) $(-2+x)^3=-216$；
(2) $(2x+1)^3+\dfrac{7}{8}=1$。
(1) $(-2+x)^3=-216$；
(2) $(2x+1)^3+\dfrac{7}{8}=1$。
答案
(1) $x=-4$ (2) $x=-\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
这两道题均是利用立方根的定义求解未知数的题型，解题核心思路是：若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根，且任意实数都只有唯一的一个立方根。我们可以通过对等式两边同时开立方，将三次方程转化为熟悉的一元一次方程，再解一元一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 对$(-2+x)^3=-216$两边同时开立方，可得：
$-2+x=\sqrt[3]{-216}$
因为$(-6)^3=-216$，所以$\sqrt[3]{-216}=-6$，代入得：
$-2+x=-6$
移项计算得：$x=-6+2=-4$
(2) 先对$(2x+1)^3+\dfrac{7}{8}=1$移项，整理得：
$(2x+1)^3=1-\dfrac{7}{8}=\dfrac{1}{8}$
对等式两边同时开立方，可得：
$2x+1=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$
因为$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2}$，代入得：
$2x+1=\dfrac{1}{2}$
移项计算：$2x=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$
两边同时除以2得：$x=-\dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) $x=-4$；(2) $x=-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于立方根应用的基础题型，重点考查对立方根概念的掌握，解题时注意开立方后符号的正确性，转化为一元一次方程后计算要仔细，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均是利用立方根的定义求解未知数的题型，解题核心思路是：若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根，且任意实数都只有唯一的一个立方根。我们可以通过对等式两边同时开立方，将三次方程转化为熟悉的一元一次方程，再解一元一次方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 对$(-2+x)^3=-216$两边同时开立方，可得：
$-2+x=\sqrt[3]{-216}$
因为$(-6)^3=-216$，所以$\sqrt[3]{-216}=-6$，代入得：
$-2+x=-6$
移项计算得：$x=-6+2=-4$
(2) 先对$(2x+1)^3+\dfrac{7}{8}=1$移项，整理得：
$(2x+1)^3=1-\dfrac{7}{8}=\dfrac{1}{8}$
对等式两边同时开立方，可得：
$2x+1=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$
因为$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2}$，代入得：
$2x+1=\dfrac{1}{2}$
移项计算：$2x=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$
两边同时除以2得：$x=-\dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) $x=-4$；(2) $x=-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于立方根应用的基础题型，重点考查对立方根概念的掌握，解题时注意开立方后符号的正确性，转化为一元一次方程后计算要仔细，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
15 已知长方体水池的长、宽、高之比为$1:1:2$，体积为$16000\ \mathrm{cm}^3$。
（1）长方体水池的长、宽、高分别为多少？
（2）当有一个半径为$a\ \mathrm{cm}$的球放入注满水的水池中时，溢出水池外的水的体积为水池体积的$\dfrac{2}{125}$，求该球的半径（球的体积公式为$V=\dfrac{4}{3}π r^3$，其中$V$为体积，$r$为半径，$π$取3）。
（1）长方体水池的长、宽、高分别为多少？
（2）当有一个半径为$a\ \mathrm{cm}$的球放入注满水的水池中时，溢出水池外的水的体积为水池体积的$\dfrac{2}{125}$，求该球的半径（球的体积公式为$V=\dfrac{4}{3}π r^3$，其中$V$为体积，$r$为半径，$π$取3）。
答案
(1) 设长方体水池的长、宽、高分别为$x$ cm,$x$ cm,$2x$ cm. 由题意,得$x· x· 2x=16000$.所以$2x^3=16000$.所以$x^3=8000$.所以$x=20$,则$2x=40$.所以长方体水池的长、宽、高分别为20 cm,20 cm,40 cm
(2) 由题意,得$\dfrac{4}{3}π a^3=\dfrac{2}{125}×16000$,所以$a^3=\dfrac{2}{125}×16000×\dfrac{1}{4}$.所以$a=4$.所以该球的半径为4 cm
(2) 由题意,得$\dfrac{4}{3}π a^3=\dfrac{2}{125}×16000$,所以$a^3=\dfrac{2}{125}×16000×\dfrac{1}{4}$.所以$a=4$.所以该球的半径为4 cm
解析
【分析】
（1）题目给出了长方体长、宽、高的比例关系，我们可以设比例系数为$x$，将长、宽、高用含$x$的代数式表示，再结合长方体体积公式列方程，最后通过开立方运算求出$x$的值，即可得到长、宽、高的具体数值。
（2）注满水的水池中放入球后，溢出的水的体积和球的体积相等，我们先根据溢出水体积占水池体积的比例算出溢出水的体积，也就是球的体积，再代入球的体积公式，将$π=3$代入化简得到关于$a$的方程，通过开立方运算即可求出球的半径$a$。
【解析】
（1）设长方体水池的长、宽、高分别为$x\ \mathrm{cm}$、$x\ \mathrm{cm}$、$2x\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式，结合题意列方程：
$x·x·2x=16000$
化简得：$2x^3=16000$
两边同时除以2得：$x^3=8000$
对等式两边开立方得：$x=\sqrt[3]{8000}=20$
则高为$2x=2×20=40$。
（2）由题意可知，溢出水的体积等于球的体积。
先计算溢出水的体积：$\dfrac{2}{125}×16000=256\ \mathrm{cm}^3$
将$V=256$、$r=a$、$π=3$代入球的体积公式$V=\dfrac{4}{3}π r^3$得：
$\dfrac{4}{3}×3×a^3=256$
化简得：$4a^3=256$
两边同时除以4得：$a^3=64$
对等式两边开立方得：$a=\sqrt[3]{64}=4$
【答案】
（1）长方体水池的长为20cm，宽为20cm，高为40cm；
（2）该球的半径为4cm。
【知识点】
立方根的运算，长方体体积计算，等体积代换
【点评】
本题考查立方根在实际几何问题中的应用，解题的核心是根据题干给出的比例关系、体积关系准确列出方程，再结合立方根的运算求解，计算难度较低，重点考查学生对等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.7
（1）题目给出了长方体长、宽、高的比例关系，我们可以设比例系数为$x$，将长、宽、高用含$x$的代数式表示，再结合长方体体积公式列方程，最后通过开立方运算求出$x$的值，即可得到长、宽、高的具体数值。
（2）注满水的水池中放入球后，溢出的水的体积和球的体积相等，我们先根据溢出水体积占水池体积的比例算出溢出水的体积，也就是球的体积，再代入球的体积公式，将$π=3$代入化简得到关于$a$的方程，通过开立方运算即可求出球的半径$a$。
【解析】
（1）设长方体水池的长、宽、高分别为$x\ \mathrm{cm}$、$x\ \mathrm{cm}$、$2x\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式，结合题意列方程：
$x·x·2x=16000$
化简得：$2x^3=16000$
两边同时除以2得：$x^3=8000$
对等式两边开立方得：$x=\sqrt[3]{8000}=20$
则高为$2x=2×20=40$。
（2）由题意可知，溢出水的体积等于球的体积。
先计算溢出水的体积：$\dfrac{2}{125}×16000=256\ \mathrm{cm}^3$
将$V=256$、$r=a$、$π=3$代入球的体积公式$V=\dfrac{4}{3}π r^3$得：
$\dfrac{4}{3}×3×a^3=256$
化简得：$4a^3=256$
两边同时除以4得：$a^3=64$
对等式两边开立方得：$a=\sqrt[3]{64}=4$
【答案】
（1）长方体水池的长为20cm，宽为20cm，高为40cm；
（2）该球的半径为4cm。
【知识点】
立方根的运算，长方体体积计算，等体积代换
【点评】
本题考查立方根在实际几何问题中的应用，解题的核心是根据题干给出的比例关系、体积关系准确列出方程，再结合立方根的运算求解，计算难度较低，重点考查学生对等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.7
16 当$a+b=0$时，$a^3+b^3=0$成立. 将$a$看成$a^3$的立方根，$b$看成$b^3$的立方根，小明得出了这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数.
（1）举一个例子来判断小明的结论是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值.
（1）举一个例子来判断小明的结论是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值.
答案
(1) 举例不唯一,如因为$2+(-2)=0$,而且$2^3=8$,$(-2)^3=-8$,有$8+(-8)=0$,所以小明的结论成立
(2) 由(1)验证的结论,可知$1-2x+3x-5=0$,解得$x=4$.所以$1-\sqrt{x}=1-2=-1$
(2) 由(1)验证的结论,可知$1-2x+3x-5=0$,解得$x=4$.所以$1-\sqrt{x}=1-2=-1$
解析
【分析】
（1）要验证小明的结论是否成立，可先任意选取一对互为相反数的数作为立方根，计算它们对应的立方（即被开方数），判断这两个立方是否也互为相反数即可。
（2）根据（1）验证得到的正确结论，若两个立方根互为相反数，则它们的被开方数互为相反数，即两个被开方数的和为0，据此列出关于x的一元一次方程，解出x后，代入$1-\sqrt{x}$，结合算术平方根的定义计算即可。
【解析】
（1）举例不唯一，例如：因为$2+(-2)=0$，且$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，可得$8+(-8)=0$，即2和-2作为立方根互为相反数，对应的被开方数8和-8也互为相反数，因此小明的结论成立。
（2）根据（1）验证的结论可知：两个立方根互为相反数时，被开方数互为相反数，因此可列方程：
$\begin{aligned}1-2x+3x-5&=0\\x-4&=0\\x&=4\end{aligned}$
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$计算得：
$1-\sqrt{4}=1-2=-1$
【答案】
（1）举例：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2与-2互为相反数，8与-8也互为相反数，故小明的结论成立（举例不唯一）；（2）$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的性质；相反数的性质；算术平方根运算
【点评】
本题考查立方根相关性质的应用，先通过举例验证结论的正确性，再利用结论建立方程求解，解题过程中需要注意算术平方根的结果为非负数，计算时避免符号错误。
【难度系数】
0.8
（1）要验证小明的结论是否成立，可先任意选取一对互为相反数的数作为立方根，计算它们对应的立方（即被开方数），判断这两个立方是否也互为相反数即可。
（2）根据（1）验证得到的正确结论，若两个立方根互为相反数，则它们的被开方数互为相反数，即两个被开方数的和为0，据此列出关于x的一元一次方程，解出x后，代入$1-\sqrt{x}$，结合算术平方根的定义计算即可。
【解析】
（1）举例不唯一，例如：因为$2+(-2)=0$，且$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，可得$8+(-8)=0$，即2和-2作为立方根互为相反数，对应的被开方数8和-8也互为相反数，因此小明的结论成立。
（2）根据（1）验证的结论可知：两个立方根互为相反数时，被开方数互为相反数，因此可列方程：
$\begin{aligned}1-2x+3x-5&=0\\x-4&=0\\x&=4\end{aligned}$
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$计算得：
$1-\sqrt{4}=1-2=-1$
【答案】
（1）举例：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2与-2互为相反数，8与-8也互为相反数，故小明的结论成立（举例不唯一）；（2）$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的性质；相反数的性质；算术平方根运算
【点评】
本题考查立方根相关性质的应用，先通过举例验证结论的正确性，再利用结论建立方程求解，解题过程中需要注意算术平方根的结果为非负数，计算时避免符号错误。
【难度系数】
0.8
