1[中]如图,直线$y=2x+3$与两坐标轴分别交于A,B两点,点P是线段AB上的一个动点,过P作y轴的平行线,交直线$y=x+4$于Q,连结OP,OQ,将$△ OPQ$绕点O逆时针旋转$30°$得到$△ OED$,边PQ扫过区域(阴影部分)面积最大值为.

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1. 设 $P(m, 2m+3)$, 则 $Q(m, m+4)$,
$\therefore OP^2 = m^2 + (2m+3)^2 = 5m^2 + 12m + 9$, $OQ^2 = m^2 + (m+4)^2 = 2m^2 + 8m + 16$.
$\because △ OPQ$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $30°$,
$\therefore △ OPQ ≌ △ OED$, $∠ QOD = ∠ POE = 30°$,
$\therefore PQ$ 扫过区域 (阴影部分) 面积 $S = S_{\mathrm{扇形}QOD} - S_{\mathrm{扇形}POE} = \frac{30π · OQ^2}{360} - \frac{30π · OP^2}{360} = \frac{π}{12} × (-3m^2 -4m +7) = -\frac{π}{4}(m+\frac{2}{3})^2 + \frac{25π}{36}$,
$\therefore$ 当 $m=-\frac{2}{3}$ 时, $S$ 的最大值为 $\frac{25π}{36}$.

2[2025浙江宁波期中,中]如图(1),抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且点A坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图(2),y轴上存在一点D,使$\odot D$经过B,C两点,求点D的坐标.

(1) 把 $A(-1,0)$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+c$ 中, 得 $-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+c=0$, 解得 $c=2$, 故抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+2$.
(2) 连结 $DB$. 令 $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+2=0$, 解得 $x_1=4$, $x_2=-1$, $\therefore B(4,0)$. 令 $x=0$, 则 $y=2$, $\therefore C(0,2)$.
$\because \odot D$ 经过 $B,C$ 两点, $\therefore DB=DC$.
设 $D(0,y)$, 则 $CD=|2-y|$, $BD^2=4^2+y^2=16+y^2$,
$\therefore CD^2=(2-y)^2$, $\therefore 16+y^2=(2-y)^2$, 解得 $y=-3$,
故点 $D$ 的坐标为 $(0,-3)$.

3[2025浙江衢州期中,较难]定义:若圆内接三角形是等腰三角形,我们就称这样的三角形为“圆等三角形”.
(1)如图(1),AB是$\odot O$的一条弦(非直径),用无刻度直尺和圆规在$\odot O$上找一个点C,使得$△ ABC$是“圆等三角形”.
(2)如图(2),四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,连结对角线BD,$△ ABD$和$△ BCD$均为“圆等三角形”,且AB=AD.
①当$∠ A=140°$时,求$∠ ADC$的度数;
②当$∠ A=120°$,AB=6时,求阴影部分的面积.

(1) 如图(1)(答案不唯一).
(2) ①$\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $∠ A=140°$, $AB=AD$, $\therefore ∠ C=180° - ∠ A=40°$, $∠ ADB = ∠ ABD = \frac{180° - 140°}{2}=20°$. 当 $BC=BD$ 时, $∠ BDC = ∠ C=40°$, $\therefore ∠ ADC=20° + 40°=60°$. 当 $BD=DC$ 时, $∠ BDC=180° - 2∠ C=100°$, $\therefore ∠ ADC=20° + 100°=120°$. 当 $BC=CD$ 时, $∠ BDC = \frac{180° - ∠ C}{2}=70°$, $\therefore ∠ ADC=20° + 70°=90°$.
综上所述, $∠ ADC$ 的度数为 $60°$ 或 $120°$ 或 $90°$.
②如图(2),连结 $OA,OB,OC$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $∠ DAB=120°$,
$\therefore ∠ BCD=180° - ∠ DAB=60°$.
$\because △ BCD$ 是圆等三角形,
$\therefore △ BCD$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BDC=60°$,
$\therefore ∠ BOC=2∠ BDC=120°$.
$\because AB=AD$, $\therefore ∠ ADB = ∠ ABD = \frac{180° - 120°}{2}=30°$,
$\therefore ∠ AOB=2∠ ADB=60°$.
$\because BO=AO$, $\therefore △ AOB$ 是等边三角形, $\therefore OB=AB=6$.
过点 $O$ 作 $OE ⊥ BC$ 于 $E$, 易得 $BE=CE$, $∠ BOE=60°$, $\therefore ∠ OBE=30°$, $\therefore OE=\frac{1}{2}BO=3$, $\therefore BE=\sqrt{OB^2 - OE^2}=3\sqrt{3}$, $\therefore BC=2BE=6\sqrt{3}$, $\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × 6\sqrt{3} × 3=9\sqrt{3}$.
又$\because$ 扇形 $BOC$ 的面积为 $\frac{120 · π · 6^2}{360}=12π$, $\therefore$ 阴影部分的面积为 $12π - 9\sqrt{3}$.