10. 一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是7,若把这个两位数加上45后,结果恰好成为数字对调后组成的两位数,则这个两位数是（）

A.25
B.16
C.34
D.61

解：
根据算术平方根的定义，若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根。
∵4² = 16，
∴√16 = 4。

【分析】
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；其次根据“十位数字与个位数字的和是7”，可以设十位数字为未知数，个位数字用含未知数的式子表示；再找到核心等量关系：原两位数+45=数字对调后得到的新两位数，代入数位表达式列出方程；最后解方程求出未知数即可得到这个两位数，也可以直接将选项代入验证快速得到答案。
【解析】
方法一（方程法）：
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为$10x + (7 - x)$，数字对调后的新两位数可表示为$10(7 - x) + x$。
根据题意列方程：
$10x + 7 - x + 45 = 10(7 - x) + x$
化简左边得：$9x + 52$
去括号化简右边得：$70 - 9x$
移项合并同类项得：$18x = 18$
系数化为1得：$x=1$
则个位数字为$7 - 1 = 6$，所以这个两位数是16。
方法二（代入验证法）：
A. $25+45=70$，不是25对调后的52，排除；
B. $16+45=61$，恰好是16对调后的两位数，符合题意；
C. $34+45=79$，不是34对调后的43，排除；
D. $61+45=106$，不是两位数，也不是61对调后的16，排除。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，两位数的表示，去括号解方程
【点评】
本题是基础的方程类应用题，核心是掌握多位数的数位表示规则，准确找到题目中的等量关系列方程求解，也可以通过代入选项的方法快速得出结果，是巩固一元一次方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.8

11. 一只小船从甲港到乙港逆流航行需要2小时,水流速度增加一倍后,再从甲港到乙港航行需要3小时,水流速度增加后,从乙港返回甲港需要航行的时间为 ()

A.0.5小时
B.1小时
C.1.2小时
D.1.5小时

解：
(1) 先计算得$\sqrt{25}=5$，
$\because (\sqrt{5})^2=5$，
$\therefore \sqrt{25}$的算术平方根是$\sqrt{5}$。
(2) $\because (\sqrt{13})^2=13$，
$\therefore 13$的算术平方根是$\sqrt{13}$。
(3) $\because (\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$，
$\therefore \frac{9}{25}$的算术平方根是$\frac{3}{5}$。
(4) $\because (10^{-3})^2=10^{-6}$，
$\therefore 10^{-6}$的算术平方根是$10^{-3}$（即$\frac{1}{1000}$）。

【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题核心是抓住甲港到乙港的总路程始终不变这一隐含条件。首先明确流水行船的速度公式：逆水航行速度=船在静水中的速度-水流速度，顺水航行速度=船在静水中的速度+水流速度。我们可以先设船在静水中的速度和原水流速度两个未知量，根据两次逆流航行的路程相等列方程，求出船在静水中的速度和水流速度的数量关系，再用总路程除以水流加倍后的顺水航行速度，即可求出返回所需时间，计算过程中未知的水流速度会自然消去，不需要求出具体数值。
【解析】
设小船在静水中的速度为$x$千米/时，原来的水流速度为$y$千米/时。
甲港到乙港的路程固定，两次逆流航行的路程相等，据此列方程：
$2(x-y)=3(x-2y)$
去括号得：$2x - 2y = 3x - 6y$
移项合并同类项得：$x = 4y$
水流速度增加后，从乙港返回甲港是顺水航行，顺水速度为$x+2y$，总路程为$2(x-y)$，因此所需时间为：
$\frac{2(x-y)}{x+2y}=\frac{2(4y - y)}{4y + 2y}=\frac{6y}{6y}=1$（小时）
【答案】
B
【知识点】
流水行船行程问题；列方程解应用题；去括号运算
【点评】
本题解题的关键是抓住两港之间路程不变的隐含条件，通过设参数建立等量关系，求出静水速度和水流速度的关系后即可求解，计算过程中参数会自动消去，无需算出参数的具体值，很好地考查了行程公式的应用和方程运算能力。
【难度系数】
0.6

12. 已知关于x的方程$3a(x+2)=(2b-1)x+1$有无数个解，则$ab=$.

12. $\frac{1}{8}$ 解析:将方程$3a(x+2)=(2b-1)x+1$化简得$(3a-2b+1)x=1-6a$,根据题意得$3a-2b+1=0$且$1-6a=0$,解得$a=\frac{1}{6},b=\frac{3}{4}$,所以$ab=\frac{1}{6}×\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$.

【分析】
解决本题首先需要回忆一元一次方程$ax=b$的解的判定规则：当$a≠0$时，方程有唯一解；当$a=0$且$b≠0$时，方程无解；当$a=0$且$b=0$时，无论$x$取何值等式都成立，方程有无数个解。解题时先将原方程通过去括号、移项、合并同类项整理为$ax=b$的标准形式，再根据方程有无数解的条件，令$x$的系数和常数项均为0，列方程求出$a$、$b$的值，最后计算$ab$即可。
【解析】
解：对原方程去括号，得：
$3ax + 6a = (2b-1)x + 1$
移项，将含$x$的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，得：
$3ax - (2b-1)x = 1 - 6a$
合并同类项，得：
$(3a - 2b + 1)x = 1 - 6a$
$\because$ 方程有无数个解
$\therefore$ $x$的系数和右侧常数项均为0，即：
$\begin{cases}3a - 2b + 1 = 0 \\1 - 6a = 0\end{cases}$
解$1-6a=0$，得$a=\frac{1}{6}$；
将$a=\frac{1}{6}$代入$3a - 2b + 1 = 0$，得：
$3×\frac{1}{6} - 2b + 1 = 0$
化简得$2b=\frac{3}{2}$，解得$b=\frac{3}{4}$。
$\therefore ab=\frac{1}{6}×\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元一次方程解的判定
2. 去括号运算
3. 代数式求值
【点评】
本题是含参一元一次方程解的判定类典型题，解题核心是熟练掌握一元一次方程不同解的情况对应的参数条件，计算时注意细心，避免参数求解错误。
【难度系数】
0.7

13. 规定:若两个一元一次方程所含未知数相同,并且其中一个方程的解是另一个方程解的2倍,则这个方程叫作另一个方程的倍解方程.如:一元一次方程$x+7=17$的解是$x=10,2x=10$的解是$x=5,10$是5的2倍,因此一元一次方程$x+7=17$是$2x=10$的倍解方程.已知关于$x$的一元一次方程$ax-7=5$是$3(x+1)-4=11-x$的倍解方程,则$a$的值为.

解：(1) $\because \sqrt{x-20} ≥ 0$，$|y-5| ≥ 0$，且$\sqrt{x - 20} + |y - 5| = 0$，
$\therefore x - 20 = 0$，$y - 5 = 0$，
解得 $x = 20$，$y = 5$；
(2) 由(1)可得，
$\sqrt{x+y} = \sqrt{20+5} = \sqrt{25} = 5$。

【分析】
本题是新定义类问题，解题思路如下：首先要准确理解“倍解方程”的定义，明确两个方程解的倍数关系；第一步先求解不含参数的一元一次方程$3(x+1)-4=11-x$，得到它的解；再根据“$ax-7=5$是该方程的倍解方程”，可知$ax-7=5$的解是刚才求得的解的2倍，得到$ax-7=5$的解；最后将该解代入含参数$a$的方程，即可求出$a$的值。
【解析】
第一步：求解方程$3(x+1)-4=11-x$
去括号，得：$3x+3-4=11-x$
移项，得：$3x+x=11-3+4$
合并同类项，得：$4x=12$
系数化为1，得：$x=3$
第二步：根据倍解方程的定义，方程$ax-7=5$的解是$3×2=6$
第三步：将$x=6$代入$ax-7=5$，得：
$6a-7=5$
移项，得：$6a=5+7$
计算得：$6a=12$
系数化为1，得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义问题
【点评】
本题解题的核心是正确理解倍解方程的含义，注意不要搞混两个方程解的倍数关系，解题过程主要考察一元一次方程的求解能力，整体思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8

14. 解下列方程:
(1) $2x - \frac{1}{2}[x - \frac{1}{2}(x - 1)] = \frac{2}{3}(x - 1)$；
(2) $\frac{4}{3}[\frac{3}{2}(\frac{x}{2} - 1) - 3] - 2x = 3$。

14. (1)原方程化简得$\frac{13}{12}x=-\frac{5}{12}$,解得$x=-\frac{5}{13}$.
(2)原方程去括号,得$x-2-4-2x=3$,解得$x=-9$.

【分析】
这两道是含多层括号的一元一次方程，解题思路为：先根据括号前系数的特点选择合适的去括号顺序（可从内到外或从外到内去括号，简化计算），再通过移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解。第(1)题适合先逐层去括号再合并计算；第(2)题外层系数与内层系数互为倒数，从外层去括号可直接消去分数，降低计算量。
【解析】
(1) 先逐层去括号并整理：
原式去小括号得：
$2x - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$
合并中括号内的同类项得：
$2x - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$
去中括号得：
$2x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$
移项（移项要变号），将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$2x - \frac{1}{4}x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{4} - \frac{2}{3}$
通分后合并同类项得：
$\frac{13}{12}x = -\frac{5}{12}$
系数化为1，两边同时乘$\frac{12}{13}$，解得$x=-\frac{5}{13}$。
(2) 从外层去括号简化计算：
原式去最外层括号得：
$\frac{4}{3} × \frac{3}{2}(\frac{x}{2} - 1) - \frac{4}{3} × 3 - 2x = 3$
计算化简得：
$2(\frac{x}{2} - 1) - 4 - 2x = 3$
去小括号得：
$x - 2 - 4 - 2x = 3$
合并同类项得：
$-x - 6 = 3$
移项得$-x=9$，系数化为1，解得$x=-9$。
【答案】
(1) $x=-\frac{5}{13}$；(2) $x=-9$
【知识点】
去括号解一元一次方程；移项；合并同类项
【点评】
本题重点考查多层括号一元一次方程的解法，解题时注意观察系数特点灵活选择去括号顺序，能有效减少计算量，同时要注意去括号时的符号变化、移项变号两个易错点，计算完成后可代入原方程验证结果是否正确。
【难度系数】
0.6

15. (2025·西安期末)小王要去复印一些文件，现在有A,B两家复印店可供选择，下面为这两家复印店收费标准.
A复印店:复印页数不超过20页时,每页收费为0.12元;复印页数超过20页时,超过的部分每页收费为0.09元.
B复印店:不论复印多少页,每页收费为0.1元.
当复印页数为多少时,选择两家复印店的收费一样?

$x≥ -\frac{1}{2}$

解：
∵ 非负数才有算术平方根，
∴ 要使式子$2x+1$有算术平方根，需满足$2x+1≥0$，
解得$x≥ -\frac{1}{2}$。

16. 改编题 由绝对值的意义可知,当$a ≥ 0$时,$|a|=a$;当$a＜0$时,$|a|=-a$.利用这一特性,可以帮助我们解含有绝对值的方程.
例如:解方程$|x-2|=3$.
当$x-2 ≥ 0$时,原方程可化为$x-2=3$,解得$x=5$;
当$x-2＜0$时,原方程可化为$x-2=-3$,解得$x=-1$.
综上所述,$|x-2|=3$的解为$x=5$或$x=-1$.
(1)解方程:$|2x+3|=8$;
(2)解方程:$|2x+3|-|x-1|=1$;
(3)解方程:$|x-3|-3|x+2|=x-9$;
(4)已知数轴上$A,B$两点对应的数分别为$-20,40$,$P$为数轴上一动点,对应的数为$x$,若点$P$到$A,B$两点距离的比为$2:3$,求$x$的值.

$\boldsymbol{2}$

解：
由算术平方根的非负性可得 $\sqrt{a-1} ≥ 0$，
当 $\sqrt{a-1}=0$，即 $a=1$ 时，代数式 $\sqrt{a-1}+2$ 取得最小值，
最小值为 $0+2=2$。
最终