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1.计算$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{18} ÷ 2\sqrt{2}$的结果为（
A.1
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
C
）A.1
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
原式=$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
2.「2026重庆一中期末」计算$(2\sqrt{42}+\sqrt{24})÷\sqrt{6}$的结果在之间（
A.5和6
B.6和7
C.7和8
D.8和9
C
）A.5和6
B.6和7
C.7和8
D.8和9
答案
$(2\sqrt{42}+\sqrt{24})÷\sqrt{6}=2\sqrt{42}÷\sqrt{6}+\sqrt{24}÷\sqrt{6}=2\sqrt{7}+2=\sqrt{28}+2$.因为$25＜28＜36$,所以$5＜\sqrt{28}＜6$,所以$7＜\sqrt{28}+2＜8$,所以结果在7和8之间.故选C.
3.「2026河南新乡月考」陈老师在黑板上写了一个式子：$(3-\sqrt{6})□(\sqrt{6}+3)$，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号是（
A.×或÷
B.+或÷
C.+或×
D.-或×
C
）A.×或÷
B.+或÷
C.+或×
D.-或×
答案
当“□”中的运算符号为+时,$(3-\sqrt{6})+(\sqrt{6}+3)=6$,结果为有理数,符合题意;当“□”中的运算符号为-时,$(3-\sqrt{6})-(\sqrt{6}+3)=-2\sqrt{6}$,结果为无理数,不符合题意;当“□”中的运算符号为×时,$(3-\sqrt{6})×(\sqrt{6}+3)=9-6=3$,结果为有理数,符合题意;当“□”中的运算符号为÷时,$(3-\sqrt{6})÷(\sqrt{6}+3)=5-2\sqrt{6}$,结果为无理数,不符合题意.故选C.
4.「2026河北石家庄期末」有一个运算程序如图所示，若开始输入的$n$的值为$\sqrt{3}$，则最后输出的结果是（
A.25
B.27
C.$15+7\sqrt{3}$
D.$25+\sqrt{3}$
C
）A.25
B.27
C.$15+7\sqrt{3}$
D.$25+\sqrt{3}$
答案
当$n=\sqrt{3}$时,$n(n+1)=\sqrt{3}×(\sqrt{3}+1)=3+\sqrt{3}＜26$,当$n=3+\sqrt{3}$时,$n(n+1)=(3+\sqrt{3})×(4+\sqrt{3})=15+7\sqrt{3}＞26$.因此,最后输出的结果是$15+7\sqrt{3}$.故选C.
5. 学科 特色 多解法 「2026 山东济南期末」已知 $x = \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$，$y = \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$，则代数式 $x^2 + 3xy + y^2$ 的值为
9
。答案
解析 【解法一】$x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$,将$x=\sqrt{2}-1,y=\sqrt{2}+1$代入$x^2+3xy+y^2$,得$(\sqrt{2}-1)^2+3×(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}+1)^2=9$.
【解法二】$x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$,所以$x+y=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2},xy=(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)=2-1=1$,所以$x^2+3xy+y^2=(x+y)^2+xy=(2\sqrt{2})^2+1=8+1=9$.
【解法二】$x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$,所以$x+y=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2},xy=(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)=2-1=1$,所以$x^2+3xy+y^2=(x+y)^2+xy=(2\sqrt{2})^2+1=8+1=9$.
6.「2026 河南洛阳期末」计算：
(1) $\sqrt{27} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{3}$
(2) $\sqrt{2} × \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{48} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
(3) $(2\sqrt{3} - 1)^2 - (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}) × (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$
(1) $\sqrt{27} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{3}$
(2) $\sqrt{2} × \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{48} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
(3) $(2\sqrt{3} - 1)^2 - (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}) × (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$
答案
(1) 原式=$3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{11\sqrt{3}}{3}$.
(2) 原式=$\sqrt{6}-\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}-2$.
(3) 原式=$13-4\sqrt{3}-[(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2]=13-4\sqrt{3}-(12-18)=19-4\sqrt{3}$.
(2) 原式=$\sqrt{6}-\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}-2$.
(3) 原式=$13-4\sqrt{3}-[(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2]=13-4\sqrt{3}-(12-18)=19-4\sqrt{3}$.
7.先化简,再求值:$(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})-a(a-\sqrt{5})$,其中$a=\sqrt{5}+\frac{1}{2}$.
答案
$(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})-a(a-\sqrt{5})=a^2-3-a^2+\sqrt{5}a=\sqrt{5}a-3$,当$a=\sqrt{5}+\frac{1}{2}$时,原式=$\sqrt{5}(\sqrt{5}+\frac{1}{2})-3=5+\frac{\sqrt{5}}{2}-3=2+\frac{\sqrt{5}}{2}$.
8.「2026湖南常德期中，★☆」学习小组设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算。规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（
A.小明和小丽
B.小红和小亮
C.小明和小亮
D.小丽和小红
D
）A.小明和小丽
B.小红和小亮
C.小明和小亮
D.小丽和小红
答案
因为$(\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{18}})÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$,所以小明没有出现错误.因为$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}=\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{18}×\frac{1}{3}}=\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{54}}$,所以小丽出现错误.因为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}=2+\sqrt{\frac{1×6}{6×6}}=2+\frac{\sqrt{6}}{6}$,所以小红出现错误.因为$2+\sqrt{\frac{1}{36}}=2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}$,所以小亮没有出现错误.故选D.
9.「★☆」规定一种新运算：$a⊙b = a^2 - \sqrt{2}b$，例如：$3⊙2 = 3^2 - \sqrt{2}×2 = 9 - 2\sqrt{2}$，则$(2\sqrt{5} - 1)⊙\sqrt{10}$的计算结果是（
A.$10$
B.$21 - 6\sqrt{5}$
C.$21 - 3\sqrt{5}$
D.$10 + 6\sqrt{5}$
B
）A.$10$
B.$21 - 6\sqrt{5}$
C.$21 - 3\sqrt{5}$
D.$10 + 6\sqrt{5}$
答案
由题意可知$(2\sqrt{5}-1)⊙\sqrt{10}=(2\sqrt{5}-1)^2-\sqrt{2}×\sqrt{10}=21-4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=21-6\sqrt{5}$.故选B.
