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3. 如果两个角的差的绝对值等于$60°$,就称这两个角互为友好角,例如:$∠ 1=100°$,$∠ 2=40°$,$|∠ 1-∠ 2|=60°$,则$∠ 1$和$∠ 2$互为友好角(本题中所有角都指大于$0°$且小于$180°$的角),将两块直角三角板如图①摆放在直线$EF$上,其中$∠ AOB=∠ COD=60°$,保持三角板$COD$不动,将三角板$AOB$绕点$O$以每秒$2°$的速度顺时针旋转,旋转时间为$t$秒.
(1)如图②,当$AO$在直线$CO$左侧时,
①与$∠ BOE$互为友好角的是________,与$∠ BOC$互为友好角的是________;
②当$t=\_\_\_\_\_\_$时,$∠ BOE$与$∠ AOD$互为友好角.
(2)若在三角板$AOB$开始旋转的同时,另一块三角板$COD$也绕点$O$以每秒$3°$的速度逆时针旋转,当$OC$旋转至射线$OE$上时两块三角板同时停止旋转,求当$t$为何值时,$∠ BOC$与$∠ DOF$互为友好角.
(1)如图②,当$AO$在直线$CO$左侧时,
①与$∠ BOE$互为友好角的是________,与$∠ BOC$互为友好角的是________;
②当$t=\_\_\_\_\_\_$时,$∠ BOE$与$∠ AOD$互为友好角.
(2)若在三角板$AOB$开始旋转的同时,另一块三角板$COD$也绕点$O$以每秒$3°$的速度逆时针旋转,当$OC$旋转至射线$OE$上时两块三角板同时停止旋转,求当$t$为何值时,$∠ BOC$与$∠ DOF$互为友好角.
答案
(1)①∠AOE ∠AOC和∠BOD 解析:因为|∠BOE-∠AOE|=60°,所以与∠BOE互为友好角的是∠AOE;因为|∠BOC-∠AOC|=60°,|∠BOC-∠BOD|=60°,所以与∠BOC互为友好角的是∠AOC和∠BOD.
②15 解析:依题意可得120-2t-2t=60,解得t=15.
(2)由题可知,三角板旋转40秒后停止,∠DOF=(3t)°.当OB在OC左侧时,∠BOC=120°-(5t)°,|∠BOC-∠DOF|=60°,即|120-8t|=60.
,当120-8t=60时,解得t=7.5;当8t-120=60时,解得t=22.5.当OB在OC右侧时,∠BOC=(5t)°-120°,|∠BOC-∠DOF|=60°,即|2t-120|=60,当2t-120=60时,解得t=90(舍去),当120-2t=60时,解得t=30,
.综上所述,当t=7.5或t=22.5或t=30时,∠BOC与∠DOF互为友好角.
解析
【分析】
本题是结合新定义的角动态旋转问题，解题核心是紧扣“互为友好角”的定义（两角差的绝对值为60°），结合角的和差关系，用含时间t的式子表示出对应角的度数，再列方程求解，动态问题要注意分类讨论角的位置关系，同时结合运动的取值范围舍去不符合题意的解。
(1)①先观察角的和差关系：已知∠AOB=60°，可直接得到∠AOE与∠BOE的差为60°；再结合∠COD=60°，推导得到∠AOC、∠BOD分别与∠BOC的差为60°，即可找出对应的友好角。
(1)②先用t表示出∠BOE和∠AOD的度数，结合友好角定义列方程，结合AO在CO左侧的范围求解即可。
(2)先计算两块三角板的最长运动时间：OC初始与OE夹角为120°，逆时针旋转速度为3°/秒，可得运动时间最大为40秒；再分别用t表示出∠DOF、不同位置下∠BOC的度数，根据友好角定义列绝对值方程，分情况求解后舍去超过运动时间的解即可。
【解析】
(1)①已知∠AOB=60°，即$|∠ AOE - ∠ BOE|=∠ AOB=60°$，因此与∠BOE互为友好角的是∠AOE；
已知$∠ AOB=∠ COD=60°$，则$|∠ BOC - ∠ AOC|=∠ AOB=60°$，$|∠ BOC - ∠ BOD|=∠ COD=60°$，因此与∠BOC互为友好角的是∠AOC和∠BOD。
②三角板AOB顺时针旋转速度为$2°/$秒，t秒后$∠ BOE=2t°$，$∠ AOD=180°-(2t°+60°)=120°-2t°$，根据互为友好角的定义：
$|2t-(120-2t)|=60$，
又因为AO在直线CO左侧，所以$2t＜60$，即$120-4t=60$，
解得$t=15$。
(2)由题可知，OC初始与OE夹角为$120°$，COD逆时针旋转速度为$3°/$秒，因此运动总时长为$120÷3=40$秒，即$0≤ t≤40$。
t秒后，$∠ DOF=3t°$，
分两种情况讨论：
情况1：OB在OC左侧时，$∠ BOC=120°-2t°-3t°=120°-5t°$，
根据友好角定义得$|(120-5t)-3t|=60$，即$|120-8t|=60$，
当$120-8t=60$时，解得$t=7.5$；
当$120-8t=-60$时，解得$t=22.5$，均符合$0≤ t≤40$。
情况2：OB在OC右侧时，$∠ BOC=2t°+3t°-120°=5t°-120°$，
根据友好角定义得$|(5t-120)-3t|=60$，即$|2t-120|=60$，
当$2t-120=60$时，解得$t=90＞40$，舍去；
当$2t-120=-60$时，解得$t=30$，符合$0≤ t≤40$。
综上，$t=7.5$、$22.5$、$30$时满足条件。
【答案】
(1)①$\boxed{∠AOE}$；$\boxed{∠AOC和∠BOD}$
②$\boxed{15}$
(2)当$\boxed{t=7.5}$或$\boxed{t=22.5}$或$\boxed{t=30}$时，∠BOC与∠DOF互为友好角。
【知识点】
新定义问题，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题将新定义与角的动态旋转结合，既考查对新定义的理解运用能力，也考查动态几何问题的分类讨论思想，解题时要注意运动的边界条件，避免出现不符合运动范围的解。
【难度系数】
0.4
本题是结合新定义的角动态旋转问题，解题核心是紧扣“互为友好角”的定义（两角差的绝对值为60°），结合角的和差关系，用含时间t的式子表示出对应角的度数，再列方程求解，动态问题要注意分类讨论角的位置关系，同时结合运动的取值范围舍去不符合题意的解。
(1)①先观察角的和差关系：已知∠AOB=60°，可直接得到∠AOE与∠BOE的差为60°；再结合∠COD=60°，推导得到∠AOC、∠BOD分别与∠BOC的差为60°，即可找出对应的友好角。
(1)②先用t表示出∠BOE和∠AOD的度数，结合友好角定义列方程，结合AO在CO左侧的范围求解即可。
(2)先计算两块三角板的最长运动时间：OC初始与OE夹角为120°，逆时针旋转速度为3°/秒，可得运动时间最大为40秒；再分别用t表示出∠DOF、不同位置下∠BOC的度数，根据友好角定义列绝对值方程，分情况求解后舍去超过运动时间的解即可。
【解析】
(1)①已知∠AOB=60°，即$|∠ AOE - ∠ BOE|=∠ AOB=60°$，因此与∠BOE互为友好角的是∠AOE；
已知$∠ AOB=∠ COD=60°$，则$|∠ BOC - ∠ AOC|=∠ AOB=60°$，$|∠ BOC - ∠ BOD|=∠ COD=60°$，因此与∠BOC互为友好角的是∠AOC和∠BOD。
②三角板AOB顺时针旋转速度为$2°/$秒，t秒后$∠ BOE=2t°$，$∠ AOD=180°-(2t°+60°)=120°-2t°$，根据互为友好角的定义：
$|2t-(120-2t)|=60$，
又因为AO在直线CO左侧，所以$2t＜60$，即$120-4t=60$，
解得$t=15$。
(2)由题可知，OC初始与OE夹角为$120°$，COD逆时针旋转速度为$3°/$秒，因此运动总时长为$120÷3=40$秒，即$0≤ t≤40$。
t秒后，$∠ DOF=3t°$，
分两种情况讨论：
情况1：OB在OC左侧时，$∠ BOC=120°-2t°-3t°=120°-5t°$，
根据友好角定义得$|(120-5t)-3t|=60$，即$|120-8t|=60$，
当$120-8t=60$时，解得$t=7.5$；
当$120-8t=-60$时，解得$t=22.5$，均符合$0≤ t≤40$。
情况2：OB在OC右侧时，$∠ BOC=2t°+3t°-120°=5t°-120°$，
根据友好角定义得$|(5t-120)-3t|=60$，即$|2t-120|=60$，
当$2t-120=60$时，解得$t=90＞40$，舍去；
当$2t-120=-60$时，解得$t=30$，符合$0≤ t≤40$。
综上，$t=7.5$、$22.5$、$30$时满足条件。
【答案】
(1)①$\boxed{∠AOE}$；$\boxed{∠AOC和∠BOD}$
②$\boxed{15}$
(2)当$\boxed{t=7.5}$或$\boxed{t=22.5}$或$\boxed{t=30}$时，∠BOC与∠DOF互为友好角。
【知识点】
新定义问题，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题将新定义与角的动态旋转结合，既考查对新定义的理解运用能力，也考查动态几何问题的分类讨论思想，解题时要注意运动的边界条件，避免出现不符合运动范围的解。
【难度系数】
0.4
