1. (大连中考)解方程$\frac{1}{x-1}+3=\frac{3x}{1-x}$，去分母、两边同乘$(x-1)$后的式子为（）

A.$1+3(x-1)=-3x$
B.$1+3=3x(1-x)$
C.$x-1+3=-3x$
D.$1+3(x-1)=3x$

7. $\sqrt{7}$；8. $4$

解：
7. 设这块正方形桌布的边长为$a\ \mathrm{m}$（$a＞0$），
由正方形面积公式得$a^2=7$，根据算术平方根的定义，可得$a=\sqrt{7}$。
8. 将$h=78.4$，$g\approx9.8$代入公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$：
$t=\sqrt{\frac{2×78.4}{9.8}}=\sqrt{\frac{156.8}{9.8}}=\sqrt{16}=4$

2. 下列去分母,正确的是 ()

A.由$\frac{x}{3} -1 = \frac{1-x}{2}$, 得 $2x -1 =3(1-x)$
B.由$\frac{x}{4} - \frac{x-2}{2} = -1$, 得 $x -2x -4 = -4$
C.由$\frac{y}{3} -1 = \frac{y}{5}$, 得 $2y -15 =3y$
D.由$\frac{y+1}{2} = \frac{y}{3} +1$, 得 $3(y+1)=2y+6$

D 解析:A. 由$\frac{x}{3}-1=\frac{1-x}{2}$,得$2x-6=3(1-x)$,错误;B. 由$\frac{x}{4}-\frac{x-2}{2}=-1$,得$x-2x+4=-4$,错误;C. 由$\frac{y}{3}-1=\frac{y}{5}$,得$5y-15=3y$,错误;D. 由$\frac{y+1}{2}=\frac{y}{3}+1$,得$3(y+1)=2y+6$,正确,故选 D.

【分析】
解决本题首先要明确去分母的依据和操作规则：去分母的依据是等式的基本性质，操作时需要给等式左右两边的每一项都乘所有分母的最小公倍数，注意两个核心要点：①不要漏乘不含分母的常数项；②如果分子是多项式，去分母后要给整个分子加上括号，避免出现符号错误。按照上述规则逐一判断每个选项即可得出答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 方程$\frac{x}{3} -1 = \frac{1-x}{2}$的分母最小公倍数是6，两边同乘6得$2x-6=3(1-x)$，选项漏乘了常数项-1，计算错误。
B. 方程$\frac{x}{4} - \frac{x-2}{2} = -1$的分母最小公倍数是4，两边同乘4得$x-2(x-2)=-4$，去括号后为$x-2x+4=-4$，选项符号计算错误。
C. 方程$\frac{y}{3} -1 = \frac{y}{5}$的分母最小公倍数是15，两边同乘15得$5y-15=3y$，选项中y的系数计算错误。
D. 方程$\frac{y+1}{2} = \frac{y}{3} +1$的分母最小公倍数是6，两边同乘6得$3(y+1)=2y+6$，计算正确。
【答案】D
【知识点】
1. 解一元一次方程去分母
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于去分母规则的基础考查题，易错点主要是漏乘常数项、分子为多项式时漏加括号导致符号错误，熟练掌握去分母的操作要点就能快速准确作答。
【难度系数】
0.7

3. 若$x=1$是关于$x$的方程$\frac{3m+x}{2}=m+3-x$的解，则$m$的值是（）

A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$3$

解：
$x^2 = a$
平方根

【分析】
解题的关键是明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是原方程的解，我们可以先将x=1代入原方程，此时原方程就会转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，即可得到m的值。
【解析】
因为$x=1$是方程$\frac{3m+x}{2}=m+3-x$的解，将$x=1$代入方程，得：
$\frac{3m+1}{2}=m+3-1$
化简等式右边可得：$\frac{3m+1}{2}=m+2$
两边同时乘2去分母，得：$3m+1=2(m+2)$
去括号，得：$3m+1=2m+4$
移项，得：$3m-2m=4-1$
合并同类项，得：$m=3$
因此m的值为3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查利用方程的解求方程中未知参数的方法，解题逻辑清晰，只要熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤，就能顺利解答。
【难度系数】
0.9

4. (1)(济南中考)若式子$\frac{2x-1}{3}$与$3-2x$的和为4,则$x=$;
(2)若式子$\frac{18+a}{3}$的值比$a-1$的值大1,则$a$的值为.

解：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

【分析】
这两道题均属于根据文字数量关系列一元一次方程并求解的题型。解题时首先要读懂题意：第(1)题中两个式子的和为4，即两个式子相加等于4；第(2)题中第一个式子比第二个式子大1，即第一个式子减第二个式子等于1。列出方程后，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 根据题意列方程：
$\frac{2x-1}{3} + 3 - 2x = 4$
去分母（两边同乘3，注意不要漏乘常数项）：
$2x - 1 + 9 - 6x = 12$
合并同类项：
$-4x + 8 = 12$
移项：
$-4x = 12 - 8$
$-4x = 4$
系数化为1：
$x = -1$
(2) 根据题意列方程：
$\frac{18+a}{3} - (a - 1) = 1$
去分母（两边同乘3，括号前是负号，去括号注意符号变化）：
$18 + a - 3(a - 1) = 3$
去括号：
$18 + a - 3a + 3 = 3$
合并同类项：
$21 - 2a = 3$
移项：
$-2a = 3 - 21$
$-2a = -18$
系数化为1：
$a = 9$
【答案】
(1) $-1$；(2) $9$
【知识点】
1. 列一元一次方程；2. 解含分母的一元一次方程
【点评】
本题侧重考查一元一次方程的基础应用，解题核心是准确将文字描述的数量关系转化为方程，求解过程中需注意去分母时不要漏乘无分母的项，去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

5. 我们知道，含有未知数的等式叫作方程，若规定符号“⊗”的运算意义为 $ a\otimes b = \frac{a + 2b}{2} $，则方程 $ 3\otimes x = x\otimes 2 $ 的解是 。

解：正数$a$的平方根可以用$\boldsymbol{\pm\sqrt{a}}$表示，$\boldsymbol{a}$叫作被开方数，读作$\boldsymbol{正负根号a}$。

【分析】
解题时首先要明确新定义符号“⊗”的运算规则，第一步将方程左右两边的“⊗”运算按照规则转化为普通的代数式，把特殊形式的方程转化为我们熟悉的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到答案。
【解析】
根据题意给出的运算规则$a\otimes b = \frac{a + 2b}{2}$：
左边$3\otimes x$中，$a=3$，$b=x$，代入得：$3\otimes x=\frac{3 + 2x}{2}$
右边$x\otimes 2$中，$a=x$，$b=2$，代入得：$x\otimes 2=\frac{x + 2×2}{2}=\frac{x + 4}{2}$
由此可得一元一次方程：$\frac{3 + 2x}{2}=\frac{x + 4}{2}$
两边同时乘以2去分母，得：$3 + 2x = x + 4$
移项，得：$2x - x = 4 - 3$
合并同类项，得：$x=1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的解法，去分母
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与应用能力，以及解一元一次方程的基础计算能力，解题核心是准确将新定义运算转化为常规代数运算，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.8

6. 解下列方程：
(1)$\frac{2x-1}{3}=\frac{5x+4}{6}$；
(2)$1-\frac{x-7}{3}=4(x-10)$；
(3)$y-\frac{y-1}{2}=2-\frac{y+2}{5}$；
(4)$\frac{1}{5}(2x-3)+3=\frac{2}{3}x$。

(1)$x=-6$ (2)$x=10$ (3)$y=\frac{11}{7}$ (4)$x=9$

【分析】
解带分母的一元一次方程，核心思路是利用等式的性质2去掉分母，将方程转化为整数系数一元一次方程，再按“去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤求解。解题时要注意两个易错点：①去分母时方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；②如果分子是多项式，去分母后要把分子整体加上括号，避免出现符号错误。
【解析】
(1) 去分母（两边同乘6），得：$2(2x-1)=5x+4$
去括号，得：$4x-2=5x+4$
移项，得：$4x-5x=4+2$
合并同类项，得：$-x=6$
系数化为1，得：$x=-6$
(2) 去分母（两边同乘3），得：$3-(x-7)=12(x-10)$
去括号，得：$3-x+7=12x-120$
合并同类项，得：$10-x=12x-120$
移项，得：$-x-12x=-120-10$
合并同类项，得：$-13x=-130$
系数化为1，得：$x=10$
(3) 去分母（两边同乘10），得：$10y-5(y-1)=20-2(y+2)$
去括号，得：$10y-5y+5=20-2y-4$
合并同类项，得：$5y+5=16-2y$
移项，得：$5y+2y=16-5$
合并同类项，得：$7y=11$
系数化为1，得：$y=\frac{11}{7}$
(4) 去分母（两边同乘15），得：$3(2x-3)+45=10x$
去括号，得：$6x-9+45=10x$
合并同类项，得：$6x+36=10x$
移项，得：$6x-10x=-36$
合并同类项，得：$-4x=-36$
系数化为1，得：$x=9$
【答案】
(1)$x=-6$；(2)$x=10$；(3)$y=\frac{11}{7}$；(4)$x=9$
【知识点】
一元一次方程的解法；去分母法则；等式的性质
【点评】
这组题目是去分母解一元一次方程的常规训练题，重点考察去分母的操作规范，解题时要格外注意不要漏乘常数项、分子带多项式时要加括号，避免符号错误，熟练掌握步骤后能快速求解。
【难度系数】
0.75

7. 一列火车匀速通过隧道,从车头进入隧道口到车尾离开隧道共需45秒,当整列火车在隧道里时需33秒,若车身长为180米,求隧道的长度.

设隧道长$x$米,由题意得$\frac{x+180}{45}=\frac{x-180}{33}$,解得$x=1170$.
答:隧道的长度是1170米.

【分析】
解题的关键是抓住火车匀速行驶时速度不变这个等量关系。首先明确两种场景下火车行驶的路程：①从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车行驶的总路程等于隧道长度加车身长度，对应用时45秒；②整列火车在隧道里时，火车行驶的路程等于隧道长度减车身长度，对应用时33秒。再根据“速度=路程÷时间”分别表示两种场景下火车的速度，令二者相等即可列出方程求解。
【解析】
解：设隧道的长度为$x$米。
因为火车匀速行驶，两种情况的速度相等，据此列方程：
$\frac{x+180}{45}=\frac{x-180}{33}$
去分母，两边同时乘45和33的最小公倍数495，得：
$11(x+180)=15(x-180)$
去括号，得：
$11x + 1980 = 15x - 2700$
移项、合并同类项，得：
$4x = 4680$
系数化为1，得：
$x = 1170$
【答案】
隧道的长度是1170米。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；去分母解方程
【点评】
本题是火车过隧道类的典型行程问题，解题核心是准确辨析不同行驶状态下火车的实际行驶路程，抓住速度不变的隐含等量关系列方程，能够很好地考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7

8. 某同学在解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-1$去分母时，方程右边的-1忘记了乘3，因而求得方程的解为$x=2$，则原方程的解为（）

A.$x=0$
B.$x=-1$
C.$x=2$
D.$x=-2$

解：
(1) 因为$(±12)^2 = 144$，所以144的平方根是$±12$，即$±\sqrt{144}=±12$。
(2) 因为$(±\sqrt{10})^2 = 10$，所以10的平方根是$±\sqrt{10}$。
(3) 先计算得$(-5)^2=25$，因为$(±5)^2=25$，所以$(-5)^2$的平方根是$±5$，即$±\sqrt{(-5)^2}=±5$。

【分析】
解题时首先明确：该同学去分母时仅漏乘了方程右侧的-1，方程中的参数a没有错误，且他求得的x=2是他所解的错误方程的正确解。因此我们可以先将x=2代入错误去分母得到的方程，求出参数a的值，再将a代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤求解即可得到原方程的解。
【解析】
第一步：根据该同学的错误操作，写出错误去分母后得到的方程：
去分母时右边的-1未乘3，因此得到方程：$2x-1 = x + a - 1$
第二步：将错误解$x=2$代入上述方程，求a的值：
把$x=2$代入得：$4 - 1 = 2 + a - 1$
计算得：$3 = a + 1$，解得$a=2$
第三步：将$a=2$代入原方程，正确求解：
原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{3}-1$
两边同时乘3去分母得：$2x - 1 = x + 2 - 3$
移项得：$2x - x = 2 - 3 + 1$
合并同类项得：$x=0$
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程；一元一次方程的解的应用
【点评】
本题重点考查解一元一次方程中去分母的易错点，解题的核心是利用错误操作得到的解先求出未知参数a，再求解原方程，注意去分母时所有项都要乘公分母，常数项不要漏乘。
【难度系数】
0.7

9. 已知整数$a$使关于$x$的方程$x - \frac{2 - ax}{4} = \frac{x + 2}{2} - 1$有整数解，则符合条件的所有$a$值的和为（）

A.$-8$
B.$-4$
C.$-7$
D.$-1$

A 解析:$x-\frac{2-ax}{4}=\frac{x+2}{2}-1$,去分母,得$4x-(2-ax)=2(x+2)-4$,去括号,得$4x-2+ax=2x+4-4$,移项,得$4x+ax-2x=4-4+2$,合并同类项,得$(2+a)x=2$,当$2+a≠0$时,$x=\frac{2}{2+a}$.因为整数$a$使关于$x$的方程$x-\frac{2-ax}{4}=\frac{x+2}{2}-1$有整数解,所以$2+a=1$或$2+a=-1$或$2+a=-2$或$2+a=2$,解得$a=-1$或$a=-3$或$a=-4$或$a=0$,则符合条件的所有$a$值的和为$-1+(-3)+(-4)+0=-8$,故选 A.

【分析】
要解决这道题，首先把a当作常数，按照解一元一次方程的常规步骤求出x的表达式，再结合“a是整数、方程的解x也是整数”的条件，分析x表达式中分母的可能取值，注意分母不能为0，最后把所有符合条件的a值相加即可得到结果。
【解析】
先解关于x的方程$x - \frac{2 - ax}{4} = \frac{x + 2}{2} - 1$：
1. 去分母，两边同时乘4，得：$4x-(2-ax)=2(x+2)-4$
2. 去括号，得：$4x-2+ax=2x+4-4$
3. 移项，得：$4x+ax-2x=4-4+2$
4. 合并同类项，得：$(2+a)x=2$
当$2+a≠0$时，系数化为1得：$x=\frac{2}{2+a}$
因为a是整数，且方程的解x也是整数，所以$2+a$是2的整数因数，即$2+a$的可能取值为$\pm1、\pm2$：
若$2+a=1$，解得$a=-1$
若$2+a=-1$，解得$a=-3$
若$2+a=2$，解得$a=0$
若$2+a=-2$，解得$a=-4$
将所有符合条件的a值相加：$-1+(-3)+0+(-4)=-8$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解法；含参一元一次方程整数解
【点评】
本题解题核心是先正确求解含参数的一元一次方程，得到用参数表示的方程解，再结合整数的性质确定参数的所有可能取值，注意不要遗漏负因数的情况，同时要保证一次项系数不为0，方程有解。
【难度系数】
0.6

10. 相传有个人因为不讲究说话艺术常引起误会.一天他摆宴席请客,他看到还有几个人没来,就自言自语:“怎么该来的还不来呢?”客人听了,心想难道我们是不该来的,于是有一半的客人走了,他一看十分着急,又说:“不该走的倒走了!”剩下的人一听,是我们该走啊!又有剩下的$\frac{2}{3}$的人离开了,他着急地一拍大腿,连说:“我说的不是他们.”于是最后剩下的四个人也都告辞走了,则刚开始来的客人有 ()

A.24人
B.18人
C.16人
D.15人

C

根据平方根的定义，若$x^2=64$，则$x$是64的平方根。因为$(\pm8)^2=64$，所以64的平方根是$\pm8$。