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15 求下面各式中$x$的值.
(1) $4x^2 - \sqrt{81} = 0$;
(2) $(2x - 1)^3 = -64$.
(1) $4x^2 - \sqrt{81} = 0$;
(2) $(2x - 1)^3 = -64$.
答案
15. (1) $x=\pm\dfrac{3}{2}$ (2) $x=-\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
这两道题分别考查平方根和立方根的应用，解题思路如下：(1)属于含平方的方程，先计算出$\sqrt{81}$的值，将常数项移到等号右侧，再把$x^2$的系数化为1，最后根据平方根的定义开平方求解，注意正数的平方根有两个且互为相反数；(2)属于含立方的方程，直接根据立方根的定义对等式两边同时开立方，得到关于$x$的一元一次方程后求解即可，立方根仅1个，符号与被开方数一致。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt{81}=9$，原方程变形为：
$4x^2 - 9 = 0$
移项得：$4x^2 = 9$
系数化为1得：$x^2 = \dfrac{9}{4}$
根据平方根的定义开平方得：$x = \pm\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \pm\dfrac{3}{2}$
(2) 对等式两边同时开立方：
$2x - 1 = \sqrt[3]{-64}$
因为$-64$的立方根是$-4$，所以：
$2x - 1 = -4$
移项得：$2x = -4 + 1 = -3$
系数化为1得：$x = -\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=\pm\dfrac{3}{2}$ (2) $x=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
平方根运算，立方根运算，一元一次方程解法
【点评】
本题是基础运算题，重点考查平方根和立方根的性质，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，而任意数的立方根只有一个且符号与被开方数相同，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
这两道题分别考查平方根和立方根的应用，解题思路如下：(1)属于含平方的方程，先计算出$\sqrt{81}$的值，将常数项移到等号右侧，再把$x^2$的系数化为1，最后根据平方根的定义开平方求解，注意正数的平方根有两个且互为相反数；(2)属于含立方的方程，直接根据立方根的定义对等式两边同时开立方，得到关于$x$的一元一次方程后求解即可，立方根仅1个，符号与被开方数一致。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt{81}=9$，原方程变形为：
$4x^2 - 9 = 0$
移项得：$4x^2 = 9$
系数化为1得：$x^2 = \dfrac{9}{4}$
根据平方根的定义开平方得：$x = \pm\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \pm\dfrac{3}{2}$
(2) 对等式两边同时开立方：
$2x - 1 = \sqrt[3]{-64}$
因为$-64$的立方根是$-4$，所以：
$2x - 1 = -4$
移项得：$2x = -4 + 1 = -3$
系数化为1得：$x = -\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=\pm\dfrac{3}{2}$ (2) $x=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
平方根运算，立方根运算，一元一次方程解法
【点评】
本题是基础运算题，重点考查平方根和立方根的性质，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，而任意数的立方根只有一个且符号与被开方数相同，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
16 已知$a$是$2\frac{7}{9}$的平方根，$b$是$(-13)^2$的平方根，$c$的立方根是$-3$，$d$的算术平方根为$\sqrt{5}$.
（1）求$a$，$b$，$c$的值；
（2）$d$的另外一个平方根落在图中的
（1）求$a$，$b$，$c$的值；
（2）$d$的另外一个平方根落在图中的
段①
（填“段①”“段②”“段③”或“段④”）.答案
16. (1) 因为 $a$ 是 $2\dfrac{7}{9}$ 的平方根, 所以 $a=\pm\sqrt{2\dfrac{7}{9}}=\pm\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\pm\dfrac{5}{3}$. 因为 $b$ 是 $(-13)^2$ 的平方根, 所以 $b=\pm13$. 因为 $c$ 的立方根是 $-3$, 所以 $c=-27$
(2) 段① 【解析】因为 $d$ 的算术平方根为 $\sqrt{5}$, 所以 $d=5$. 所以 $d$ 的另外一个平方根是 $-\sqrt{5}$. 因为 $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$, 所以 $2＜\sqrt{5}＜3$. 所以 $-3＜-\sqrt{5}＜-2$. 所以 $-\sqrt{5}$ 落在题图中的段①.
(2) 段① 【解析】因为 $d$ 的算术平方根为 $\sqrt{5}$, 所以 $d=5$. 所以 $d$ 的另外一个平方根是 $-\sqrt{5}$. 因为 $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$, 所以 $2＜\sqrt{5}＜3$. 所以 $-3＜-\sqrt{5}＜-2$. 所以 $-\sqrt{5}$ 落在题图中的段①.
解析
【分析】
（1）求解a、b、c的值需结合平方根、立方根的定义：①求a时先将带分数$2\frac{7}{9}$化为假分数，再根据平方根的定义计算，注意正数的平方根有两个且互为相反数；②求b时先计算$(-13)^2$的结果，再求它的平方根；③求c时根据立方根定义，已知立方根求原数，将立方根立方即可。
（2）先根据算术平方根的定义求出d的值，再得到d的另一个平方根，接着估算这个负无理数的大小范围，最后对照数轴判断所在的段即可。
【解析】
（1）计算a的值：
$2\frac{7}{9}=\frac{25}{9}$，因为a是$\frac{25}{9}$的平方根，所以$a=\pm\sqrt{\frac{25}{9}}=\pm\frac{5}{3}$；
计算b的值：
$(-13)^2=169$，因为b是169的平方根，所以$b=\pm\sqrt{169}=\pm13$；
计算c的值：
因为c的立方根是$-3$，所以$c=(-3)^3=-27$。
（2）因为d的算术平方根为$\sqrt{5}$，所以$d=(\sqrt{5})^2=5$，5的平方根为$\pm\sqrt{5}$，因此d的另外一个平方根是$-\sqrt{5}$。
估算$-\sqrt{5}$的范围：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，对照数轴可知，$-\sqrt{5}$落在段①。
【答案】
（1）$a=\pm\frac{5}{3}$，$b=\pm13$，$c=-27$；（2）段①
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，无理数估算
【点评】
本题侧重考查开方相关的基础概念，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根；估算无理数大小时，可通过比较其平方值和相邻整数平方的大小确定范围，再结合数轴判断位置即可。
【难度系数】
0.7
（1）求解a、b、c的值需结合平方根、立方根的定义：①求a时先将带分数$2\frac{7}{9}$化为假分数，再根据平方根的定义计算，注意正数的平方根有两个且互为相反数；②求b时先计算$(-13)^2$的结果，再求它的平方根；③求c时根据立方根定义，已知立方根求原数，将立方根立方即可。
（2）先根据算术平方根的定义求出d的值，再得到d的另一个平方根，接着估算这个负无理数的大小范围，最后对照数轴判断所在的段即可。
【解析】
（1）计算a的值：
$2\frac{7}{9}=\frac{25}{9}$，因为a是$\frac{25}{9}$的平方根，所以$a=\pm\sqrt{\frac{25}{9}}=\pm\frac{5}{3}$；
计算b的值：
$(-13)^2=169$，因为b是169的平方根，所以$b=\pm\sqrt{169}=\pm13$；
计算c的值：
因为c的立方根是$-3$，所以$c=(-3)^3=-27$。
（2）因为d的算术平方根为$\sqrt{5}$，所以$d=(\sqrt{5})^2=5$，5的平方根为$\pm\sqrt{5}$，因此d的另外一个平方根是$-\sqrt{5}$。
估算$-\sqrt{5}$的范围：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，对照数轴可知，$-\sqrt{5}$落在段①。
【答案】
（1）$a=\pm\frac{5}{3}$，$b=\pm13$，$c=-27$；（2）段①
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，无理数估算
【点评】
本题侧重考查开方相关的基础概念，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根；估算无理数大小时，可通过比较其平方值和相邻整数平方的大小确定范围，再结合数轴判断位置即可。
【难度系数】
0.7
17 在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将滑行$s$米，一般有经验公式$s=\frac{v^2}{300}$，其中$v$表示刹车前汽车的速度(单位:千米/时)。在一次行驶中，汽车紧急刹车后滑行的距离是27米，若该路段限速100千米/时，判断该汽车刹车前有没有超速，并说明理由。
答案
17. 该汽车刹车前没有超速 理由:当 $s=27$ 时, $27=\dfrac{v^2}{300}$, 即 $v^2=8100$, 所以 $v=90$. 因为 $90＜100$, 所以该汽车刹车前没有超速.
解析
【分析】
要判断汽车是否超速，需先根据已知的滑行距离$s$，代入给出的经验公式求出刹车前的速度$v$，再将求出的$v$与路段限速100千米/时比较大小即可：若$v＞100$则超速，若$v≤100$则未超速。解题时先将$s=27$代入公式得到关于$v$的方程，结合速度为正数的实际意义，取算术平方根得到$v$的值，最后比较大小得出结论。
【解析】
当滑行距离$s=27$米时，将其代入公式$s=\dfrac{v^2}{300}$，可得：
$27=\dfrac{v^2}{300}$
方程两边同时乘300，得：$v^2=27×300=8100$
由于速度$v$为正数，对8100取算术平方根，得$v=\sqrt{8100}=90$（千米/时）
已知该路段限速100千米/时，因为$90＜100$，所以该汽车刹车前没有超速。
【答案】
该汽车刹车前没有超速
【知识点】
代数式求值；算术平方根的应用；实数大小比较
【点评】
本题是结合生活场景的应用型题目，将数学知识与交通安全常识结合，既考查了对公式的代入运用能力，也考查了实际问题中算术平方根的取值判断，能够引导学生主动用数学知识解决生活中的实际问题。
【难度系数】
0.9
要判断汽车是否超速，需先根据已知的滑行距离$s$，代入给出的经验公式求出刹车前的速度$v$，再将求出的$v$与路段限速100千米/时比较大小即可：若$v＞100$则超速，若$v≤100$则未超速。解题时先将$s=27$代入公式得到关于$v$的方程，结合速度为正数的实际意义，取算术平方根得到$v$的值，最后比较大小得出结论。
【解析】
当滑行距离$s=27$米时，将其代入公式$s=\dfrac{v^2}{300}$，可得：
$27=\dfrac{v^2}{300}$
方程两边同时乘300，得：$v^2=27×300=8100$
由于速度$v$为正数，对8100取算术平方根，得$v=\sqrt{8100}=90$（千米/时）
已知该路段限速100千米/时，因为$90＜100$，所以该汽车刹车前没有超速。
【答案】
该汽车刹车前没有超速
【知识点】
代数式求值；算术平方根的应用；实数大小比较
【点评】
本题是结合生活场景的应用型题目，将数学知识与交通安全常识结合，既考查了对公式的代入运用能力，也考查了实际问题中算术平方根的取值判断，能够引导学生主动用数学知识解决生活中的实际问题。
【难度系数】
0.9
18 如图所示为一块体积为$216\ \mathrm{cm}^3$的正方体铁块.
（1）求出这块正方体铁块的棱长.
（2）现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两块棱长为$2\ \mathrm{cm}$的小正方体铁块和一块底面为正方形的长方体铁块.若长方体铁块的高为$8\ \mathrm{cm}$，求长方体铁块的底面正方形的边长.
（1）求出这块正方体铁块的棱长.
（2）现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两块棱长为$2\ \mathrm{cm}$的小正方体铁块和一块底面为正方形的长方体铁块.若长方体铁块的高为$8\ \mathrm{cm}$，求长方体铁块的底面正方形的边长.
答案
18. (1) 由题意, 可知正方体铁块的棱长为 $\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$
(2) 设长方体铁块的底面正方形的边长为 $a$ cm. 由题意, 得 $2×2^3+8a^2=216$, 所以 $a=5$. 所以长方体铁块的底面正方形的边长为 5 cm
(2) 设长方体铁块的底面正方形的边长为 $a$ cm. 由题意, 得 $2×2^3+8a^2=216$, 所以 $a=5$. 所以长方体铁块的底面正方形的边长为 5 cm
解析
【分析】
（1）已知正方体的体积，要求棱长，可利用正方体体积公式：正方体体积=棱长³，因此对已知体积开立方即可得到棱长，注意实际问题中棱长为正数，只需取正的立方根。
（2）铁块熔化重新锻造的过程中总体积不变，即原大正方体体积=2个小正方体体积+新长方体体积。先计算2个小正方体的体积，再结合长方体体积=底面积×高（底面积为底面正方形边长的平方，高已知为8cm）列出等式，求解即可得到底面边长，注意边长为正数，取正根。
【解析】
解：（1）设正方体铁块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=216$
对等式两边开立方，得$x=\sqrt[3]{216}=6$
（2）设长方体铁块的底面正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$。
根据熔化前后总体积不变，可列等式：
$2× 2^3 + 8a^2=216$
化简得：$16+8a^2=216$
移项计算得：$8a^2=200$，即$a^2=25$
由于边长为正数，因此$a=\sqrt{25}=5$
【答案】
(1) 这块正方体铁块的棱长为$6\ \mathrm{cm}$；
(2) 长方体铁块的底面正方形的边长为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
立方根运算，正方体体积计算，等积变形
【点评】
本题以铁块熔铸为命题背景，考查立体图形体积的相关计算，解题的核心是抓住熔铸前后总体积不变的规律建立等式，计算时注意结合实际意义，长度仅取正值，整体属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
（1）已知正方体的体积，要求棱长，可利用正方体体积公式：正方体体积=棱长³，因此对已知体积开立方即可得到棱长，注意实际问题中棱长为正数，只需取正的立方根。
（2）铁块熔化重新锻造的过程中总体积不变，即原大正方体体积=2个小正方体体积+新长方体体积。先计算2个小正方体的体积，再结合长方体体积=底面积×高（底面积为底面正方形边长的平方，高已知为8cm）列出等式，求解即可得到底面边长，注意边长为正数，取正根。
【解析】
解：（1）设正方体铁块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=216$
对等式两边开立方，得$x=\sqrt[3]{216}=6$
（2）设长方体铁块的底面正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$。
根据熔化前后总体积不变，可列等式：
$2× 2^3 + 8a^2=216$
化简得：$16+8a^2=216$
移项计算得：$8a^2=200$，即$a^2=25$
由于边长为正数，因此$a=\sqrt{25}=5$
【答案】
(1) 这块正方体铁块的棱长为$6\ \mathrm{cm}$；
(2) 长方体铁块的底面正方形的边长为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
立方根运算，正方体体积计算，等积变形
【点评】
本题以铁块熔铸为命题背景，考查立体图形体积的相关计算，解题的核心是抓住熔铸前后总体积不变的规律建立等式，计算时注意结合实际意义，长度仅取正值，整体属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
