10. 甲、乙两人共同解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15, ① \\4x - by = -2. ②\end{cases}$
由于甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3, \\y = -1,\end{cases}$乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 4;\end{cases}$
计算$a^{2024} + (-\dfrac{1}{10}b)^{2025} = \_\_\_\_\_\_.$

0

【分析】
解题的核心是理解“看错某一方程的参数时，所得的解仍然满足另一个未看错的方程”：①甲只看错了方程①中的a，说明他得到的解符合没有看错的方程②，将甲的解代入方程②即可求出正确的b值；②乙只看错了方程②中的b，说明他得到的解符合没有看错的方程①，将乙的解代入方程①即可求出正确的a值；最后把a、b代入所求的代数式，根据乘方的运算法则计算结果即可。
【解析】
1. 求正确的b值：
∵甲看错了方程①的a，
∴$\begin{cases}x = -3, \\y = -1\end{cases}$是方程②的解，代入②得：
$4×(-3) - b×(-1) = -2$
计算得：$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
2. 求正确的a值：
∵乙看错了方程②的b，
∴$\begin{cases}x = 5, \\y = 4\end{cases}$是方程①的解，代入①得：
$a×5 + 5×4 = 15$
计算得：$5a + 20 = 15$，解得$a=-1$。
3. 代入代数式计算：
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{2024} + (-\dfrac{1}{10}b)^{2025}$得：
$(-1)^{2024} + (-\dfrac{1}{10}×10)^{2025} = 1 + (-1)^{2025} = 1 - 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的解的意义；有理数乘方运算；代数式求值
【点评】
本题的易错点是混淆解对应的方程，解题关键是明确看错某一方程的参数时，得到的解仍适用于另一个未被看错的方程，准确求出正确的参数后代入计算即可。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11.(1)计算：$-1^4 - \sqrt[3]{8} - \sqrt{(-3)^2} + |\sqrt{3} - 2|$；
(2)解不等式组：$\begin{cases} x - 4 ≤ \dfrac{3}{2}(2x - 1), \\ 2x - \dfrac{1 + 3x}{2} ＜ 1. \end{cases}$

(1)$-4-\sqrt{3}$;(2)$-\dfrac{5}{4}≤ x＜3$.

【分析】
（1）本题考查实数的混合运算，解题时需先分别计算出乘方、立方根、算术平方根、绝对值四个部分的结果，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可，注意绝对值化简要先判断绝对值内式子的正负性。
（2）本题考查一元一次不等式组的求解，先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再找两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$-1^4=-1$，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
因为$\sqrt{3}＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，
代入原式计算：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=-1-2-3+(2-\sqrt{3})\\&=-6+2-\sqrt{3}\\&=-4-\sqrt{3}\end{split}$
(2) 解不等式组$\begin{cases} x - 4 ≤ \dfrac{3}{2}(2x - 1)① \\ 2x - \dfrac{1 + 3x}{2} ＜ 1② \end{cases}$
解不等式①：
两边同乘2消去分母得：$2(x-4)≤3(2x-1)$
去括号得：$2x-8≤6x-3$
移项、合并同类项得：$-4x≤5$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≥-\dfrac{5}{4}$
解不等式②：
两边同乘2消去分母得：$4x-(1+3x)＜2$
去括号得：$4x-1-3x＜2$
合并同类项得：$x-1＜2$
解得：$x＜3$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-\dfrac{5}{4}≤x＜3$
【答案】
(1)$-4-\sqrt{3}$；(2)$-\dfrac{5}{4}≤ x＜3$
【知识点】
实数混合运算，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查运算的规范性和准确性，第一问要注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的差异，避免符号出错，第二问要注意不等式两边乘负数时不等号方向需改变，熟练掌握基础运算规则即可正确作答。
【难度系数】
0.7

12.在“迎新年，庆元旦”期间，某商场推出A、B、C、D四种不同类型礼盒共1 000盒进行销售，在图1中是各类型礼盒所占数的百分比，已知四类礼盒一共已经销售了50%，各类礼盒的销售数量如图2：
(1)商场推出的C类礼盒有盒；
(2)在扇形统计图中，C部分所对应的圆心角等于度；
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)你觉得哪一类礼盒销售最慢，请说明理由.

(1)200;(2)$72°$;
(3)$1\ 000×50\%-168-80-150=102$(盒),补全条形统计图略;
(4)B类,理由:$80＜102＜150＜168$.

【分析】
解题时需结合扇形统计图和条形统计图的信息分步分析：
(1)求C类礼盒总数量：先通过扇形统计图中A、B、D类的占比，算出C类占总礼盒数的百分比，再乘总礼盒数1000即可得到结果；
(2)求C部分对应圆心角：扇形统计图中某部分圆心角=360°×该部分占总体的百分比，代入C类的占比即可计算；
(3)补全条形统计图：先根据总礼盒数和已售占比算出已售总数量，再减去已知的A、B、D类已售数量，得到C类已售数量，对应画出条形即可；
(4)判断销售最慢的礼盒：相同销售时间内，已售数量最少的礼盒销售最慢，对比四类礼盒的已售数量即可判断。
【解析】
(1)先计算C类礼盒占总数量的百分比：
$1 - 35\% - 20\% - 25\% = 20\%$
C类礼盒数量：$1000 × 20\% = 200$（盒）
(2)C部分对应的圆心角：
$360° × 20\% = 72°$
(3)已售礼盒总数量：$1000 × 50\% = 500$（盒）
C类已售数量：$500 - 168 - 80 - 150 = 102$（盒）
在条形统计图中C类别对应位置绘制高度为102的长方形即可（补图略）
(4)对比四类礼盒已售数量：$80＜102＜150＜168$，相同销售时间内B类销量最少，所以B类销售最慢。
【答案】
(1)$200$；(2)$72°$；(3)C类已售102盒，补全条形统计图略；(4)B类，理由：$80＜102＜150＜168$。
【知识点】
扇形统计图；条形统计图；百分数应用
【点评】
本题结合两种统计图表考查数据整理与分析能力，解题核心是准确提取图表中的对应信息，结合百分数基础计算即可完成，属于统计类基础习题。
【难度系数】
0.8

13.(1)已知:如图1,AB//CD,求证:∠B+∠D=∠BED;
(2)拓展提升:如图2,已知AB//DE,BF,EF分别平分∠ABC与∠CED,若∠BCE=130°,求∠F的度数.

(1)证明:如图1,过E点作$EF// AB$,
则$∠ 1=∠ B$,
又$\because AB// CD,\therefore EF// CD$,
$\therefore ∠ B+∠ D=∠ 1+∠ 2$,
即$∠ BED=∠ B+∠ D$.

(2)解:如图2,过点C作$CP// AB$,则$∠ BCP=∠ ABC,∠ ECP=∠ CED$,
$\therefore ∠ ABC + ∠ CED = ∠ BCP + ∠ ECP =∠ BCE=130°$;
又$\because$ BF,EF分别平分$∠ ABC,∠ CED$,
$\therefore ∠ ABF=\dfrac{1}{2}∠ ABC,∠ DEF=\dfrac{1}{2}∠ DEC$;
$\therefore ∠ ABF + ∠ DEF = \dfrac{1}{2}(∠ ABC + ∠ DEC)=65°$,
同理可得$∠ BFE=∠ ABF+∠ DEF=65°$.

【分析】
(1) 本题是平行线间的折线角度证明题，已知AB//CD但没有直接关联∠B、∠D、∠BED的截线，因此考虑过折点E作AB的平行线，利用平行线的内错角相等的性质，将∠BED拆分为两个分别与∠B、∠D相等的角，即可完成证明。
(2) 求∠F的度数可沿用第一问的思路：首先过点C作AB的平行线，推出∠ABC与∠CED的和等于∠BCE的度数；再结合角平分线的定义，算出∠ABF与∠DEF的和；最后利用第一问得到的结论，即可求出∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：如图1，过E点作$EF// AB$，
则$∠ 1=∠ B$，
又$\because AB// CD,\therefore EF// CD$，
$\therefore ∠ B+∠ D=∠ 1+∠ 2$，
即$∠ BED=∠ B+∠ D$。

(2) 解：如图2，过点C作$CP// AB$，则$∠ BCP=∠ ABC,∠ ECP=∠ CED$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ CED = ∠ BCP + ∠ ECP =∠ BCE=130°$；
又$\because$ BF,EF分别平分$∠ ABC,∠ CED$，
$\therefore ∠ ABF=\dfrac{1}{2}∠ ABC,∠ DEF=\dfrac{1}{2}∠ DEC$；
$\therefore ∠ ABF + ∠ DEF = \dfrac{1}{2}(∠ ABC + ∠ DEC)=65°$，
同理可得$∠ BFE=∠ ABF+∠ DEF=65°$。

【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B+∠D=∠BED}$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠F=65°}$

【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线角度问题的典型题型，核心解题方法是在平行线间的折点处作辅助平行线，通过内错角相等实现角度的转化，第二问是第一问模型的延伸应用，掌握该类辅助线构造方法可快速解决同类折线角度问题。
【难度系数】
0.7