定义:一条射线 OC 在∠AOB 内部,且与角的两边 OA,OB 构成两个角∠AOC,∠BOC,若这两个角的大小满足 2:1 的关系,则称 OC 为∠AOB 的内分线;一条射线 OD 在∠AOB 外部,且与角的两边 OA,OB 构成两个角∠AOD,∠BOD,若这两个角的大小满足 2:1 的关系,则称 OD 为∠AOB 的外分线.内、外分线统称为倍分线.
【知识运用】
(1)如图①,若∠AOB=60°,OC 为∠AOB 的一条内分线,求∠AOC 的度数.
(2)如图②,已知∠AOB=60°,∠AOE=42°.
①若射线 ON 从 OB 出发,以 5°/s 的速度沿逆时针方向旋转,射线 OM 从 OA 出发,以 m°/s 的速度沿逆时针方向旋转.若 t 秒(0＜t＜12)后 ON 为∠AOE 的外分线时,OM 恰为∠AOE 的内分线,求 m 的值.
②若射线 ON 从 OB 出发,以 10°/s 的速度沿逆时针方向旋转,射线 OM 从 OA 出发,以 5°/s 的速度沿逆时针方向旋转,设旋转的时间为 t$(0＜t≤\frac{51}{5})$秒.当由 OE,ON,OM 三条射线组成的图形中,其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时,求 t 的值.

(1)因为OC为∠AOB的一条内分线,所以∠AOC=2∠BOC或∠AOC=1/2 ∠BOC.因为∠AOB=60°,所以∠AOC=2/3 ∠AOB=40°或∠AOC=1/3 ∠AOB=20°.
(2)①因为5°×12=60°,所以∠BON＜60°=∠AOB,所以ON在∠AOB内部.因为∠AOB=60°,∠AOE=42°,所以∠BOE=∠AOB+∠AOE=102°,由题意得,∠BON=5°t,因为ON为∠AOE的外分线,所以∠EON=2∠AOE,所以102°-5°t=2×42°,解得t=18/5;
所示,当∠AOM=1/2∠EOM时,则∠AOM=1/3∠AOE=14°,所以m=14/(18/5)=35/9;
所示,当∠AOM=2∠EOM时,则∠AOM=2/3∠AOE=28°,所以m=28/(18/5)=70/9.综上所述,m=35/9或m=70/9.
②当0＜t＜42/5时,所示,当ON是∠EOM的外分线时,则∠EON=2∠EOM,所以2(42-5t)=102-10t,此时方程无解;
所示,当OM是∠EON的内分线时,则∠MON=2∠EOM或∠MON=1/2∠EOM,所以∠EOM=2/3∠EON或∠EOM=1/3∠EON,所以42-5t=1/3(102-10t)或42-5t=2/3(102-10t),解得t=24/5或t=78/5(舍去);当t=42/5时,OM与OE重合,不符合题意;
当42/5＜t≤51/5时,所示,当OM是∠EON的外分线时,则∠MON=2∠MOE,∠MOE=∠EON,所以5t-42=102-10t,解得t=48/5;
所示,当OE为∠MON的内分线时,则∠NOE=2∠MOE或∠NOE=1/2∠MOE,所以2(5t-42)=102-10t或1/2(5t-42)=102-10t,解得t=93/10或t=246/25.综上所述,当由OE,ON,OM三条射线组成的图形中,其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时,t=24/5或t=48/5或t=93/10或t=246/25.

【分析】
(1) 本题首先理解“内分线”的新定义，内分线与角两边形成的两个角满足2:1的比例关系，存在两种情况：∠AOC是∠BOC的2倍，或∠BOC是∠AOC的2倍，结合∠AOB的总度数，按比例分配即可求解。
(2) ①首先根据t的取值范围判断ON始终在∠AOB内部，结合“外分线”的定义列方程求出t的值；再根据“内分线”的两种比例情况，分别计算OM旋转的角度，结合旋转时间即可求出m的值。
②本题属于角的动态问题，需根据两条射线的旋转速度分时间段讨论位置关系：0＜t＜$\frac{42}{5}$时OM在∠AOE内部，t=$\frac{42}{5}$时OM与OE重合（不符合题意舍去），$\frac{42}{5}$＜t≤$\frac{51}{5}$时OM在∠AOE外部；在每个时间段内根据“倍分线”的定义分情况列方程，求出的解需要验证是否在对应时间范围内，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 因为OC为∠AOB的一条内分线，所以∠AOC=2∠BOC或∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOC。
因为∠AOB=60°，所以∠AOC=$\frac{2}{3}$∠AOB=40°或∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=20°。
(2) ①因为5°×12=60°，所以∠BON＜60°=∠AOB，所以ON在∠AOB内部。
因为∠AOB=60°，∠AOE=42°，所以∠BOE=∠AOB+∠AOE=102°，由题意得，∠BON=5°t，
因为ON为∠AOE的外分线，所以∠EON=2∠AOE，
所以102°-5°t=2×42°，解得t=$\frac{18}{5}$；
所示，当∠AOM=$\frac{1}{2}$∠EOM时，则∠AOM=$\frac{1}{3}$∠AOE=14°，所以m=14÷$\frac{18}{5}$=$\frac{35}{9}$；
所示，当∠AOM=2∠EOM时，则∠AOM=$\frac{2}{3}$∠AOE=28°，所以m=28÷$\frac{18}{5}$=$\frac{70}{9}$。
综上所述，m=$\frac{35}{9}$或m=$\frac{70}{9}$。
②当0＜t＜$\frac{42}{5}$时，所示，当ON是∠EOM的外分线时，则∠EON=2∠EOM，所以2(42-5t)=102-10t，此时方程无解；
所示，当OM是∠EON的内分线时，则∠MON=2∠EOM或∠MON=$\frac{1}{2}$∠EOM，所以∠EOM=$\frac{1}{3}$∠EON或∠EOM=$\frac{2}{3}$∠EON，所以42-5t=$\frac{1}{3}$(102-10t)或42-5t=$\frac{2}{3}$(102-10t)，解得t=$\frac{24}{5}$或t=$\frac{78}{5}$(舍去)；
当t=$\frac{42}{5}$时，OM与OE重合，不符合题意；
当$\frac{42}{5}$＜t≤$\frac{51}{5}$时，所示，当OM是∠EON的外分线时，则∠MON=2∠MOE，∠MOE=∠EON，所以5t-42=102-10t，解得t=$\frac{48}{5}$；
所示，当OE为∠MON的内分线时，则∠NOE=2∠MOE或∠NOE=$\frac{1}{2}$∠MOE，所以2(5t-42)=102-10t或$\frac{1}{2}$(5t-42)=102-10t，解得t=$\frac{93}{10}$或t=$\frac{246}{25}$。
综上所述，当由OE,ON,OM三条射线组成的图形中，其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时，t=$\frac{24}{5}$或t=$\frac{48}{5}$或t=$\frac{93}{10}$或t=$\frac{246}{25}$。
【答案】
(1) ∠AOC的度数为20°或40°；
(2) ①m的值为$\frac{35}{9}$或$\frac{70}{9}$；
②t的值为$\frac{24}{5}$或$\frac{48}{5}$或$\frac{93}{10}$或$\frac{246}{25}$。
【知识点】
新定义问题，角的和差计算，动态角问题
【点评】
本题结合新定义考查角的相关计算，核心是分类讨论思想的应用，解题时要注意根据倍分线的2:1关系分两种情况讨论，动态问题中需结合射线的运动范围验证解的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4