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1[2026 浙江衢州期中,中]已知$A=ax^2-3x+by-1$（$a,b$为常数），$B=3-2y-\frac{3}{2}x+x^2$，若无论$x,y$为何值，$A-2B$的值始终不变，则$b^a$的值为(
A.16
B.-16
C.-4
D.4
A
)A.16
B.-16
C.-4
D.4
答案
A 【解析】因为$A=ax^2-3x+by-1$,$B=3-2y-\frac{3}{2}x+x^2$,所以$A-2B=ax^2-3x+by-1-2(3-2y-\frac{3}{2}x+x^2)=ax^2-3x+by-1-6+4y+3x-2x^2=(a-2)x^2+(b+4)y-7$.因为无论$x,y$为何值,$A-2B$的值始终不变,所以$a-2=0$,$b+4=0$,所以$a=2$,$b=-4$,所以$b^a=(-4)^2=16$,故选A.
2 新考法[2026重庆秀山期末,较难]在5个表示数的字母$a,b,c,d,e$中(均不为零),不改变字母的顺序,在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式,且从字母$a,b$之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现,再在这个多项式中,任意添加两个括号(括号内至少有两个字母,且括号中不再含有括号),添加括号后仍只含有加减运算,然后再进行去括号运算,我们称为“添减括号操作”.例如:$(a+b)-(c+d)-e = a+b-c-d-e$, $(a+b)-(c+d-e)=a+b-c-d+e$.下列说法:①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果;②不存在两种“添减括号操作”,使它们的运算结果求和后为0;③存在“添减括号操作”,使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等.其中正确的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C 【解析】①初始多项式为$a+b-c+d-e$时,添加两个括号后,可能的结果为$a+b-c+d-e$,$a+b-c-d-e$,$a+b-c-d+e$;同理,初始多项式为$a-b+c-d+e$时,也产生3种不同的结果,总共有$3+3=6$(种)不同结果,故①错误;②无论括号如何添加,所有结果中字母$a$的系数始终为1,所以运算结果不可能为0,故②正确;③$(a+b)-c+(d-e)=a+b-c+d-e$,故③正确.故选C.
3[中]对$a,b,c,d$规定一个运算法则：$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$（等号右边是普通的减法运算）.
(1)计算：$\begin{vmatrix} 3&2 \\5&4 \end{vmatrix}=$ ______ ；
(2)化简：$\begin{vmatrix} a+b&2a-b \\ -1&3 \end{vmatrix}=$ ______ .
(1)计算：$\begin{vmatrix} 3&2 \\5&4 \end{vmatrix}=$ ______ ；
(2)化简：$\begin{vmatrix} a+b&2a-b \\ -1&3 \end{vmatrix}=$ ______ .
答案
(1)2 (2)$5a+2b$ 【解析】(1)$\begin{vmatrix} 3&2 \\5&4 \end{vmatrix}=3×4-2×5=12-10=2$,故答案为2.
(2)$\begin{vmatrix} a+b&2a-b \\ -1&3 \end{vmatrix}=3(a+b)-(2a-b)×(-1)=3a+3b+2a-b=5a+2b$.
(2)$\begin{vmatrix} a+b&2a-b \\ -1&3 \end{vmatrix}=3(a+b)-(2a-b)×(-1)=3a+3b+2a-b=5a+2b$.
4[2026浙江杭州期末,中]把关于x的多项式用f(x)表示,把x=a时的多项式的值用f(a)表示.如$f(x)=2x+1$,当x取不同值时,$f(x)$的运算结果如下:
$f(1)=2×1+1=3,f(-3)=2×(-3)+1=-5,f(m+1)=2(m+1)+1=2m+3,···$.
利用以上规律填空:
(1)计算:$f(2023)-f(2024)=$
(2)化简:$f(2m^2+3n)-f(2m^2-3n)=$
$f(1)=2×1+1=3,f(-3)=2×(-3)+1=-5,f(m+1)=2(m+1)+1=2m+3,···$.
利用以上规律填空:
(1)计算:$f(2023)-f(2024)=$
$-2$
;(2)化简:$f(2m^2+3n)-f(2m^2-3n)=$
$12n$
.答案
(1)$-2$ (2)$12n$ 【解析】(1)$f(2023)-f(2024)=(2×2023+1)-(2×2024+1)=4046+1-4048-1=-2$,故答案为$-2$.
(2)$f(2m^2+3n)-f(2m^2-3n)=2(2m^2+3n)+1-2(2m^2-3n)-1=4m^2+6n+1-4m^2+6n-1=12n$.故答案为$12n$.
(2)$f(2m^2+3n)-f(2m^2-3n)=2(2m^2+3n)+1-2(2m^2-3n)-1=4m^2+6n+1-4m^2+6n-1=12n$.故答案为$12n$.
5[中]已知有理数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，化简|b-a|-|2a+c|-|c+b|.
答案
【解】根据数轴得$a＜b＜0＜c$,$|b|＜|c|＜|a|$,所以$b-a＞0$,$2a+c＜0$,$c+b＞0$,故原式$=(b-a)-[-(2a+c)]-(c+b)=b-a+2a+c-c-b=a$.
6[中]如图,四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形,边长分别为a和6,点D在边EC上.
(1)求阴影部分的面积.(用含a的代数式表示)
(2)当a=4时,计算阴影部分的面积.
@刷素养 走向重高
(1)求阴影部分的面积.(用含a的代数式表示)
(2)当a=4时,计算阴影部分的面积.
@刷素养 走向重高
答案
【解】(1)
$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECGF}-S_{△ ABD}-S_{△ BGF}$
$\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\downarrow$
$\quad\quad a^2\quad\quad\quad 6^2\quad\quad \frac{1}{2}a^2\quad\quad \frac{1}{2}(a+6)×6$
阴影部分的面积为$a^2+6^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}(a+6)×6=\frac{1}{2}a^2-3a+18$.
(2)当$a=4$时,$S_{阴影}=\frac{1}{2}×4^2-3×4+18=8-12+18=14$.
$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECGF}-S_{△ ABD}-S_{△ BGF}$
$\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\downarrow$
$\quad\quad a^2\quad\quad\quad 6^2\quad\quad \frac{1}{2}a^2\quad\quad \frac{1}{2}(a+6)×6$
阴影部分的面积为$a^2+6^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}(a+6)×6=\frac{1}{2}a^2-3a+18$.
(2)当$a=4$时,$S_{阴影}=\frac{1}{2}×4^2-3×4+18=8-12+18=14$.
7 核心素养运算能力[难]【阅读理解】根据合并同类项法则,得$4x-2x+x=(4-2+1)x=3x$.类似地,如果把$(a+b)$看成一个整体,那么$4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)$,这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”,在多项式的化简与求值中,整体思想的应用极为广泛.
【尝试应用】
(1)把$(a-b)^2$看成一个整体,合并$4(a-b)^2 -6(a-b)^2 +8(a-b)^2$的结果是
(2)已知$x^2 -2y=1$,求$2021x^2 -4042y +1$的值.
【拓展探索】
(3)已知$a-2b=2,2b -c=-5,c -d=9$,求$(a -c)+(2b -d)-(2b -c)$的值.
【尝试应用】
(1)把$(a-b)^2$看成一个整体,合并$4(a-b)^2 -6(a-b)^2 +8(a-b)^2$的结果是
$6(a-b)^2$
.(2)已知$x^2 -2y=1$,求$2021x^2 -4042y +1$的值.
【拓展探索】
(3)已知$a-2b=2,2b -c=-5,c -d=9$,求$(a -c)+(2b -d)-(2b -c)$的值.
答案
(1)$6(a-b)^2$
(2)原式$=2021(x^2-2y)+1$.
因为$x^2-2y=1$,所以原式$=2021×1+1=2022$,即$2021x^2-4042y+1$的值为2022.
(3)原式$=a-c+2b-d-2b+c=(a-2b)+(2b-c)+(c-d)$.因为$a-2b=2$,$2b-c=-5$,$c-d=9$,所以原式$=2+(-5)+9=6$,即$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)$的值为6.
(2)原式$=2021(x^2-2y)+1$.
因为$x^2-2y=1$,所以原式$=2021×1+1=2022$,即$2021x^2-4042y+1$的值为2022.
(3)原式$=a-c+2b-d-2b+c=(a-2b)+(2b-c)+(c-d)$.因为$a-2b=2$,$2b-c=-5$,$c-d=9$,所以原式$=2+(-5)+9=6$,即$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)$的值为6.
