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11.「2026 贵州铜仁期中，★☆」设 $ a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3} $，则 $ \sqrt{0.02} × \sqrt{3} $ 可以表示为（
A.$\frac{ab}{100}$
B.$10ab$
C.$\frac{ab}{10}$
D.$\frac{1}{ab}$
C
）A.$\frac{ab}{100}$
B.$10ab$
C.$\frac{ab}{10}$
D.$\frac{1}{ab}$
答案
原式$=\sqrt{\frac{2}{100}}×\sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{10}×\sqrt{3}$,当 $a=\sqrt{2},b=\sqrt{3}$ 时,原式$=\frac{ab}{10}$.故选 C.
八年级
上册
北师大版
12.「2026河北石家庄四十八中期中，★☆」如图，从一个大正方形中裁去面积分别为30 $\mathrm{cm}^2$ 和48 $\mathrm{cm}^2$ 的两个小正方形，则余下部分的面积为（
A.$78 \mathrm{cm}^2$
B.$(4\sqrt{3}+\sqrt{30})^2 \mathrm{cm}^2$
C.$12\sqrt{10} \mathrm{cm}^2$
D.$24\sqrt{10} \mathrm{cm}^2$
上册
北师大版
12.「2026河北石家庄四十八中期中，★☆」如图，从一个大正方形中裁去面积分别为30 $\mathrm{cm}^2$ 和48 $\mathrm{cm}^2$ 的两个小正方形，则余下部分的面积为（
D
）A.$78 \mathrm{cm}^2$
B.$(4\sqrt{3}+\sqrt{30})^2 \mathrm{cm}^2$
C.$12\sqrt{10} \mathrm{cm}^2$
D.$24\sqrt{10} \mathrm{cm}^2$
答案
由题意可得大正方形的边长为 $\sqrt{30}+\sqrt{48}=(\sqrt{30}+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$,所以余下部分的面积是 $(\sqrt{30}+4\sqrt{3})^2-30-48=24\sqrt{10}(\mathrm{cm}^2)$.
13.「2026江苏扬州月考，★☆」已知二次根式$\sqrt{23-a}$与$\sqrt{8}$化成最简二次根式后，被开方数相同.若a是正整数，则a的最小值为
5
.答案
因为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,二次根式 $\sqrt{23-a}$ 与$\sqrt{8}$化成最简二次根式后,被开方数相同,所以分情况讨论:当 $23-a=2$ 时,$a=21$;当 $23-a=8$ 时,$a=15$;当 $23-a=18$ 时,$a=5$;当 $23-a=32$ 时,$a=-9$(不合题意,舍去).所以符合条件的正整数 $a$ 的值为 5,15,21,所以 $a$ 的最小值为 5.
14.「2026河南新乡月考，★☆」古希腊数学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是$a,b,c$,记$p=\frac{a+b+c}{2}$,那么这个三角形的面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.若$a=5,b=8,c=7$,三角形面积$S$的整数部分为$m$,则$m$的值为
17
.答案
因为 $p=\frac{a+b+c}{2},a=5,b=8,c=7$,所以 $p=\frac{5+8+7}{2}=10$,
所以 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-8)×(10-7)}=10\sqrt{3}$,
因为 $17＜10\sqrt{3}＜18$,所以 $10\sqrt{3}$ 的整数部分是 17.
因为 $S$ 的整数部分为 $m$,所以 $m$ 的值为 17.
所以 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-8)×(10-7)}=10\sqrt{3}$,
因为 $17＜10\sqrt{3}＜18$,所以 $10\sqrt{3}$ 的整数部分是 17.
因为 $S$ 的整数部分为 $m$,所以 $m$ 的值为 17.
15.「2026河南郑州月考改编，★☆」对于任意不相等的两个实数$a,b$,定义运算$*$如下:当$a＜b$时,$a*b=2\sqrt{a}+\sqrt{b}$,当$a＞b$时,$a*b=2\sqrt{a}-\sqrt{b}$,例如:$5*2=2\sqrt{5}-\sqrt{2}$,按上述规定,计算$(3*2)-(8*12)$的结果为
$-5\sqrt{2}$
.答案
根据新定义可知 $3 * 2=2\sqrt{3}-\sqrt{2}$,
$8 * 12=2\sqrt{8}+\sqrt{12}=4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$,所以$(3 * 2)-(8 * 12)=(2\sqrt{3}-\sqrt{2})-(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})=2\sqrt{3}-\sqrt{2}-4\sqrt{2}-2\sqrt{3}=-5\sqrt{2}$.
$8 * 12=2\sqrt{8}+\sqrt{12}=4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$,所以$(3 * 2)-(8 * 12)=(2\sqrt{3}-\sqrt{2})-(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})=2\sqrt{3}-\sqrt{2}-4\sqrt{2}-2\sqrt{3}=-5\sqrt{2}$.
16.「2026湖南湘潭期中，★☆」已知$\sqrt{28}$与最简二次根式$\sqrt{2a+1}$可以合并，$b$是8的立方根.
(1)求$a+3b$的平方根.
(2)若$x=\sqrt{b}-a$，求$x^2+6x+9$的值.
(1)求$a+3b$的平方根.
(2)若$x=\sqrt{b}-a$，求$x^2+6x+9$的值.
答案
(1) $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$,因为 $\sqrt{28}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2a+1}$ 可以合并,所以 $2a+1=7$,所以 $a=3$.
因为 $b$ 是 8 的立方根,所以 $b=2$,
所以 $a+3b=3+6=9$,
所以 $a+3b$ 的平方根为 $\pm\sqrt{9}=\pm3$.
(2)因为 $a=3,b=2$,所以 $x=\sqrt{b}-a=\sqrt{2}-3$,所以 $x^2+6x+9=(\sqrt{2}-3)^2+6×(\sqrt{2}-3)+9=2$.
因为 $b$ 是 8 的立方根,所以 $b=2$,
所以 $a+3b=3+6=9$,
所以 $a+3b$ 的平方根为 $\pm\sqrt{9}=\pm3$.
(2)因为 $a=3,b=2$,所以 $x=\sqrt{b}-a=\sqrt{2}-3$,所以 $x^2+6x+9=(\sqrt{2}-3)^2+6×(\sqrt{2}-3)+9=2$.
17.核心素养运算能力 二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象.
(1)具体运算,发现规律:
① $\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
② $\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
③ $\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$；
④ $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\_\_\_\_\_\_$.
(2)观察、归纳,得出猜想,假设$n$为正整数$(n≥2)$,用含$n$的式子表示上述运算规律(提醒:注意带分数的书写规范).
(3)证明你的猜想.
(1)具体运算,发现规律:
① $\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
② $\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
③ $\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$；
④ $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\_\_\_\_\_\_$.
(2)观察、归纳,得出猜想,假设$n$为正整数$(n≥2)$,用含$n$的式子表示上述运算规律(提醒:注意带分数的书写规范).
(3)证明你的猜想.
答案
(1)$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$.
(2)$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$.
(3)证明:因为 $\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}} = \sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$,
所以 $\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$.
(2)$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$.
(3)证明:因为 $\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}} = \sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$,
所以 $\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$.
