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11. 新题型 新定义（2025·南京期末）我们称能使$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$成立的一对数$m,n$为“相伴数对”，记为$(m,n)$，若$(x,3)$是“相伴数对”，则$x$的值为
$-\frac{4}{3}$
。答案
C
解析
先计算$(-0.6)^2=0.36$，根据平方根的定义，若一个数的平方等于a，这个数就是a的平方根，可得$(±0.6)^2=0.36$，因此$(-0.6)^2$的平方根是$±0.6$。
12. (2025·重庆期末)若关于x的一元一次方程$a+x=b(a≠0)$的解为$x=\dfrac{b}{a}$，则称该方程为“商解方程”，则“商解方程”$4+x=2(5−m)$中m的值为
$\frac{7}{3}$
。答案
B
解析
根据平方根的性质逐一判断：
1. 选项A：若a存在平方根，则a≥0，a可以为0，故A错误；
2. 选项B：正数有两个不相等的互为相反数的平方根，0只有一个平方根为0，负数没有平方根，因此若a有两个不相等的平方根，则a＞0，故B正确；
3. 选项C：1的平方根是±1，不等于1，只有0的平方根是它本身0，因此a的值只能是0，故C错误；
4. 选项D：若a＞0，则a的平方根有两个，一正一负，负的平方根小于0，故D错误。
1. 选项A：若a存在平方根，则a≥0，a可以为0，故A错误；
2. 选项B：正数有两个不相等的互为相反数的平方根，0只有一个平方根为0，负数没有平方根，因此若a有两个不相等的平方根，则a＞0，故B正确；
3. 选项C：1的平方根是±1，不等于1，只有0的平方根是它本身0，因此a的值只能是0，故C错误；
4. 选项D：若a＞0，则a的平方根有两个，一正一负，负的平方根小于0，故D错误。
13. 解下列方程:
(1)$x-\dfrac{10x+1}{6}=\dfrac{2x+1}{4}-1$;
(2)$\dfrac{0.3x+0.8}{0.5}-\dfrac{0.02x+0.3}{0.3}-1=\dfrac{0.8x-0.4}{3}$.
(1)$x-\dfrac{10x+1}{6}=\dfrac{2x+1}{4}-1$;
(2)$\dfrac{0.3x+0.8}{0.5}-\dfrac{0.02x+0.3}{0.3}-1=\dfrac{0.8x-0.4}{3}$.
答案
(1)$x-\frac{10x+1}{6}=\frac{2x+1}{4}-1$,去分母,得$12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12$,去括号,得$12x-20x-2=6x+3-12$,移项,得$12x-20x-6x=3-12+2$,合并同类项,得$-14x=-7$,解得$x=\frac{1}{2}$.
(2)原方程可化为$\frac{3x+8}{5}-\frac{2x+30}{30}-1=\frac{8x-4}{30}$,去分母,得$6(3x+8)-(2x+30)-30=8x-4$,整理得$8x=8$,解得$x=1$.
(2)原方程可化为$\frac{3x+8}{5}-\frac{2x+30}{30}-1=\frac{8x-4}{30}$,去分母,得$6(3x+8)-(2x+30)-30=8x-4$,整理得$8x=8$,解得$x=1$.
解析
【分析】
这两道题都是含分数系数的一元一次方程，解题核心是消去分母转化为整式方程求解。第(1)题是普通分数系数方程，先找到分母6和4的最小公倍数12，方程两边同时乘12去分母，注意常数项-1也要乘12，不能漏乘，之后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。第(2)题分母含小数，先利用分数的基本性质，将每个分数的分子分母同乘合适的数把小数分母转化为整数，再找所有分母的最小公倍数去分母，后续步骤和第(1)题一致，注意化小数分母时不要和去分母的步骤混淆，同样不能漏乘常数项。
【解析】
(1) 解方程$x-\dfrac{10x+1}{6}=\dfrac{2x+1}{4}-1$：
去分母（两边同乘12），得$12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12$
去括号，得$12x-20x-2=6x+3-12$
移项，得$12x-20x-6x=3-12+2$
合并同类项，得$-14x=-7$
系数化为1，得$x=\dfrac{1}{2}$
(2) 解方程$\dfrac{0.3x+0.8}{0.5}-\dfrac{0.02x+0.3}{0.3}-1=\dfrac{0.8x-0.4}{3}$：
利用分数基本性质化小数分母为整数，原方程可化为$\dfrac{3x+8}{5}-\dfrac{2x+30}{30}-1=\dfrac{8x-4}{30}$
去分母（两边同乘30），得$6(3x+8)-(2x+30)-30=8x-4$
整理得$18x+48-2x-30-30=8x-4$，即$8x=8$
系数化为1，得$x=1$
【答案】
(1) $x=\dfrac{1}{2}$；(2) $x=1$
【知识点】
一元一次方程的解法、去分母、分数的基本性质
【点评】
这两道是去分母解一元一次方程的常规典型题，重点考查去分母时不漏乘不含分母的项、小数分母化整数的运算规则，计算时注意符号处理，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
这两道题都是含分数系数的一元一次方程，解题核心是消去分母转化为整式方程求解。第(1)题是普通分数系数方程，先找到分母6和4的最小公倍数12，方程两边同时乘12去分母，注意常数项-1也要乘12，不能漏乘，之后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。第(2)题分母含小数，先利用分数的基本性质，将每个分数的分子分母同乘合适的数把小数分母转化为整数，再找所有分母的最小公倍数去分母，后续步骤和第(1)题一致，注意化小数分母时不要和去分母的步骤混淆，同样不能漏乘常数项。
【解析】
(1) 解方程$x-\dfrac{10x+1}{6}=\dfrac{2x+1}{4}-1$：
去分母（两边同乘12），得$12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12$
去括号，得$12x-20x-2=6x+3-12$
移项，得$12x-20x-6x=3-12+2$
合并同类项，得$-14x=-7$
系数化为1，得$x=\dfrac{1}{2}$
(2) 解方程$\dfrac{0.3x+0.8}{0.5}-\dfrac{0.02x+0.3}{0.3}-1=\dfrac{0.8x-0.4}{3}$：
利用分数基本性质化小数分母为整数，原方程可化为$\dfrac{3x+8}{5}-\dfrac{2x+30}{30}-1=\dfrac{8x-4}{30}$
去分母（两边同乘30），得$6(3x+8)-(2x+30)-30=8x-4$
整理得$18x+48-2x-30-30=8x-4$，即$8x=8$
系数化为1，得$x=1$
【答案】
(1) $x=\dfrac{1}{2}$；(2) $x=1$
【知识点】
一元一次方程的解法、去分母、分数的基本性质
【点评】
这两道是去分母解一元一次方程的常规典型题，重点考查去分母时不漏乘不含分母的项、小数分母化整数的运算规则，计算时注意符号处理，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
14. (2025·重庆期末)甲、乙周末骑自行车去郊外游玩,甲从A地出发沿直线匀速前往B地,乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地,甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/时,他们出发30分钟后,甲追上乙.
(1)求甲和乙的速度;
(2)若甲追上乙后,甲的速度立即提高8千米/时快速到达B地,到达B地后休息18分钟,再沿原路以提速后的速度返回,乙仍按原速前往B地,结果两人在距离B地2千米处再次相遇,求A,B两地的距离.
(1)求甲和乙的速度;
(2)若甲追上乙后,甲的速度立即提高8千米/时快速到达B地,到达B地后休息18分钟,再沿原路以提速后的速度返回,乙仍按原速前往B地,结果两人在距离B地2千米处再次相遇,求A,B两地的距离.
答案
解：
(1) 系数化为1，得
$x^2 = \frac{121}{4}$
两边同时开平方，得
$x = \pm \sqrt{\frac{121}{4}} = \pm \frac{11}{2}$
所以$x_1 = \frac{11}{2}$，$x_2 = -\frac{11}{2}$。
(2) 两边同时开平方，得
$x + 2 = \pm 5$
当$x + 2 = 5$时，解得$x = 3$；
当$x + 2 = -5$时，解得$x = -7$。
所以$x_1 = 3$，$x_2 = -7$。
(1) 系数化为1，得
$x^2 = \frac{121}{4}$
两边同时开平方，得
$x = \pm \sqrt{\frac{121}{4}} = \pm \frac{11}{2}$
所以$x_1 = \frac{11}{2}$，$x_2 = -\frac{11}{2}$。
(2) 两边同时开平方，得
$x + 2 = \pm 5$
当$x + 2 = 5$时，解得$x = 3$；
当$x + 2 = -5$时，解得$x = -7$。
所以$x_1 = 3$，$x_2 = -7$。
解析
【分析】
(1) 本题属于行程中的追及问题，解题关键是明确追及时的路程等量关系。首先统一时间单位，30分钟换算为$\frac{1}{2}$小时，设乙的速度为$x$千米/时，根据题意可将甲的速度表示为$(2x-8)$千米/时；追及发生时甲行驶的路程等于乙行驶的路程加上出发前两人相差的1千米，据此列一元一次方程求解即可。
(2) 本题属于相遇类行程问题，首先计算甲提速后的速度，以及第一次相遇时甲已经行驶的路程；从第一次追上到再次相遇，两人的运动总时间相等：甲的总时间为“（相遇点到B地的路程+返回的2千米）÷提速后的速度 + 休息的18分钟（换算为小时）”，乙的总时间为“（相遇点到B地的路程-2千米）÷乙的原速”，根据时间相等列方程求解即可，注意全程统一时间单位。
【解析】
(1) 设乙的速度为$x$千米/时，则甲的速度为$(2x-8)$千米/时，$30\mathrm{分钟}=\frac{1}{2}\mathrm{小时}$。
根据追及时等量关系：甲的路程=乙的路程+1千米，列方程：
$\frac{1}{2}(2x-8)=1+\frac{1}{2}x$
去括号得：$x-4=1+\frac{1}{2}x$
移项、合并同类项得：$\frac{1}{2}x=5$
系数化为1得：$x=10$
则甲的速度为$2x-8=2×10-8=12$（千米/时）。
(2) 设A、B两地的距离是$y$千米，甲提速后的速度为$12+8=20$（千米/时），$18\mathrm{分钟}=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}\mathrm{小时}$。
第一次相遇时，甲骑行的路程为$12×\frac{1}{2}=6$（千米），即相遇点距离A地6千米。
从第一次追上到再次相遇，两人运动总时间相等，列方程：
$\frac{y-6+2}{20}+\frac{3}{10}=\frac{y-6-2}{10}$
两边同乘20去分母得：$y-4+6=2(y-8)$
去括号得：$y+2=2y-16$
移项、合并同类项得：$-y=-18$
系数化为1得：$y=18$。
【答案】
(1) 甲的速度为12千米/时，乙的速度为10千米/时；
(2) A、B两地的距离是18千米。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 追及问题
3. 相遇问题
【点评】
本题是行程问题的综合应用，核心是找准不同运动阶段路程、速度、时间的对应关系，抓住追及、相遇过程中的等量关系列方程，解题时要注意时间单位的统一，避免因单位不统一导致计算错误。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于行程中的追及问题，解题关键是明确追及时的路程等量关系。首先统一时间单位，30分钟换算为$\frac{1}{2}$小时，设乙的速度为$x$千米/时，根据题意可将甲的速度表示为$(2x-8)$千米/时；追及发生时甲行驶的路程等于乙行驶的路程加上出发前两人相差的1千米，据此列一元一次方程求解即可。
(2) 本题属于相遇类行程问题，首先计算甲提速后的速度，以及第一次相遇时甲已经行驶的路程；从第一次追上到再次相遇，两人的运动总时间相等：甲的总时间为“（相遇点到B地的路程+返回的2千米）÷提速后的速度 + 休息的18分钟（换算为小时）”，乙的总时间为“（相遇点到B地的路程-2千米）÷乙的原速”，根据时间相等列方程求解即可，注意全程统一时间单位。
【解析】
(1) 设乙的速度为$x$千米/时，则甲的速度为$(2x-8)$千米/时，$30\mathrm{分钟}=\frac{1}{2}\mathrm{小时}$。
根据追及时等量关系：甲的路程=乙的路程+1千米，列方程：
$\frac{1}{2}(2x-8)=1+\frac{1}{2}x$
去括号得：$x-4=1+\frac{1}{2}x$
移项、合并同类项得：$\frac{1}{2}x=5$
系数化为1得：$x=10$
则甲的速度为$2x-8=2×10-8=12$（千米/时）。
(2) 设A、B两地的距离是$y$千米，甲提速后的速度为$12+8=20$（千米/时），$18\mathrm{分钟}=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}\mathrm{小时}$。
第一次相遇时，甲骑行的路程为$12×\frac{1}{2}=6$（千米），即相遇点距离A地6千米。
从第一次追上到再次相遇，两人运动总时间相等，列方程：
$\frac{y-6+2}{20}+\frac{3}{10}=\frac{y-6-2}{10}$
两边同乘20去分母得：$y-4+6=2(y-8)$
去括号得：$y+2=2y-16$
移项、合并同类项得：$-y=-18$
系数化为1得：$y=18$。
【答案】
(1) 甲的速度为12千米/时，乙的速度为10千米/时；
(2) A、B两地的距离是18千米。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 追及问题
3. 相遇问题
【点评】
本题是行程问题的综合应用，核心是找准不同运动阶段路程、速度、时间的对应关系，抓住追及、相遇过程中的等量关系列方程，解题时要注意时间单位的统一，避免因单位不统一导致计算错误。
【难度系数】
0.6
15. 已知关于$x$的方程$\frac{3x+a}{12} - \frac{1-5x}{8} = 1$与方程$3[x - 2(x - \frac{a}{3})] = 4x$有相同的解，试求出这个相同的解.
答案
由方程$\frac{3x+a}{12}-\frac{1-5x}{8}=1$,得$x=\frac{27-2a}{21}$,
由方程$3[x-2(x-\frac{a}{3})]=4x$,得$x=\frac{2}{7}a$.
又这两个方程的解相同,则$\frac{27-2a}{21}=\frac{2}{7}a$,解得$a=\frac{27}{8}$.
将$a=\frac{27}{8}$代入$x=\frac{2}{7}a$中,得$x=\frac{27}{28}$.
由方程$3[x-2(x-\frac{a}{3})]=4x$,得$x=\frac{2}{7}a$.
又这两个方程的解相同,则$\frac{27-2a}{21}=\frac{2}{7}a$,解得$a=\frac{27}{8}$.
将$a=\frac{27}{8}$代入$x=\frac{2}{7}a$中,得$x=\frac{27}{28}$.
解析
【分析】
遇到两个方程同解的问题，可按以下思路求解：第一步，分别解两个方程，把未知数x用含参数a的代数式表示出来；第二步，根据“两个方程的解相同”，令两个表示x的代数式相等，得到关于a的一元一次方程，求出a的值；第三步，把a的值回代到任意一个表示x的代数式中，即可求出相同的解。其中解第一个带分母的方程时，先去分母，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算；解第二个带括号的方程时，先逐层去括号，再整理求解。
【解析】
1. 解方程$\frac{3x+a}{12} - \frac{1-5x}{8} = 1$：
两边同时乘24（12和8的最小公倍数）去分母，得：
$2(3x+a) - 3(1-5x) = 24$
去括号，得：
$6x + 2a - 3 + 15x = 24$
合并同类项，得：
$21x + 2a - 3 = 24$
移项整理，得：
$21x = 27 - 2a$
系数化为1，得：
$x = \frac{27 - 2a}{21}$
2. 解方程$3[x - 2(x - \frac{a}{3})] = 4x$：
先去小括号，得：
$3[x - 2x + \frac{2a}{3}] = 4x$
合并中括号内的同类项，得：
$3(-x + \frac{2a}{3}) = 4x$
去中括号，得：
$-3x + 2a = 4x$
移项、合并同类项，得：
$7x = 2a$
系数化为1，得：
$x = \frac{2}{7}a$
3. 因为两个方程的解相同，所以：
$\frac{27 - 2a}{21} = \frac{2}{7}a$
两边同时乘21去分母，得：
$27 - 2a = 6a$
移项、合并同类项，得：
$8a = 27$
解得$a = \frac{27}{8}$
4. 将$a = \frac{27}{8}$代入$x = \frac{2}{7}a$，得：
$x = \frac{2}{7} × \frac{27}{8} = \frac{27}{28}$
【答案】
$\frac{27}{28}$
【知识点】
解一元一次方程，同解方程的性质，去括号与去分母法则
【点评】
本题是同解方程的典型题型，核心是通过用参数表示两个方程的解，利用解相等建立参数方程求解，既考察一元一次方程的基本运算能力，也考察对同解概念的理解，计算时注意去分母、去括号的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
遇到两个方程同解的问题，可按以下思路求解：第一步，分别解两个方程，把未知数x用含参数a的代数式表示出来；第二步，根据“两个方程的解相同”，令两个表示x的代数式相等，得到关于a的一元一次方程，求出a的值；第三步，把a的值回代到任意一个表示x的代数式中，即可求出相同的解。其中解第一个带分母的方程时，先去分母，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算；解第二个带括号的方程时，先逐层去括号，再整理求解。
【解析】
1. 解方程$\frac{3x+a}{12} - \frac{1-5x}{8} = 1$：
两边同时乘24（12和8的最小公倍数）去分母，得：
$2(3x+a) - 3(1-5x) = 24$
去括号，得：
$6x + 2a - 3 + 15x = 24$
合并同类项，得：
$21x + 2a - 3 = 24$
移项整理，得：
$21x = 27 - 2a$
系数化为1，得：
$x = \frac{27 - 2a}{21}$
2. 解方程$3[x - 2(x - \frac{a}{3})] = 4x$：
先去小括号，得：
$3[x - 2x + \frac{2a}{3}] = 4x$
合并中括号内的同类项，得：
$3(-x + \frac{2a}{3}) = 4x$
去中括号，得：
$-3x + 2a = 4x$
移项、合并同类项，得：
$7x = 2a$
系数化为1，得：
$x = \frac{2}{7}a$
3. 因为两个方程的解相同，所以：
$\frac{27 - 2a}{21} = \frac{2}{7}a$
两边同时乘21去分母，得：
$27 - 2a = 6a$
移项、合并同类项，得：
$8a = 27$
解得$a = \frac{27}{8}$
4. 将$a = \frac{27}{8}$代入$x = \frac{2}{7}a$，得：
$x = \frac{2}{7} × \frac{27}{8} = \frac{27}{28}$
【答案】
$\frac{27}{28}$
【知识点】
解一元一次方程，同解方程的性质，去括号与去分母法则
【点评】
本题是同解方程的典型题型，核心是通过用参数表示两个方程的解，利用解相等建立参数方程求解，既考察一元一次方程的基本运算能力，也考察对同解概念的理解，计算时注意去分母、去括号的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
16. 已知关于$y$的方程$\frac{by - 3}{3} = \frac{a - y}{2}$的解是$y=2$，则式子$\frac{a}{4} - \frac{b}{3} + 2[5a - 4(2a - b)]$的值为
0
。答案
5或-5
解析
由平方根的定义，因为$a^2=4$，所以$a=\pm2$；由$b^2=9$，得$b=\pm3$。
已知$ab＜0$，说明$a$、$b$异号，分两种情况：
1. 当$a=2$时，$b=-3$，此时$a-b=2-(-3)=5$；
2. 当$a=-2$时，$b=3$，此时$a-b=-2-3=-5$。
综上，$a-b$的值为$5$或$-5$。
已知$ab＜0$，说明$a$、$b$异号，分两种情况：
1. 当$a=2$时，$b=-3$，此时$a-b=2-(-3)=5$；
2. 当$a=-2$时，$b=3$，此时$a-b=-2-3=-5$。
综上，$a-b$的值为$5$或$-5$。
17. 改编题 对于三个数$a,b,c$，我们规定用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的平均数，用$\min\{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数。例如：$M\{-1,2,3\} = \frac{-1+2+3}{3} = \frac{4}{3}$，$\min\{-1,2,3\}=-1$。如果$M\{3,2x+1,4x-1\} = \min\{2,-x+3,5x\}$，求$x$的值。
答案
$M\{3,2x+1,4x-1\}=\min\{2,-x+3,5x\}$,分三种情况讨论:
①若$\frac{1}{3}(3+2x+1+4x-1)=2$,则$x=\frac{1}{2}$(符合题意).②若$\frac{1}{3}(3+2x+1+4x-1)=-x+3$,则$x=\frac{2}{3}$($-x+3$不是三个数中最小的数,不符合题意).③若$\frac{1}{3}(3+2x+1+4x-1)=5x$,则$x=\frac{1}{3}$(符合题意).综上,$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$.
①若$\frac{1}{3}(3+2x+1+4x-1)=2$,则$x=\frac{1}{2}$(符合题意).②若$\frac{1}{3}(3+2x+1+4x-1)=-x+3$,则$x=\frac{2}{3}$($-x+3$不是三个数中最小的数,不符合题意).③若$\frac{1}{3}(3+2x+1+4x-1)=5x$,则$x=\frac{1}{3}$(符合题意).综上,$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
首先根据题目给出的平均数定义$M\{a,b,c\}$，先计算出$M\{3,2x+1,4x-1\}$的最简表达式。因为等式右边是三个数中的最小值$\min\{2,-x+3,5x\}$，说明平均数恰好等于这三个数里最小的那个，因此需要分三种情况讨论：分别假设2、$-x+3$、$5x$是三个数中的最小值，令其等于平均数列一元一次方程求解，最后验证求出的$x$是否满足“假设的数是最小值”的条件，不符合的舍去，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：先计算三个数的平均数
$M\{3,2x+1,4x-1\}=\frac{3+2x+1+4x-1}{3}=\frac{6x+3}{3}=2x+1$
根据题意得$2x+1=\min\{2,-x+3,5x\}$，分三种情况讨论：
① 假设$\min\{2,-x+3,5x\}=2$，则：
$2x+1=2$
解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$-x+3=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$，$5x=\frac{5}{2}$，三个数为$2,\frac{5}{2},\frac{5}{2}$，最小数为2，符合题意。
② 假设$\min\{2,-x+3,5x\}=-x+3$，则：
$2x+1=-x+3$
移项得$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$
检验：当$x=\frac{2}{3}$时，$-x+3=\frac{7}{3}$，$5x=\frac{10}{3}$，三个数为$2,\frac{7}{3},\frac{10}{3}$，最小数为2，不是$-x+3$，不符合题意，舍去。
③ 假设$\min\{2,-x+3,5x\}=5x$，则：
$2x+1=5x$
移项得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$-x+3=\frac{8}{3}$，$5x=\frac{5}{3}$，三个数为$2,\frac{8}{3},\frac{5}{3}$，最小数为$\frac{5}{3}=5x$，符合题意。
综上，符合条件的$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$。
【答案】
$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的应用，解题核心是准确理解新定义的规则，根据最小值的含义分类列方程，求解后必须检验结果是否符合“最小值”的要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
首先根据题目给出的平均数定义$M\{a,b,c\}$，先计算出$M\{3,2x+1,4x-1\}$的最简表达式。因为等式右边是三个数中的最小值$\min\{2,-x+3,5x\}$，说明平均数恰好等于这三个数里最小的那个，因此需要分三种情况讨论：分别假设2、$-x+3$、$5x$是三个数中的最小值，令其等于平均数列一元一次方程求解，最后验证求出的$x$是否满足“假设的数是最小值”的条件，不符合的舍去，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：先计算三个数的平均数
$M\{3,2x+1,4x-1\}=\frac{3+2x+1+4x-1}{3}=\frac{6x+3}{3}=2x+1$
根据题意得$2x+1=\min\{2,-x+3,5x\}$，分三种情况讨论：
① 假设$\min\{2,-x+3,5x\}=2$，则：
$2x+1=2$
解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$-x+3=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$，$5x=\frac{5}{2}$，三个数为$2,\frac{5}{2},\frac{5}{2}$，最小数为2，符合题意。
② 假设$\min\{2,-x+3,5x\}=-x+3$，则：
$2x+1=-x+3$
移项得$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$
检验：当$x=\frac{2}{3}$时，$-x+3=\frac{7}{3}$，$5x=\frac{10}{3}$，三个数为$2,\frac{7}{3},\frac{10}{3}$，最小数为2，不是$-x+3$，不符合题意，舍去。
③ 假设$\min\{2,-x+3,5x\}=5x$，则：
$2x+1=5x$
移项得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$-x+3=\frac{8}{3}$，$5x=\frac{5}{3}$，三个数为$2,\frac{8}{3},\frac{5}{3}$，最小数为$\frac{5}{3}=5x$，符合题意。
综上，符合条件的$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$。
【答案】
$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的应用，解题核心是准确理解新定义的规则，根据最小值的含义分类列方程，求解后必须检验结果是否符合“最小值”的要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
