登录
1.「2026河南周口月考改编」下列各式中，化简正确的是（
A.$\sqrt{49×36}=\sqrt{49}+\sqrt{36}=7+6=13$
B.$\sqrt{(-4)×(-49)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-49}=14$
C.$\sqrt{41^2 - 40^2}=\sqrt{41+40}×\sqrt{41-40}=9×1=9$
D.$\sqrt{16\frac{1}{4}}=\sqrt{16}×\sqrt{\frac{1}{4}}=4×\frac{1}{2}=2$
C
）A.$\sqrt{49×36}=\sqrt{49}+\sqrt{36}=7+6=13$
B.$\sqrt{(-4)×(-49)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-49}=14$
C.$\sqrt{41^2 - 40^2}=\sqrt{41+40}×\sqrt{41-40}=9×1=9$
D.$\sqrt{16\frac{1}{4}}=\sqrt{16}×\sqrt{\frac{1}{4}}=4×\frac{1}{2}=2$
答案
$\sqrt{49×36} = \sqrt{49}×\sqrt{36} = 7×6 = 42$,故选项 A 错误.
$\sqrt{(-4)×(-49)} = \sqrt{4} × \sqrt{49} = 14$,故选项 B 错误.
$\sqrt{41^2-40^2} = \sqrt{41+40}×\sqrt{41-40} = 9×1 = 9$,故选项 C 正确.
$\sqrt{16\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$,故选项 D 错误.
$\sqrt{(-4)×(-49)} = \sqrt{4} × \sqrt{49} = 14$,故选项 B 错误.
$\sqrt{41^2-40^2} = \sqrt{41+40}×\sqrt{41-40} = 9×1 = 9$,故选项 C 正确.
$\sqrt{16\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$,故选项 D 错误.
2.「2026上海徐汇期中」下列从左到右的变形不一定正确的是（
A.$\sqrt{-a} · \sqrt{-b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{\dfrac{b}{a^2}} = \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}$
D.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
D
）A.$\sqrt{-a} · \sqrt{-b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{\dfrac{b}{a^2}} = \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}$
D.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
答案
当 $a＜0,b＜0$ 时,选项 D 不成立.故选 D.
3.化简:
(1)$\sqrt{0.25×0.16}$. (2)$\sqrt{49×21}$. (3)$\sqrt{\dfrac{3}{16}}$.
(1)$\sqrt{0.25×0.16}$. (2)$\sqrt{49×21}$. (3)$\sqrt{\dfrac{3}{16}}$.
答案
(1)$\sqrt{0.25×0.16} = \sqrt{0.25}×\sqrt{0.16} = 0.5×0.4 = 0.2$.
(2)$\sqrt{49×21} = \sqrt{49}×\sqrt{21} = 7\sqrt{21}$.
(3)$\sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
(2)$\sqrt{49×21} = \sqrt{49}×\sqrt{21} = 7\sqrt{21}$.
(3)$\sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
4.「2026上海浦东新区期末」下列二次根式中，属于最简二次根式的是（
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{0.2}$
C
）A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{0.2}$
答案
A.$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = \sqrt{4}×\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$, 故 $\sqrt{12}$ 不是最简二次根式；
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1×2}{2×2}} = \frac{\sqrt{1×2}}{\sqrt{2×2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, 故 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 不是最简二次根式；
C.$\sqrt{7}$ 是最简二次根式；
D.$\sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{1×5}{5×5}} = \frac{\sqrt{1×5}}{\sqrt{5×5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$, 故 $\sqrt{0.2}$ 不是最简二次根式.
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1×2}{2×2}} = \frac{\sqrt{1×2}}{\sqrt{2×2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, 故 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 不是最简二次根式；
C.$\sqrt{7}$ 是最简二次根式；
D.$\sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{1×5}{5×5}} = \frac{\sqrt{1×5}}{\sqrt{5×5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$, 故 $\sqrt{0.2}$ 不是最简二次根式.
5.「2026 四川达州月考」若最简二次根式$\sqrt[a+1]{2a+5}$与$\sqrt{4a+3b}$相等，则$a+b=$
2
.答案
由题意可知 $a+1=2,2a+5=4a+3b$,解得 $a=1$,$b=1$,所以 $a+b=2$.
6.下列各式中,哪些是最简二次根式,哪些不是?
对不是最简二次根式的进行化简.
(1)$\sqrt{45}$. (2)$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$. (3)$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
(4)$\sqrt{0.5}$. (5)$\sqrt{1\dfrac{4}{5}}$.
对不是最简二次根式的进行化简.
(1)$\sqrt{45}$. (2)$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$. (3)$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
(4)$\sqrt{0.5}$. (5)$\sqrt{1\dfrac{4}{5}}$.
答案
(1)被开方数中含有能开得尽方的因数,因此原式不是最简二次根式, $\sqrt{45} = \sqrt{9×5} = 3\sqrt{5}$.
(2)被开方数中含有分母,因此原式不是最简二次根式, $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
(3)$\frac{\sqrt{5}}{3}$的被开方数中不含分母,且不含能开得尽方的因数或因式,因此是最简二次根式.
(4)被开方数是小数,原式不是最简二次根式, $\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
(5)被开方数中含有分母,因此原式不是最简二次根式, $\sqrt{1\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
(2)被开方数中含有分母,因此原式不是最简二次根式, $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
(3)$\frac{\sqrt{5}}{3}$的被开方数中不含分母,且不含能开得尽方的因数或因式,因此是最简二次根式.
(4)被开方数是小数,原式不是最简二次根式, $\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
(5)被开方数中含有分母,因此原式不是最简二次根式, $\sqrt{1\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
7.「2026福建福州期末」下列二次根式中，可以与$\sqrt{3}$合并的是（
A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{33}$
D.$\sqrt{300}$
D
）A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{33}$
D.$\sqrt{300}$
答案
$\sqrt{9}=3$,不能与$\sqrt{3}$合并,故 A 不符合题意; $\sqrt{30}$是最简二次根式,不能与$\sqrt{3}$合并,故 B 不符合题意; $\sqrt{33}$是最简二次根式,不能与$\sqrt{3}$合并,故 C 不符合题意; $\sqrt{300} = \sqrt{3×100} = 10\sqrt{3}$,能与$\sqrt{3}$合并,故 D 符合题意.故选 D.
8.下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$4-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$4-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
答案
$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并,$4$与$-2\sqrt{3}$不能合并,$\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.故选 D.
9.「2026上海青浦期中改编」等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$,则其周长为
$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
.答案
当等腰三角形的腰长为$2\sqrt{3}$时,周长为 $2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$;
当等腰三角形的腰长为 $3\sqrt{2}$ 时,周长为 $2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$.
综上,等腰三角形的周长为 $4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$ 或 $2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$.
当等腰三角形的腰长为 $3\sqrt{2}$ 时,周长为 $2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$.
综上,等腰三角形的周长为 $4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$ 或 $2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$.
10.计算:
(1)$\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{96}$.
(2)$\sqrt{28}-\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{175}$.
(3)$\sqrt{20}-10\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{45}$.
(4)$(\sqrt{32}-\sqrt{\frac{1}{8}})×\sqrt{2}$.
(1)$\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{96}$.
(2)$\sqrt{28}-\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{175}$.
(3)$\sqrt{20}-10\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{45}$.
(4)$(\sqrt{32}-\sqrt{\frac{1}{8}})×\sqrt{2}$.
答案
(1)$\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{96} = 2\sqrt{6}+3\sqrt{6}-4\sqrt{6} = \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{28}-\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{175} = 2\sqrt{7}-\frac{\sqrt{7}}{7}+5\sqrt{7} = \frac{48\sqrt{7}}{7}$.
(3)$\sqrt{20}-10\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{45} = 2\sqrt{5}-10×\frac{\sqrt{5}}{5}+3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
(4)$(\sqrt{32}-\sqrt{\frac{1}{8}})×\sqrt{2} = \sqrt{32}×\sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{8}}×\sqrt{2} = \sqrt{32×2}-\sqrt{\frac{1}{8}×2} = 8-\frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.
(2)$\sqrt{28}-\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{175} = 2\sqrt{7}-\frac{\sqrt{7}}{7}+5\sqrt{7} = \frac{48\sqrt{7}}{7}$.
(3)$\sqrt{20}-10\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{45} = 2\sqrt{5}-10×\frac{\sqrt{5}}{5}+3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
(4)$(\sqrt{32}-\sqrt{\frac{1}{8}})×\sqrt{2} = \sqrt{32}×\sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{8}}×\sqrt{2} = \sqrt{32×2}-\sqrt{\frac{1}{8}×2} = 8-\frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.
