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13.「2026河南周口月考，★☆」如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32。计算$\frac{m-n}{\sqrt{2}}$的结果为（
A.1
B.-2
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$
B
）A.1
B.-2
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$
答案
由题意得 $m=\sqrt{8},n=\sqrt{32}$, 所以 $\frac{m-n}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{8}-\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}-\sqrt{16}=2-4=-2$.故选 B.
14.「★☆」已知$k=\sqrt{2}×(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，则与$k$最接近的整数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
$k=\sqrt{2}×(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{2}×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2]=2\sqrt{2}$.因为 $1.4＜\sqrt{2}＜1.5$,所以 $2.8＜2\sqrt{2}＜3$,所以与 $k$ 最接近的整数是 3.故选 B.
15.「2026山西晋中月考改编，★☆」一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是$\sqrt{150}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$。现将一部分水倒入一个高为5 cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器中装满水时，塑料容器中的水面下降了$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
(1)求玻璃容器的容积。
(2)求玻璃容器的底面半径($π$取3)。
(1)求玻璃容器的容积。
(2)求玻璃容器的底面半径($π$取3)。
答案
(1) 由题意可知玻璃容器的容积为 $\sqrt{150} ×\sqrt{30}×\sqrt{5} = \sqrt{150×30×5} = \sqrt{22500}=150\ \mathrm{cm^3}$.
(2) 设玻璃容器的底面半径为 $r\ \mathrm{cm}$. 由题意可知 $5πr^2=150$,即 $5×3r^2=150$,解得 $r=\sqrt{10}$(已舍负值),故玻璃容器的底面半径为 $\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$.
(2) 设玻璃容器的底面半径为 $r\ \mathrm{cm}$. 由题意可知 $5πr^2=150$,即 $5×3r^2=150$,解得 $r=\sqrt{10}$(已舍负值),故玻璃容器的底面半径为 $\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$.
16. 核心 素养 创新意识 阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$.善于思考的小明进行了以下探索:设$a+\sqrt{2}b=(m+\sqrt{2}n)^2(a,b,m,n均为整数)$,则有$a+\sqrt{2}b=m^2+2n^2+2\sqrt{2}mn$,所以$a=m^2+2n^2,b=2mn$.这样小明就找到了一种把类似于$a+\sqrt{2}b$的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题.
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a+\sqrt{3}b=(m+\sqrt{3}n)^2$,用含$m,n$的式子分别表示$a,b$,得$a=$,$b=$.
(2)利用上面探索的结论,找一组正整数$a,b,m,n$填空: + $\sqrt{3}=$(______ + ______$\sqrt{3})^2$.
(3)若$a+4\sqrt{3}=(m+\sqrt{3}n)^2$,且$a,m,n$均为正整数,求$a$的值.
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$.善于思考的小明进行了以下探索:设$a+\sqrt{2}b=(m+\sqrt{2}n)^2(a,b,m,n均为整数)$,则有$a+\sqrt{2}b=m^2+2n^2+2\sqrt{2}mn$,所以$a=m^2+2n^2,b=2mn$.这样小明就找到了一种把类似于$a+\sqrt{2}b$的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题.
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a+\sqrt{3}b=(m+\sqrt{3}n)^2$,用含$m,n$的式子分别表示$a,b$,得$a=$,$b=$.
(2)利用上面探索的结论,找一组正整数$a,b,m,n$填空: + $\sqrt{3}=$(______ + ______$\sqrt{3})^2$.
(3)若$a+4\sqrt{3}=(m+\sqrt{3}n)^2$,且$a,m,n$均为正整数,求$a$的值.
答案
(1) 因为 $a+\sqrt{3}b=(m+\sqrt{3}n)^2$,所以 $a+\sqrt{3}b=m^2+3n^2+2\sqrt{3}mn$,所以 $a=m^2+3n^2,b=2mn$.
(2) 答案不唯一,如 $79+20\sqrt{3}=(2+5\sqrt{3})^2$.
(3) 因为 $a+4\sqrt{3}=(m+\sqrt{3}n)^2$,所以 $a+4\sqrt{3}=m^2+3n^2+2\sqrt{3}mn$,所以 $a=m^2+3n^2,2mn=4$,所以 $mn=2$,因为 $a,m,n$ 均为正整数,所以当 $m=1,n=2$ 时, $a=1^2+3×2^2=13$,当 $m=2,n=1$ 时, $a=2^2+3×1^2=7$.综上,$a$ 的值是 13 或 7.
(2) 答案不唯一,如 $79+20\sqrt{3}=(2+5\sqrt{3})^2$.
(3) 因为 $a+4\sqrt{3}=(m+\sqrt{3}n)^2$,所以 $a+4\sqrt{3}=m^2+3n^2+2\sqrt{3}mn$,所以 $a=m^2+3n^2,2mn=4$,所以 $mn=2$,因为 $a,m,n$ 均为正整数,所以当 $m=1,n=2$ 时, $a=1^2+3×2^2=13$,当 $m=2,n=1$ 时, $a=2^2+3×1^2=7$.综上,$a$ 的值是 13 或 7.
