1[2025湖北武汉中考]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$.若$AB=6$,$CD=\sqrt{13}$,则$\odot O$的半径是 ()

A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5

(第1题图)
(第2题图)

1.A 【解析】如图,过点 O 作OE⊥AB,垂足为 F,交⊙O 于点E,连结 OA,AE,则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,$AF=BF=\frac{1}{2}AB=3$. $\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore AE=CD=\sqrt{13}$. 在Rt△AEF 中, $AE = \sqrt{13}$, $AF = 3$, $\therefore EF =\sqrt{AE^2-AF^2} = 2$. 设⊙O 的半径为 R. 在 Rt△AOF中,$OA=R$,$OF=R-2$,$AF=3$,由勾股定理得,$OA^2 =OF^2+AF^2$,即 $R^2=(R-2)^2+3^2$,解得 $R=\frac{13}{4}$. 故选 A.

2[2024江西中考]如图,AB是$\odot O$的直径,$AB=2$,点C在线段AB上运动,过点C的弦$DE ⊥ AB$,将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时,线段FB的长为.

2.$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2 【解析】
∵ AB 为直径,DE 为弦,
∴ DE≤AB,
∴ 当 DE 的长为正整数时,DE=1 或 2.当 DE=2 时,DE 为直径,此时 C 与点 O 重合,F 与点 A 重合,故 FB=2. 当 DE=1,且点 C 在线段 OB上时,如图(1),连结 OD,$OD=\frac{1}{2}AB=1$. $\because DE ⊥ AB$,$\therefore DC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}$,$\therefore OC=\sqrt{OD^2-DC^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore BC=OB-OC=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$,$\therefore BF=2BC=2-\sqrt{3}$. 当 DE=1,且点 C 在线段 OA 上时,如图(2),连结 OD,同理可得 $BC=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$,$\therefore BF=2BC=2+\sqrt{3}$. 综上可得,线段 FB 的长为 $2-\sqrt{3}$ 或 $2+\sqrt{3}$ 或 2. 故答案为 $2-\sqrt{3}$ 或 $2+\sqrt{3}$ 或 2.

3[2025重庆中考]如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ AOB=100°,∠ C$的度数是 ()

A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$

(第3题图)
(第4题图)

3.B 【解析】
∵ ∠AOB = 100°,
∴ ∠C = $\frac{1}{2}∠AOB =\frac{1}{2}×100°=50°$. 故选 B.

4[2024江苏连云港中考]如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4=°.

4.90 【解析】
∵ AB 是圆的直径,
∴ AB 所对的弧是半圆,所对圆心角的度数为 180°.
∵ ∠1,∠2,∠3,∠4所对的弧所对的圆心角的和等于弧 AB 所对的圆心角,
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4 = $\frac{1}{2}×180°=90°$. 故答案为90.

5[2025安徽中考]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连结OC，∠DAB+2∠ABC=180°。
(1)求证：OC//AD；
(2)若AD=2，$BC=2\sqrt{3}$，求AB的长。

5. (1)【证明】
∵ ∠DAB + 2∠ABC = 180°, ∠AOC =2∠ABC,
∴ ∠DAB+∠AOC = 180°,
∴ AD//OC.
(2)【解】如图,连结 BD 交OC 于点 E. 由题意知,∠ADB=90°,O 是 AB 的中点.
∵ OC//AD,
∴ OC⊥BD,且 OE 是△ABD 的中位线,
∴ OE=$\frac{1}{2}AD=1$.
设半圆的半径为 r,则 CE=r-1.
由勾股定理知,$OB^2-OE^2=BE^2=BC^2-CE^2$,即 $r^2 -1^2=(2\sqrt{3})^2-(r-1)^2$,解得 $r_1=3$,$r_2=-2$(舍去),
∴ AB=2r=6.

6[2024吉林中考]如图,四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE//AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是 ()

A.50°
B.100°
C.130°
D.150°

(第6题图)
(第7题图)

6.C 【解析】
∵ BE//AD,
∴ ∠ADC=∠BEC=50°.
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠ABC = 180° - ∠ADC =130°. 故选 C.

7[2025四川德阳中考]六方钢也称六角棒,是钢材的一种,其截面为正六边形.六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工,广泛应用于各种建筑结构和工程结构,如房梁、桥梁柱、输电塔等.在学校开展的综合实践活动中,兴趣小组对六方钢截面图(如图所示)的性质进行研究,测得边长$AB=1$,那么图中四边形$GCHF$的面积是 ()

A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

7.A 【解析】如图,过点 A 作AM⊥BF,垂足为 M.
∵ 六边形ABCDEF 是正六边形,
∴ AB =BC=CD=DE=EF=AF=1,∠CBA = ∠BAF = 120°,
∴ ∠ABF=∠AFB=$\frac{180°-120°}{2}=30°$,
∴ ∠CBF=90°,
AM=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$,
∴ FM=BM=$\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 在Rt△BCG 中, BC = 1, ∠BCG = 30°,
∴ CG = 2BG. 又
∵ $CG^2-BG^2=BC^2$,
∴ BG=$\frac{\sqrt{3}}{3}BC=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ FG=BF-BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴ 四边形 GCHF 的面积为FG·BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 故选 A.

8[2025吉林中考]图(1)、图(2)均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。△ABC内接于⊙O，且点A,B,C,O均在格点上。
只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图。
(1)在图(1)中找一个格点D(点D不与点C重合)，画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB。
(2)在图(2)中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°。

8.【解】(1)如图(1),∠AD₁B 即为所求(答案不唯一,用其余的格点 D₂,D₃,D₄,D₅ 画出的∠ADB 均符合题意).
(2)如图(2),∠AE₁C 即为所求(答案不唯一,用其余的格点 E₂,E₃,E₄,E₅ 画出的∠AEC 均符合题意).