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1 关于x的二次三项式$4x^2 -kx +9$是一个完全平方式，则k的值为（
A.-12
B.$\pm12$
C.$\pm6$
D.6
B
）A.-12
B.$\pm12$
C.$\pm6$
D.6
答案
∵ 关于x的二次三项式$4x^2 -kx +9$是一个完全平方式，
∴ $4x^2 -kx +9=(2x)^2±2·2x·3+3^2=(2x)^2±12x+3^2$,
∴ $k=±12$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的代数式为完全平方式。第一步先将所给二次三项式的首项、末项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$；第二步根据完全平方式的结构，写出中间项的两种可能形式（对应两数和的平方、两数差的平方）；第三步将得到的中间项与原式的中间项$-kx$对比系数，即可求出$k$的值，注意不要遗漏其中一种符号情况。
【解析】
∵ 关于x的二次三项式$4x^2 -kx +9$是一个完全平方式，
∴ 先将首末项改写为平方形式：$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$，
根据完全平方式的结构可得：$4x^2 -kx +9=(2x)^2\pm2·2x·3+3^2=(2x)^2\pm12x+3^2$，
对比中间项系数可得：$-k=\pm12$，
∴ $k=\pm12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方式；系数对应法
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特征，解题的关键是明确完全平方式包含两种形式，易错点是忽略其中一种符号情况导致漏解，属于基础常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的代数式为完全平方式。第一步先将所给二次三项式的首项、末项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$；第二步根据完全平方式的结构，写出中间项的两种可能形式（对应两数和的平方、两数差的平方）；第三步将得到的中间项与原式的中间项$-kx$对比系数，即可求出$k$的值，注意不要遗漏其中一种符号情况。
【解析】
∵ 关于x的二次三项式$4x^2 -kx +9$是一个完全平方式，
∴ 先将首末项改写为平方形式：$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$，
根据完全平方式的结构可得：$4x^2 -kx +9=(2x)^2\pm2·2x·3+3^2=(2x)^2\pm12x+3^2$，
对比中间项系数可得：$-k=\pm12$，
∴ $k=\pm12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方式；系数对应法
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特征，解题的关键是明确完全平方式包含两种形式，易错点是忽略其中一种符号情况导致漏解，属于基础常见题型。
【难度系数】
0.7
2[2026江苏南通质检]二次三项式$2x^2 -4x +5$的最小值等于
3
。答案
$2x^2 -4x +5=2(x^2 -2x)+5=2(x^2 -2x +1 -1)+5=2(x-1)^2 -2 +5=2(x-1)^2 +3$. $\because 2(x-1)^2≥0$,
∴ $2(x-1)^2$的最小值为0,
∴ $2(x-1)^2 +3$的最小值为3,即二次三项式$2x^2 -4x +5$的最小值为3,故答案为3.
∴ $2(x-1)^2$的最小值为0,
∴ $2(x-1)^2 +3$的最小值为3,即二次三项式$2x^2 -4x +5$的最小值为3,故答案为3.
解析
【分析】要求二次三项式的最小值，可通过配方法将原式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合偶次方的非负性求解。具体思路：先提取二次项系数，将二次项、一次项组合后凑完全平方，注意调整常数项保证原式值不变，最后根据完全平方的非负性确定最小值。
【解析】
对二次三项式配方计算：
$2x^2 -4x +5$
$=2(x^2 -2x)+5$
$=2(x^2 -2x +1 -1)+5$
$=2(x-1)^2 -2 +5$
$=2(x-1)^2 +3$
$\because 2(x-1)^2≥0$，
$\therefore 2(x-1)^2$的最小值为0，
此时$2(x-1)^2 +3$的最小值为$0+3=3$。
【答案】3
【知识点】配方法；非负数的性质；二次式最值计算
【点评】本题是配方法的基础应用题型，解题核心是通过配方将原式转化为含完全平方式的结构，结合偶次方的非负性即可快速求出最值，需注意提取二次项系数后要合理调整常数项，保证式子取值不变。
【难度系数】0.8
【解析】
对二次三项式配方计算：
$2x^2 -4x +5$
$=2(x^2 -2x)+5$
$=2(x^2 -2x +1 -1)+5$
$=2(x-1)^2 -2 +5$
$=2(x-1)^2 +3$
$\because 2(x-1)^2≥0$，
$\therefore 2(x-1)^2$的最小值为0，
此时$2(x-1)^2 +3$的最小值为$0+3=3$。
【答案】3
【知识点】配方法；非负数的性质；二次式最值计算
【点评】本题是配方法的基础应用题型，解题核心是通过配方将原式转化为含完全平方式的结构，结合偶次方的非负性即可快速求出最值，需注意提取二次项系数后要合理调整常数项，保证式子取值不变。
【难度系数】0.8
3[2026浙江金华质检]用配方法解一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，此方程可变形为（
A.$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
B.$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$
C.$(x-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
D.$(x-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$
A
）A.$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
B.$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$
C.$(x-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
D.$(x-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$
答案
∵ $ax^2 +bx +c =0$,
∴ $ax^2 +bx =-c$,
∴ $x^2 +\dfrac{b}{a}x =-\dfrac{c}{a}$,
∴ $x^2 +\dfrac{b}{a}x +\dfrac{b^2}{4a^2}=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$,
∴ $(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2 -4ac}{4a^2}$. 故选 A.
解析
【分析】
要解这道题，需严格按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤推导：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步将二次项系数化为1，方便后续凑完全平方形式；第三步配方，给等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，右侧合并同类项后即可得到变形结果，再对应选项判断即可。
【解析】
已知$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
移项得：$ax^2 + bx = -c$，
二次项系数化为1，两边同时除以$a$得：$x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}$，
配方，两边同时加一次项系数$\dfrac{b}{a}$一半的平方$\dfrac{b^2}{4a^2}$得：
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} = -\dfrac{c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}$，
左侧由完全平方公式整理为$(x+\dfrac{b}{2a})^2$，右侧通分合并得$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$，
即$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法的核心操作步骤，是一元二次方程求根公式推导的基础，解题时需注意配方时添加的常数是一次项系数一半的平方，同时要注意完全平方式中的符号判断，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，需严格按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤推导：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步将二次项系数化为1，方便后续凑完全平方形式；第三步配方，给等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，右侧合并同类项后即可得到变形结果，再对应选项判断即可。
【解析】
已知$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
移项得：$ax^2 + bx = -c$，
二次项系数化为1，两边同时除以$a$得：$x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}$，
配方，两边同时加一次项系数$\dfrac{b}{a}$一半的平方$\dfrac{b^2}{4a^2}$得：
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} = -\dfrac{c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}$，
左侧由完全平方公式整理为$(x+\dfrac{b}{2a})^2$，右侧通分合并得$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$，
即$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法的核心操作步骤，是一元二次方程求根公式推导的基础，解题时需注意配方时添加的常数是一次项系数一半的平方，同时要注意完全平方式中的符号判断，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
4[2025江苏宿迁调研]把一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -3x -1=0$配方成$(x+a)^2 =b$的形式，则b=
11
.答案
∵ $\dfrac{1}{2}x^2 -3x -1 =0$,
∴ $x^2 -6x -2 =0$,
∴ $(x-3)^2=11$,
∴ $b=11$. 故答案为 11.
解析
【分析】
本题要求将一元二次方程配方成指定形式，解题需遵循配方法的常规步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，最后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，右侧的常数即为所求的b。
【解析】
解：已知一元二次方程$\dfrac{1}{2}x^2 - 3x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时乘以2，得：
$x^2 - 6x - 2 = 0$，
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 2$，
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数-6一半的平方，即$(-3)^2=9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 2 + 9$，
左侧利用完全平方公式整理得：$(x - 3)^2 = 11$，
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$b=11$。
【答案】
$11$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方前必须先把二次项系数化为1，再进行后续操作，计算时注意常数项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题要求将一元二次方程配方成指定形式，解题需遵循配方法的常规步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，最后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，右侧的常数即为所求的b。
【解析】
解：已知一元二次方程$\dfrac{1}{2}x^2 - 3x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时乘以2，得：
$x^2 - 6x - 2 = 0$，
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 2$，
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数-6一半的平方，即$(-3)^2=9$，得：
$x^2 - 6x + 9 = 2 + 9$，
左侧利用完全平方公式整理得：$(x - 3)^2 = 11$，
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$b=11$。
【答案】
$11$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方前必须先把二次项系数化为1，再进行后续操作，计算时注意常数项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
5[2025 江苏泰州期末]若一元二次方程$4x^2 +12x -27=0$的两根为$a,b$,且$a＞b$,则$3a+b$的值为
0
.答案
$4x^2 +12x -27 =0$,移项得$4x^2 +12x =27$,方程两边都除以4,得$x^2 +3x =\dfrac{27}{4}$,方程两边都加$\dfrac{9}{4}$,得$x^2 +3x +\dfrac{9}{4}=\dfrac{27}{4}+\dfrac{9}{4}$,配方得$(x+\dfrac{3}{2})^2=9$,开平方得$x+\dfrac{3}{2}=±3$,解得$x_1=\dfrac{3}{2}$,$x_2=-\dfrac{9}{2}$.
∵ 一元二次方程$4x^2 +12x -27=0$的两根为$a,b$,且$a＞b$,
∴ $a=\dfrac{3}{2}$,$b=-\dfrac{9}{2}$,
∴ $3a +b=3×\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2}=0$. 故答案为 0.
∵ 一元二次方程$4x^2 +12x -27=0$的两根为$a,b$,且$a＞b$,
∴ $a=\dfrac{3}{2}$,$b=-\dfrac{9}{2}$,
∴ $3a +b=3×\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2}=0$. 故答案为 0.
解析
【分析】
要计算$3a+b$的值，首先需要确定$a$、$b$的取值。已知$a$、$b$是一元二次方程的两根且$a＞b$，因此第一步先解给定的一元二次方程，求出两个根，再根据大小关系确定$a$、$b$的值，最后代入$3a+b$计算即可。解方程时采用配方法，先将二次项系数化为1，再配方、开方即可求出根。
【解析】
解：先解方程$4x^2 +12x -27=0$，
移项，得$4x^2 +12x =27$，
方程两边同时除以4，得$x^2 +3x =\dfrac{27}{4}$，
方程两边同时加$\dfrac{9}{4}$（一次项系数一半的平方），得$x^2 +3x +\dfrac{9}{4}=\dfrac{27}{4}+\dfrac{9}{4}$，
配方，得$(x+\dfrac{3}{2})^2=9$，
开平方，得$x+\dfrac{3}{2}=\pm 3$，
解得$x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=-\dfrac{9}{2}$。
∵ 方程的两根为$a$、$b$，且$a＞b$，
∴ $a=\dfrac{3}{2}$，$b=-\dfrac{9}{2}$，
代入$3a+b$得：$3a+b=3×\dfrac{3}{2}+(-\dfrac{9}{2})=\dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{2}=0$。
【答案】
$0$
【知识点】
配方法解一元二次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的操作步骤，以及代数式的代入计算，解题时需注意配方时要给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，计算根时注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
要计算$3a+b$的值，首先需要确定$a$、$b$的取值。已知$a$、$b$是一元二次方程的两根且$a＞b$，因此第一步先解给定的一元二次方程，求出两个根，再根据大小关系确定$a$、$b$的值，最后代入$3a+b$计算即可。解方程时采用配方法，先将二次项系数化为1，再配方、开方即可求出根。
【解析】
解：先解方程$4x^2 +12x -27=0$，
移项，得$4x^2 +12x =27$，
方程两边同时除以4，得$x^2 +3x =\dfrac{27}{4}$，
方程两边同时加$\dfrac{9}{4}$（一次项系数一半的平方），得$x^2 +3x +\dfrac{9}{4}=\dfrac{27}{4}+\dfrac{9}{4}$，
配方，得$(x+\dfrac{3}{2})^2=9$，
开平方，得$x+\dfrac{3}{2}=\pm 3$，
解得$x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=-\dfrac{9}{2}$。
∵ 方程的两根为$a$、$b$，且$a＞b$，
∴ $a=\dfrac{3}{2}$，$b=-\dfrac{9}{2}$，
代入$3a+b$得：$3a+b=3×\dfrac{3}{2}+(-\dfrac{9}{2})=\dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{2}=0$。
【答案】
$0$
【知识点】
配方法解一元二次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的操作步骤，以及代数式的代入计算，解题时需注意配方时要给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，计算根时注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
6 已知$y_1=\dfrac{1}{3}x^2+8x-1,y_2=6x+2$,当$y_1=y_2$时,$x$的值为
$-3±3\sqrt{2}$
.答案
当$y_1=y_2$时,$\dfrac{1}{3}x^2 +8x -1 =6x +2$,
∴ $x^2 +6x -9 =0$,
∴ $x^2 +6x +9 =18$,
∴ $(x+3)^2=18$,
∴ $x+3=±3\sqrt{2}$,
∴ $x=-3±3\sqrt{2}$. 故答案为$-3±3\sqrt{2}$.
∴ $x^2 +6x -9 =0$,
∴ $x^2 +6x +9 =18$,
∴ $(x+3)^2=18$,
∴ $x+3=±3\sqrt{2}$,
∴ $x=-3±3\sqrt{2}$. 故答案为$-3±3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要求$y_1=y_2$时$x$的值，首先根据两个函数值相等的条件，将两个表达式联立得到关于$x$的方程，该方程是二次项系数为分数的一元二次方程，先通过去分母将二次项系数化为整数，再整理为一元二次方程的标准形式，最后结合配方法的步骤求解即可得到$x$的取值。
【解析】
当$y_1=y_2$时，代入两个函数的表达式可得：
$\dfrac{1}{3}x^2 +8x -1 =6x +2$
方程两边同时乘3消去分母，得：$x^2 +24x -3 =18x +6$
移项、合并同类项后得：$x^2 +6x -9 =0$
将常数项移到等号右侧：$x^2 +6x =9$
给方程两边同时加一次项系数一半的平方（即$3^2=9$）进行配方，得：
$x^2 +6x +9 =9+9$
即$(x+3)^2=18$
两边同时开平方，得：$x+3=\pm 3\sqrt{2}$
解得$x=-3\pm 3\sqrt{2}$
【答案】
$-3\pm 3\sqrt{2}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 函数值相等的应用
【点评】
本题核心考察根据函数等量关系列方程、配方法解一元二次方程的能力，解题关键是先将二次项系数化为整数，再正确执行配方步骤，属于基础类习题，熟练掌握配方法的操作逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
要求$y_1=y_2$时$x$的值，首先根据两个函数值相等的条件，将两个表达式联立得到关于$x$的方程，该方程是二次项系数为分数的一元二次方程，先通过去分母将二次项系数化为整数，再整理为一元二次方程的标准形式，最后结合配方法的步骤求解即可得到$x$的取值。
【解析】
当$y_1=y_2$时，代入两个函数的表达式可得：
$\dfrac{1}{3}x^2 +8x -1 =6x +2$
方程两边同时乘3消去分母，得：$x^2 +24x -3 =18x +6$
移项、合并同类项后得：$x^2 +6x -9 =0$
将常数项移到等号右侧：$x^2 +6x =9$
给方程两边同时加一次项系数一半的平方（即$3^2=9$）进行配方，得：
$x^2 +6x +9 =9+9$
即$(x+3)^2=18$
两边同时开平方，得：$x+3=\pm 3\sqrt{2}$
解得$x=-3\pm 3\sqrt{2}$
【答案】
$-3\pm 3\sqrt{2}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 函数值相等的应用
【点评】
本题核心考察根据函数等量关系列方程、配方法解一元二次方程的能力，解题关键是先将二次项系数化为整数，再正确执行配方步骤，属于基础类习题，熟练掌握配方法的操作逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
7 用配方法解下列方程：
(1) $\frac{1}{4}x^2 -6x +3=0$.
(2) $(x-2)(3x-5)=1$.
(1) $\frac{1}{4}x^2 -6x +3=0$.
(2) $(x-2)(3x-5)=1$.
答案
(1) 二次项系数化为 1,得$x^2 -24x +12 =0$. 移项,得$x^2 -24x =-12$. 配方,得$x^2 -24x +12^2 =-12 +12^2$,即$(x-12)^2=132$. 开方,得$x-12=±2\sqrt{33}$. 所以$x_1=12+2\sqrt{33}$,$x_2=12-2\sqrt{33}$.
(2) 由原方程,得$3x^2 -11x =-9$. 二次项系数化为 1,得$x^2 -\dfrac{11}{3}x =-3$. 配方,得$x^2 -\dfrac{11}{3}x +(\dfrac{11}{6})^2=-3+(\dfrac{11}{6})^2$,即$(x-\dfrac{11}{6})^2=\dfrac{13}{36}$. 开方,得$x-\dfrac{11}{6}=±\dfrac{\sqrt{13}}{6}$. 所以$x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$,$x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$.
(2) 由原方程,得$3x^2 -11x =-9$. 二次项系数化为 1,得$x^2 -\dfrac{11}{3}x =-3$. 配方,得$x^2 -\dfrac{11}{3}x +(\dfrac{11}{6})^2=-3+(\dfrac{11}{6})^2$,即$(x-\dfrac{11}{6})^2=\dfrac{13}{36}$. 开方,得$x-\dfrac{11}{6}=±\dfrac{\sqrt{13}}{6}$. 所以$x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$,$x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过开平方求解。通用步骤为：①先将方程整理为一般形式；②把二次项系数化为1；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；⑤开平方求解。本题第(1)问可直接按步骤操作，第(2)问需要先将左侧展开、整理为一般形式后，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1) 二次项系数化为1，方程两边同时乘4，得$x^2 -24x +12 =0$。
移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -24x =-12$。
配方，左右两边同时加上一次项系数-24一半的平方$12^2$，得$x^2 -24x +12^2 =-12 +12^2$，即$(x-12)^2=132$。
开方，得$x-12=±2\sqrt{33}$。
所以$x_1=12+2\sqrt{33}$，$x_2=12-2\sqrt{33}$。
(2) 展开原方程左侧得$3x^2 -5x -6x +10 =1$，整理合并同类项后移项，得$3x^2 -11x =-9$。
二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得$x^2 -\dfrac{11}{3}x =-3$。
配方，左右两边同时加上一次项系数$-\dfrac{11}{3}$一半的平方$(\dfrac{11}{6})^2$，得$x^2 -\dfrac{11}{3}x +(\dfrac{11}{6})^2=-3+(\dfrac{11}{6})^2$，即$(x-\dfrac{11}{6})^2=\dfrac{13}{36}$。
开方，得$x-\dfrac{11}{6}=±\dfrac{\sqrt{13}}{6}$。
所以$x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1) $x_1=12+2\sqrt{33}$，$x_2=12-2\sqrt{33}$
(2) $x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意二次项系数不为1时必须先将二次项系数化为1，第二问需先展开整理为一般形式再运算，计算过程中要注意分数运算、符号处理的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过开平方求解。通用步骤为：①先将方程整理为一般形式；②把二次项系数化为1；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；⑤开平方求解。本题第(1)问可直接按步骤操作，第(2)问需要先将左侧展开、整理为一般形式后，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1) 二次项系数化为1，方程两边同时乘4，得$x^2 -24x +12 =0$。
移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -24x =-12$。
配方，左右两边同时加上一次项系数-24一半的平方$12^2$，得$x^2 -24x +12^2 =-12 +12^2$，即$(x-12)^2=132$。
开方，得$x-12=±2\sqrt{33}$。
所以$x_1=12+2\sqrt{33}$，$x_2=12-2\sqrt{33}$。
(2) 展开原方程左侧得$3x^2 -5x -6x +10 =1$，整理合并同类项后移项，得$3x^2 -11x =-9$。
二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得$x^2 -\dfrac{11}{3}x =-3$。
配方，左右两边同时加上一次项系数$-\dfrac{11}{3}$一半的平方$(\dfrac{11}{6})^2$，得$x^2 -\dfrac{11}{3}x +(\dfrac{11}{6})^2=-3+(\dfrac{11}{6})^2$，即$(x-\dfrac{11}{6})^2=\dfrac{13}{36}$。
开方，得$x-\dfrac{11}{6}=±\dfrac{\sqrt{13}}{6}$。
所以$x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1) $x_1=12+2\sqrt{33}$，$x_2=12-2\sqrt{33}$
(2) $x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意二次项系数不为1时必须先将二次项系数化为1，第二问需先展开整理为一般形式再运算，计算过程中要注意分数运算、符号处理的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.7
8 已知$x=2$是关于$x$的方程$\sqrt{2}x^2 - 2\sqrt{2}mx = -3\sqrt{2}m$的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边长。
(1)求$m$的值。
(2)求$△ ABC$的周长。
刷易错 小心有坑~
(1)求$m$的值。
(2)求$△ ABC$的周长。
刷易错 小心有坑~
答案
(1) 把$x=2$代入方程得$4\sqrt{2}-4\sqrt{2}m=-3\sqrt{2}m$,解得$m=4$.
(2) 当$m=4$时,原方程变为$\sqrt{2}x^2 -8\sqrt{2}x =-12\sqrt{2}$. 二次项系数化为 1,得$x^2 -8x =-12$. 配方,得$x^2 -8x +16 =-12 +16$,即$(x-4)^2=4$. 解得$x_1=2$,$x_2=6$.
∵ 该方程的两个根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边长,且不存在三边长为 2,2,6 的等腰三角形,
∴ $△ABC$的腰长为 6,底边长为 2,
∴ $△ABC$的周长为$6+6+2=14$.
(2) 当$m=4$时,原方程变为$\sqrt{2}x^2 -8\sqrt{2}x =-12\sqrt{2}$. 二次项系数化为 1,得$x^2 -8x =-12$. 配方,得$x^2 -8x +16 =-12 +16$,即$(x-4)^2=4$. 解得$x_1=2$,$x_2=6$.
∵ 该方程的两个根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边长,且不存在三边长为 2,2,6 的等腰三角形,
∴ $△ABC$的腰长为 6,底边长为 2,
∴ $△ABC$的周长为$6+6+2=14$.
解析
【分析】
(1) 已知x=2是方程的根，根据方程根的定义，根代入方程后等式成立，因此将x=2代入原方程，就能得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
(2) 先把求得的m代入原方程，用配方法解这个一元二次方程得到两个根；再结合等腰三角形的性质，分两种情况讨论两根分别作为腰和底的情况，同时必须用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
(1) 把$x=2$代入方程$\sqrt{2}x^2 - 2\sqrt{2}mx = -3\sqrt{2}m$，得：
$4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}m = -3\sqrt{2}m$
移项合并同类项得：$\sqrt{2}m = 4\sqrt{2}$
解得$m=4$。
(2) 当$m=4$时，原方程为$\sqrt{2}x^2 - 8\sqrt{2}x = -12\sqrt{2}$，
两边同时除以$\sqrt{2}$将二次项系数化为1，得$x^2 - 8x = -12$，
配方得：$x^2 - 8x + 16 = -12 + 16$，即$(x-4)^2 = 4$，
开平方得$x-4 = \pm 2$，解得$x_1=2$，$x_2=6$。
∵ 方程的两个根是等腰△ABC的两条边长，
若腰长为2、底边长为6，此时$2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
若腰长为6、底边长为2，此时$6+2＞6$、$6+6＞2$，满足三边关系，可以构成三角形。
∴ △ABC的周长为$6+6+2=14$。
【答案】
(1) $m=4$；(2) $△ ABC$的周长为14
【知识点】
一元二次方程根的定义，配方法解一元二次方程，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形知识的综合题，解题时可先用代入法求解参数，再解一元二次方程得到边长，需要注意涉及等腰三角形边长时，必须验证三边是否满足构成三角形的条件，避免出现多解漏判的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 已知x=2是方程的根，根据方程根的定义，根代入方程后等式成立，因此将x=2代入原方程，就能得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
(2) 先把求得的m代入原方程，用配方法解这个一元二次方程得到两个根；再结合等腰三角形的性质，分两种情况讨论两根分别作为腰和底的情况，同时必须用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
(1) 把$x=2$代入方程$\sqrt{2}x^2 - 2\sqrt{2}mx = -3\sqrt{2}m$，得：
$4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}m = -3\sqrt{2}m$
移项合并同类项得：$\sqrt{2}m = 4\sqrt{2}$
解得$m=4$。
(2) 当$m=4$时，原方程为$\sqrt{2}x^2 - 8\sqrt{2}x = -12\sqrt{2}$，
两边同时除以$\sqrt{2}$将二次项系数化为1，得$x^2 - 8x = -12$，
配方得：$x^2 - 8x + 16 = -12 + 16$，即$(x-4)^2 = 4$，
开平方得$x-4 = \pm 2$，解得$x_1=2$，$x_2=6$。
∵ 方程的两个根是等腰△ABC的两条边长，
若腰长为2、底边长为6，此时$2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
若腰长为6、底边长为2，此时$6+2＞6$、$6+6＞2$，满足三边关系，可以构成三角形。
∴ △ABC的周长为$6+6+2=14$。
【答案】
(1) $m=4$；(2) $△ ABC$的周长为14
【知识点】
一元二次方程根的定义，配方法解一元二次方程，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形知识的综合题，解题时可先用代入法求解参数，再解一元二次方程得到边长，需要注意涉及等腰三角形边长时，必须验证三边是否满足构成三角形的条件，避免出现多解漏判的错误。
【难度系数】
0.6
9[2025江苏南京期中]小明解一元二次方程$2x^2+5x+3=0$的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
(1)小明解此方程使用的是
(2)请写出此题正确的解答过程.
(1)小明解此方程使用的是
配方
法；小明的解答过程是从第三
步开始出错的.(2)请写出此题正确的解答过程.
答案
(1) 根据题意,这种解方程的方法是配方法,小明的解答过程是从第三步开始出错的,故答案为配方,三.
(2) 原方程可变形为$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{3}{2}=0$,
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x =-\dfrac{3}{2}$,
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{25}{16}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}$,
∴ $(x+\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{1}{16}$,
∴ $x+\dfrac{5}{4}=±\dfrac{1}{4}$,
∴ $x_1=-1$,$x_2=-\dfrac{3}{2}$.
(2) 原方程可变形为$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{3}{2}=0$,
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x =-\dfrac{3}{2}$,
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{25}{16}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}$,
∴ $(x+\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{1}{16}$,
∴ $x+\dfrac{5}{4}=±\dfrac{1}{4}$,
∴ $x_1=-1$,$x_2=-\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 首先回忆一元二次方程常见解法的特征：配方法是通过将含未知数的项配成完全平方式来求解方程的方法，据此可判断小明使用的解法。再对照配方法的标准步骤：先将二次项系数化为1，再移项，之后等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，可发现小明在第三步配方时操作错误，未正确计算等号右侧的常数项。
(2) 按照配方法的标准步骤逐步求解即可，注意每一步都要符合等式的基本性质，计算常数项时要正确通分，避免运算错误。
【解析】
(1) 小明的解法通过构造完全平方式求解方程，属于配方法；结合配方法的步骤可知，小明从第三步开始出错。
(2) 正确解答过程：
首先将原方程二次项系数化为1，得$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{3}{2}=0$，
移项将常数项移到等号右侧，得$x^2 +\dfrac{5}{2}x =-\dfrac{3}{2}$，
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，得$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{25}{16}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}$，
将左侧写成完全平方式，右侧合并同类项，得$(x+\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，
直接开平方，得$x+\dfrac{5}{4}=±\dfrac{1}{4}$，
分别求解两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 配方；三
(2) 原方程可变形为$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{3}{2}=0$，
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x =-\dfrac{3}{2}$，
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{25}{16}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}$，
∴ $(x+\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，
∴ $x+\dfrac{5}{4}=±\dfrac{1}{4}$，
∴ $x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{3}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的规范步骤，解题的关键是注意配方时等式左右两边需要同时加上一次项系数一半的平方，计算常数项时要注意通分，避免因运算失误出错。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆一元二次方程常见解法的特征：配方法是通过将含未知数的项配成完全平方式来求解方程的方法，据此可判断小明使用的解法。再对照配方法的标准步骤：先将二次项系数化为1，再移项，之后等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，可发现小明在第三步配方时操作错误，未正确计算等号右侧的常数项。
(2) 按照配方法的标准步骤逐步求解即可，注意每一步都要符合等式的基本性质，计算常数项时要正确通分，避免运算错误。
【解析】
(1) 小明的解法通过构造完全平方式求解方程，属于配方法；结合配方法的步骤可知，小明从第三步开始出错。
(2) 正确解答过程：
首先将原方程二次项系数化为1，得$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{3}{2}=0$，
移项将常数项移到等号右侧，得$x^2 +\dfrac{5}{2}x =-\dfrac{3}{2}$，
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，得$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{25}{16}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}$，
将左侧写成完全平方式，右侧合并同类项，得$(x+\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，
直接开平方，得$x+\dfrac{5}{4}=±\dfrac{1}{4}$，
分别求解两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 配方；三
(2) 原方程可变形为$x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{3}{2}=0$，
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x =-\dfrac{3}{2}$，
∴ $x^2 +\dfrac{5}{2}x +\dfrac{25}{16}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{25}{16}$，
∴ $(x+\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，
∴ $x+\dfrac{5}{4}=±\dfrac{1}{4}$，
∴ $x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{3}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的规范步骤，解题的关键是注意配方时等式左右两边需要同时加上一次项系数一半的平方，计算常数项时要注意通分，避免因运算失误出错。
【难度系数】
0.8
