9[2025浙江中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=35°$,CD是斜边AB上的中线,以点C为圆心,CD长为半径作弧,与AB的另一个交点为点E.若$AB=2$,则$\overset{\frown}{DE}$的长为（）

A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$

(第9题图)
(第10题图)

9.B 【解析】连结 CE.
∵ CD 为 Rt△ABC 的斜边 AB 上的中线,
∴ CD = AD = BD = $\frac{1}{2}AB = 1$,
∴ ∠A =∠ACD = 35°,
∴ ∠CDB = 2∠A = 70°. 由题意可知CD = CE = 1,
∴ ∠CDB = ∠CEA = 70°,
∴ ∠DCE =180°-70°×2=40°,
∴ 弧 DE 的长为 $\frac{40π×1}{180}=\frac{2π}{9}$, 故选 B.

10[2025山西中考]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,分别以点$B,C$为圆心、$BC$的长为半径画弧,与$BA,CA$的延长线分别交于点$D,E$.若$BC=4$,则图中阴影部分的面积为()

A.$2π-4$
B.$4π-4$
C.$8π-8$
D.$4π-8$

10.D 【解析】
∵ ∠BAC = 90°, AB = AC, BC = 4,
∴ ∠ABC=∠ACB=45°,
∴ AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2\sqrt{2}$,
∴ $S_{阴影部分}=S_{扇形BCE}+S_{扇形DBC}-2S_{△ABC}=\frac{45π×4^2}{360}+$$\frac{45π×4^2}{360}-2×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4π-8$. 故选 D.

11 [2025江苏镇江中考]如图，直线$l_1 // l_2$，直线m分别交$l_1$，$l_2$于点A，B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交$l_2$，$l_1$于直线m同侧的点C，D，$∠ ADB=35°$，$AB=9$，则$\overset{\frown}{CD}$的长等于（）

A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$

11.C 【解析】连结 AC.
∵ l₁//l₂,
∴ ∠CBD = ∠ADB =35°. 根据作图可知, AB = AC = AD,
∴ ∠ADB =∠ABD = 35°, ∠ABC = ∠ACB,
∴ ∠ACB = ∠ABC =∠ABD+∠CBD=70°.
∵ l₁//l₂,
∴ ∠DAC = ∠ACB =70°,
∴ $\overset{\frown}{CD}$ 的长为 $\frac{70π×9}{180}=\frac{7}{2}π$. 故选 C.

12[2025山东烟台中考]如图,正六边形ABCDEF的边长为4,中心为点O,以点O为圆心,以AB长为半径作圆心角为$120°$的扇形,则图中阴影部分的面积为.

12.$\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$ 【解析】如图,连结 OB, OF, 过点 A 作AM⊥OB 于点 M.
∵ 正六边形 ABCDEF 中, 易得∠BOF = 120° = ∠GOH,OB = OF = AB = AF = 4, ∠ABO = ∠EFO = 60°,
∴ ∠BOG = ∠FOH, 四边形 OBAF 为菱形. 在△OGB与△OHF 中,$\begin{cases}∠GBO=∠HFO,\\OB=OF,\\∠GOB=∠HOF,\end{cases}$
∴ △OGB≅△OHF(ASA),
∴ $S_{△OGB}=S_{△OHF}$,
∴ $S_{菱形OBAF}=S_{五边形OGAFH}$.
∵ ∠ABO=60°,
∴ ∠BAM=30°,
∴ BM=2,
∴ AM=$2\sqrt{3}$,
∴ $S_{菱形ABOF}=S_{五边形OGAFH}=2\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$.
∵ $S_{扇形OPQ}=\frac{120}{360}π×4^2=\frac{16}{3}π$,
∴ $S_{阴影}=S_{扇形OPQ}-S_{五边形OGAFH}=\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$. 故答案为 $\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$.

13[2025江苏南通中考]在平面直角坐标系中，以点$A(3,0)$为圆心，$\sqrt{13}$为半径作$\odot A$.直线$y=kx-3k+2$与$\odot A$交于$B,C$两点，则$BC$的最小值为.

13.6 【解析】
∵ y=kx-3k+2=k(x-3)+2,
∴ 直线y=kx-3k+2 过定点 P(3,2). 连结 AP.
∵ 点 A(3,0),
∴ AP = $\sqrt{(3-3)^2+(2-0)^2}=2$. 又
∵ ⊙A 的半径为 $\sqrt{13}$,
∴ AP ＜ $\sqrt{13}$,
∴ 点 P 在⊙A 内部. 由于过圆内定点 P 的所有弦中, 与 AP 垂直的弦最短,即当直线 y=kx-3k+2 与 AP 垂直时, BC 的值最小,如图所示. 由垂径定理得 BP=CP,
∴ BC=2BP. 连结 AB. 在 Rt△ABP 中, AB=$\sqrt{13}$, AP=2, 由勾股定理得 BP = $\sqrt{AB^2-AP^2}=$$\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=3$,
∴ BC=2BP=6, 即 BC 的最小值为 6. 故答案为 6.

14[2025河北中考]如图(1),图(2),正方形ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上,且不与点D重合,半径OE=2,点E,F分别在边AD,CD上,DE=DF(DE≥2),扇形OEF的弧交线段OB于点M,记为$\widehat{EMF}$.
(1)如图(1),当AE=3时,求∠EMF的度数;
(2)如图(2),当四边形OEMF为菱形时,求DE的长;
(3)当∠EOF=150°时,求$\widehat{EMF}$的长.

14.【解】(1)
∵ 正方形 ABCD 的边长为 5,
∴ AD=5,∠EDF=90°.
∵ AE=3,
∴ ED=DF=2.
∵ OE=OF=2,
∴ ED=DF=OE=OF,
∴ 四边形 DEOF 是菱形.
∵ ∠EDF=90°,
∴ 四边形 DEOF 是正方形,
∴ ∠EOF=90°,
∴ ∠EMF=$\frac{1}{2}∠EOF=45°$.
(2)连结 EF 交 BD 于点 G,如图(1).
∵ 四边形 OEMF 为菱形,
∴ EM = MF = OE = OF = 2,
EF ⊥ BD.
∵ 扇形 OEF 所在圆的圆心 O 在对角线 BD 上,其弧交线段 OB 于点 M,
∴ OE=OM=EM=2,
∴ △OEM 是等边三角形,
∴ ∠MEO=60°.
在菱形 OEMF 中,EF 为对角线,EF⊥BD,
∴ ∠MEG=$\frac{1}{2}∠MEO=30°$,
∴ MG = OG = $\frac{1}{2}EM = 1$,
∴ EG = $\sqrt{EM^2-MG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∵ ∠EDG=45°, ∠EGD=90°,
∴ △EGD 是等腰直角三角形,
∴ EG=DG=$\sqrt{3}$,
∴ ED=$\sqrt{EG^2+DG^2}=\sqrt{6}$.
(3)①当$\overset{\frown}{EMF}$是劣弧时,如图(2).
∵ ∠EOF=150°,半径 OE=2,
∴ $l_{\overset{\frown}{EMF}}=\frac{150π×2}{180}=\frac{5π}{3}$.

②当$\overset{\frown}{EMF}$是优弧时,如图(3).
∵ ∠EOF=150°,半径 OE=2,
∴ $\overset{\frown}{EMF}$的圆心角为360°-150°=210°,
∴ $l_{\overset{\frown}{EMF}}=\frac{210π×2}{180}=\frac{7π}{3}$.
综上所述,$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{5π}{3}$或$\frac{7π}{3}$.