10.「2026四川雅安期中改编，★☆」若$5+\sqrt{11}$的整数部分为$x$，小数部分为$y$，则$(x-\sqrt{11})(y+11)$的值是（）

A.$75-16\sqrt{11}$
B.$75+16\sqrt{11}$
C.$53$
D.$-53$

因为$9＜11＜16$,所以$3＜\sqrt{11}＜4$,所以$8＜5+\sqrt{11}＜9$,所以$x=8,y=5+\sqrt{11}-8=\sqrt{11}-3$,所以$(x-\sqrt{11})·(y+11)=(8-\sqrt{11})×(\sqrt{11}-3+11)=53$.故选C.

11.「2026北京昌平期中，★☆」阅读与计算:斐波那契是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、万寿菊等)的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第$n$($n$为整数且$n ＞ 0$)个数用代数式表示为$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n $$ (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$,这是用无理数表示有理数的一个范例.请计算斐波那契数列中的第2个数:.

解析 当$n=2$时,$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]=\frac{1}{\sqrt{5}}[\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$.

12.「★★☆」我们知道$(\sqrt{13}+3)(\sqrt{13}-3)=4$，因此在计算$\frac{1}{\sqrt{13}-3}$时，分子和分母同时乘$(\sqrt{13}+3)$，从而将分母中的二次根式去掉，这就是分母有理化.
(1)化简:$\frac{1}{4+\sqrt{15}}$.
(2)若$a=\frac{1}{3-\sqrt{7}}$,求$4a^2 -12a +5$的值.
(3)若$a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}},b=\frac{1}{\sqrt{5}-2}$,比较$a$和$b$的大小.

(1)$\frac{1}{4+\sqrt{15}}=\frac{4-\sqrt{15}}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=4-\sqrt{15}$.
(2)因为$a=\frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$,
所以$4a^2-12a+5=4×(\frac{3+\sqrt{7}}{2})^2-12×\frac{3+\sqrt{7}}{2}+5=(3+\sqrt{7})^2-18-6\sqrt{7}+5=9+6\sqrt{7}+7-18-6\sqrt{7}+5=3$.
(3)$a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\sqrt{6}+\sqrt{5},b=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$,
因为$\sqrt{6}＞2$,所以$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2$,
所以$a＞b$.

13. 核心素养 创新意识 聚焦中考 代数推理 「2026 河南郸城实验中学月考」
阅读下面材料：
将边长分别为 $a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b}$ 的正方形面积分别记为 $S_1,S_2,S_3,S_4$，
则 $S_2 - S_1 = (a+\sqrt{b})^2 - a^2$
$= [(a+\sqrt{b})+a] · [(a+\sqrt{b}) - a]$
$= (2a+\sqrt{b}) · \sqrt{b}$
$= 2a\sqrt{b} + b.$
例如:当 $a=1,b=3$ 时, $S_2 - S_1 = 3 + 2\sqrt{3}.$
根据以上材料,解答下列问题.
(1)当 $a=1,b=3$ 时, $S_3 - S_2 =$ , $S_4 - S_3 =$ .
(2)当 $a=1,b=3$ 时,把边长为 $a+n\sqrt{b}$ 的正方形面积记为 $S_{n+1}$,其中 $n$ 是正整数,根据(1)中的计算结果,你能猜出 $S_{n+1} - S_n$ 等于多少吗?并证明你的猜想.
(3)当 $a=1,b=3$ 时,令 $t_1 = S_2 - S_1, t_2 = S_3 - S_2$, $t_3 = S_4 - S_3, ······, t_n = S_{n+1} - S_n$,且 $T = t_1 + t_2 + t_3 + ··· + t_{50}$,求 $T$ 的值.

(1)$S_3-S_2=(a+2\sqrt{b})^2-(a+\sqrt{b})^2=(a+2\sqrt{b}+a+\sqrt{b})·[a+2\sqrt{b}-(a+\sqrt{b})]=(2a+3\sqrt{b})·\sqrt{b}=2a\sqrt{b}+3b$,
当$a=1,b=3$时,$S_3-S_2=9+2\sqrt{3}$.
$S_4-S_3=(a+3\sqrt{b})^2-(a+2\sqrt{b})^2=(a+3\sqrt{b}+a+2\sqrt{b})·[a+3\sqrt{b}-(a+2\sqrt{b})]=(2a+5\sqrt{b})·\sqrt{b}=2a\sqrt{b}+5b$,
当$a=1,b=3$时,$S_4-S_3=15+2\sqrt{3}$.
故答案为$9+2\sqrt{3};15+2\sqrt{3}$.
(2)$S_{n+1}-S_n=6n-3+2\sqrt{3}$.
证明:$S_{n+1}-S_n=(1+\sqrt{3}n)^2-[1+\sqrt{3}(n-1)]^2=[2+\sqrt{3}(2n-1)]×\sqrt{3}=3(2n-1)+2\sqrt{3}=6n-3+2\sqrt{3}$.
(3)当$a=1,b=3$时,$T=t_1+t_2+t_3+\dots+t_{50}=S_2-S_1+S_3-S_2+S_4-S_3+\dots+S_{51}-S_{50}=S_{51}-S_1=(1+50\sqrt{3})^2-1=7500+100\sqrt{3}$.