1. 已知关于$x$的方程$x^2 -2x +m=0$有两个同号的实数根$x_1,x_2$,则实数$m$的取值范围是.

1. $0＜m≤1$

2. 若关于$x$的方程$2x^2 + x - 2m + 1 = 0$有一正实数根和一负实数根，则$m$的取值范围是。

2. $m＞\dfrac{1}{2}$

3. 如果 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + x - k = 0 $ 的两个实数根，那么 $ x_1 x_2 $ 的最大值为 。

3. $\dfrac{1}{4}$

4. 易错题 若关于x的方程$x^2 + (k^2 - 1)x + k + 1 = 0$的两根互为相反数，则k的值为。

4. -1
易错分析：4. 易错点在于求出k的值后,未检验原方程是否有实数根,忽略当k=1时方程无实数根的情况.

5. 设$x_1$和$x_2$是关于$x$的方程$x^2+2x+k+2=0$的两个不相等的实数根. 若$x_1+x_2 - x_1x_2 ＜ -1$且$k$为整数, 则$k$的值为.

5. -2

二、解答题
6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - 3m^2 = 0 $。
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 $ α, β $，且 $ α + 2β = 5 $，求 $ m $ 的值。

6. (1) $\because \Delta=(-2)^2-4×1×(-3m^2)=4+12m^2＞0$,$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根
(2) 由根与系数的关系,可知 $α+β=2$,$αβ=-3m^2$. $\because α+2β=5$,$\therefore α=5-2β$. $\therefore 5-2β+β=2$,解得 $β=3$. $\therefore α=-1$.
$\therefore -3m^2=-1×3$,解得 $m=\pm1$

7. 已知关于x的一元二次方程$ax^2 - (a+1)x + \frac{a}{4}=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1) 求a的最小整数值；
(2) 当$x_1 - x_2=1$时，求a的值.

7. (1) 由题意,得 $a≠0$ 且$[-(a+1)]^2 -4a · \dfrac{a}{4}＞0$,解得 $a＞-\dfrac{1}{2}$且$a≠0$. $\therefore a$ 的最小整数值为 1
(2) 根据题意,得 $x_1+x_2=\dfrac{a+1}{a}$,$x_1x_2=\dfrac{1}{4}$. $\because x_1-x_2=1$,$\therefore (x_1-x_2)^2 = 1$, 即 $(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1$.
$\therefore (\dfrac{a+1}{a})^2 -4×\dfrac{1}{4}=1$. 整理,得 $a^2-2a-1=0$,解得 $a=1\pm\sqrt{2}$. $\because a=1\pm\sqrt{2}$均满足 $a＞-\dfrac{1}{2}$且$a≠0$,$\therefore a$ 的值为 $1\pm\sqrt{2}$