1[中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=\sqrt{5}$,$BC=2$,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点D,以点B为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为 ()


A.$8-π$
B.$4-π$
C.$2-\dfrac{π}{4}$
D.$1-\dfrac{π}{4}$

1. D 【解析】根据题意知 $AC = \sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{ (\sqrt{5})^2-2^2 }=1$,则 $BE = BF = AD = AC = 1$. 设 $∠ B =n°,∠A = m°. \because ∠ACB = 90°, \therefore ∠B+∠A = 90°$,即$n+m=90, \therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = S_{△ ABC} -( S_{\mathrm{扇形}EBF} +S_{\mathrm{扇形}DAC} )= \dfrac{1}{2}×2×1-( \dfrac{nπ×1^2}{360}+\dfrac{mπ×1^2}{360} ) = 1-\dfrac{(n+m)π}{360}=1-\dfrac{π}{4}$, 故选 D.

2[2025浙江宁波调研,较难]如图,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠B=60°,以AC为直径的⊙O与菱形ABCD的各边相交,则图中阴影部分的面积为。

2. $4\sqrt{3}+\dfrac{4}{3}π$ 【解析】如,设$\odot O$ 与菱形ABCD的四条边分别交于 E,F,G,H,连结 OE,OF,OG,OH. 在菱形 ABCD 中,$AB=BC=4,∠B=60°, \therefore ∠D=60°,△ ABC$ 是等边三角形,$\therefore AC=4,∠EAO=∠OCF=60°, \therefore AO =\dfrac{1}{2}AC=2. \because OA=OE=OF=OC=OG=OH=2$,$∠EAO=60°, \therefore △ AOE$ 是等边三角形,$\therefore AE=OA=2,∠AOE=60°, \therefore BE=AB-AE=2$. 同理,$BF=2$,$\therefore BE=BF=OF=OE, \therefore$ 四边形 BEOF 是菱形,$\therefore ∠EOF=∠B=60°$. 同理,$△ AOH,△ COG,△ COF$ 都是等边三角形, 四边形 DHOG 是菱形,$\therefore ∠GOH=∠D=60°, \therefore$ 阴影部分面积为$\dfrac{2^2×\sqrt{3}}{4}×4+\dfrac{60π×2^2}{360}×2=4\sqrt{3}+\dfrac{4}{3}π$. 故答案为$4\sqrt{3}+\dfrac{4}{3}π$.

3[中]如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,连结AC,则阴影部分的面积是 ()


A.9
B.6
C.3
D.12

3. A 【解析】如,设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为 O,连结 BE,OE. $\because$ 四边形 ABCD是正方形,$\therefore ∠OCE=45°. \because OE=OC$,$\therefore ∠OEC=∠OCE=45°, \therefore ∠EOC=90°, \therefore OE$ 垂直平分 BC,$\therefore BE=CE$,$\therefore$ 弓形 BE 的面积=弓形 CE 的面积,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ ABE}=S_{△ ABC}-S_{△ BCE}=\dfrac{1}{2}×6×6-\dfrac{1}{2}×6×3=9$,故选 A.

4[2025浙江宁波期中,中]如图,半圆O的直径AB=2,弦CD//AB,∠CAD=30°.
(1)求弦CD的长.
(2)求阴影部分的面积(结果保留π).

4.【解】(1)连结 OC,OD,如,则$∠COD=2∠CAD=60°$.又$\because OC=OD, \therefore △ COD$ 是等边三角形, $\therefore CD = OD =\dfrac{1}{2}AB=1$.
(2)$\because CD// AB, \therefore S_{△ ACD}=S_{△ COD}, \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}COD}=\dfrac{60π×1^2}{360}=\dfrac{1}{6}π$.

5[中]如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的面积为()

A.$\frac{1}{4}π a^2 - a^2$
B.$\frac{1}{2}π a^2 - a^2$
C.$\frac{1}{4}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$
D.$\frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$

5. B 【解析】由题意可得 $S_{\mathrm{阴影}}=2S_{\mathrm{扇形}ABC}-S_{\mathrm{正方形}ABCD}=2×\dfrac{90π· a^2}{360}-a^2=\dfrac{1}{2}π a^2 -a^2$, 故选 B.

6[中]如图,正方形$ABCD$的边$AB=1$,$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{AC}$都是以1为半径的圆弧,两阴影部分的面积分别记为$S_1$和$S_2$,则$S_1 - S_2$等于（）

A.$\frac{π}{2} -1$
B.$1 - \frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3} -1$
D.$1 - \frac{π}{6}$

6. A 【解析】如. $S_{\mathrm{正方形}}=S_1+S_2+S_3+S_4$,① 两个扇形的面积和为$2S_{\mathrm{扇形}}=2S_1+S_3+S_4$,② ②-①,得$S_1-S_2=2S_{\mathrm{扇形}}-S_{\mathrm{正方形}}=\dfrac{90π×1^2×2}{360}-1=\dfrac{π}{2}-1$. 故选 A.