1.【综合与探究】阅读材料:将纸片折叠使QP与QR重合,QM是折痕,此时∠PQM与∠RQM重合,所以∠PQM = ∠RQM,射线QM是∠PQR的平分线.

【知识初探】(1)如图①,已知OC是钝角∠AOE内部的一条射线,将∠COE折叠,使射线OC和射线OE重合,OD为折痕,将∠AOC折叠,使射线OC和射线OA重合,OB为折痕,若∠AOB = 40°,∠DOE = 30°,求∠BOD的度数.
【类比探究】(2)如图②,在长方形纸片ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,连接EF,沿EF折叠,使点A落在点G处,EH平分∠FEB,若∠GEH=α,求∠FEG的度数(用含α的式子表示).

解：
(1) 设计划招聘医生$x$人，护士$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 126 \\y = 27 + 2(x - 27)\end{cases}$
化简第二个方程得：$y = 2x - 27$
将$y = 2x - 27$代入$x + y = 126$，得：
$x + 2x - 27 = 126$
解得：$x = 51$
把$x=51$代入$x+y=126$，得$y=126-51=75$。
答：计划招聘医生51人，护士75人。
(2) 负责普通病房的医生人数为$51 - 27 = 24$人，
普通病房总数为$24 × 5 = 120$个。
答：该医院住院部普通病房有120个。

【分析】
(1) 解题时首先利用折叠的性质得到折痕是对应角的角平分线：折叠后射线OC与OE重合，说明OD是∠COE的平分线；折叠后射线OC与OA重合，说明OB是∠AOC的平分线。由此可分别求出∠BOC和∠DOC的度数，再根据角的和差关系，将两个角相加即可得到∠BOD的度数。
(2) 首先根据折叠性质得到∠AEF=∠FEG，再结合平角为180°的性质得到∠AEF与∠BEF的数量关系，利用角平分线的定义表示出∠HEF的度数，最后结合∠GEH=α的已知条件，建立关于∠FEG的一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：OD平分∠COE，OB平分∠AOC，
∴ $∠ DOC=∠ DOE=30°$，$∠ BOC=∠ AOB=40°$，
∴ $∠ BOD=∠ BOC+∠ DOC=40°+30°=70°$。
(2) 由折叠的性质可得：$∠ AEF=∠ FEG$，
∵ 点A、E、B共线，$∠ AEB=180°$，
∴ $∠ AEF+∠ BEF=180°$，即$∠ BEF=180°-∠ AEF$，
∵ EH平分$∠ FEB$，
∴ $∠ HEF=\frac{1}{2}∠ BEF=\frac{1}{2}(180°-∠ AEF)=90°-\frac{1}{2}∠ AEF$，
∵ $∠ GEH=α$，且$∠ FEG=∠ HEF-∠ GEH$，
将$∠ AEF=∠ FEG$代入得：
$∠ FEG=90°-\frac{1}{2}∠ FEG-α$，
移项合并得：$\frac{3}{2}∠ FEG=90°-α$，
解得：$∠ FEG=60°-\frac{2}{3}α$。
【答案】
(1) $70°$；(2) $∠ FEG=60°-\frac{2}{3}α$
【知识点】
折叠的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题结合折叠操作考查角的相关运算，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合角平分线、平角的特征梳理角之间的数量关系，第二小问通过建立方程求解，能有效考查逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.65

2. 已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB=120°，∠COD=20°(本题中研究的角的度数均小于180°).
(1)如图①,求∠AOD+∠COB的大小.
(2)如图②,OM平分∠COB,ON平分∠AOD,求∠NOM的大小.
(3)如图③,若∠AOC=30°,射线OC,OD同时绕点O旋转,其中射线OC先以每秒10°的速度顺时针旋转,当与射线OB重合后,再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转;射线OD始终以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转.设射线OC,OD运动的时间是t秒(0＜t≤15),当∠COD=80°时,直接写出t的值.

(1)因为∠AOB=120°,∠COD=20°,所以∠AOD+∠COB=∠AOD+∠BOD+∠COD = ∠AOB + ∠COD = 140°,所以∠AOD+∠COB=140°.
(2)因为OM平分∠COB,ON平分∠AOD,所以∠AON=1/2∠AOD,∠BOM = 1/2 ∠COB,所以∠NOM = ∠AOB - ∠AON - ∠MOB = ∠AOB - 1/2(∠AOD+∠COB)=50°,所以∠NOM=50°.
(3)t的值为6或13 6/7. 解析:因为∠AOC=30°,∠AOB=120°,∠COD=20°,所以∠BOC=90°,∠BOD=70°,当OC未到达OB时(0＜t＜9),,∠C'OD'=80°,则∠DOD'=(20t)°,∠COC'=(10t)°,所以∠DOD'+∠COD-∠COC'=80°,即(20t)°+20°-(10t)°=80°,解得t=6;当OC到达OB后返回时(9≤t≤15),如图②,∠C'OD'=80°,则∠BOD'=360°-[(20t)°-70°],∠BOC'=[15(t-9)]°,所以∠BOD'-∠BOC'=80°,即360°-[(20t)°-70°]-[15(t-9)]°=80°,解得t=13 6/7.综上,t的值为6或13 6/7.

【分析】
(1) 解题时先观察角的组成，将∠COB拆分为∠COD+∠BOD，此时∠AOD+∠COB可转化为∠AOD+∠BOD+∠COD，而∠AOD+∠BOD就是已知的∠AOB，代入数值即可求解。
(2) 先根据角平分线的定义，得到∠AON是∠AOD的一半、∠BOM是∠COB的一半，再观察∠NOM和∠AOB的关系：$∠ NOM=∠ AOB-∠ AON-∠ BOM$，将第一问得到的$∠ AOD+∠ COB$的数值代入，即可算出结果。
(3) 这是动态角度问题，需要分两种情况讨论：①射线OC还未顺时针旋转到与OB重合的阶段，此时OC、OD都顺时针旋转，根据角度变化列方程；②OC旋转到与OB重合后改为逆时针旋转，此时OC逆时针、OD仍顺时针，结合角度位置关系列方程，最后验证t是否在对应取值范围内，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=120°$，$∠ COD=20°$，
$\because ∠ COB=∠ COD+∠ BOD$，
$\therefore ∠ AOD+∠ COB=∠ AOD+∠ BOD+∠ COD=∠ AOB+∠ COD=120°+20°=140°$。
(2) $\because OM$平分$∠ COB$，$ON$平分$∠ AOD$，
$\therefore ∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ COB$，
$\therefore ∠ NOM=∠ AOB-∠ AON-∠ BOM=∠ AOB-\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ COB)$，
代入$∠ AOB=120°$，$∠ AOD+∠ COB=140°$，
得$∠ NOM=120°-\frac{1}{2}×140°=50°$。
(3) 由已知得$∠ AOC=30°$，$∠ AOB=120°$，$\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=90°$，又$∠ COD=20°$，$\therefore ∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=70°$，分两种情况讨论：
① 当OC未到达OB时（$0＜t＜9$，OC以$10°/s$转90°到OB，共需9s）：
，$∠ C'OD'=80°$，$∠ DOD'=(20t)°$，$∠ COC'=(10t)°$，
由角度关系得：$∠ DOD'+∠ COD-∠ COC'=80°$，
即$20t+20-10t=80$，解得$t=6$，符合$0＜t＜9$的范围。
② 当OC到达OB后逆时针旋转时（$9\le t\le15$）：
$∠ C'OD'=80°$，$∠ BOD'=360°-(20t-70)°$，$∠ BOC'=[15(t-9)]°$，
由角度关系得：$∠ BOD'-∠ BOC'=80°$，
即$360-(20t-70)-15(t-9)=80$，
化简得$565-35t=80$，解得$t=13\frac{6}{7}$，符合$9\le t\le15$的范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{140°}$
(2) $\boldsymbol{50°}$
(3) $\boldsymbol{t=6}$ 或 $\boldsymbol{t=13\dfrac{6}{7}}$
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 角平分线的定义
3. 动态角度分类讨论
【点评】
本题属于角度综合应用题，前两问侧重基础的角和差、角平分线性质的应用，难度较低；第三问为动态旋转问题，需要根据OC的运动阶段分类讨论，结合角度的位置关系列方程求解，易错点是忽略分类情况导致漏解。
【难度系数】
0.4