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11.「2025河北中考，★☆」若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11.C 方程 $x(x+2)-3=0$ 可整理为 $x^2+2x-3=0$.由根与系数的关系得两根之和 $m=-2$,两根之积 $n=-3$,
$\therefore m,n$ 都为负数,$\therefore$ 点 $(m,n)$ 在第三象限.故选 C.
$\therefore m,n$ 都为负数,$\therefore$ 点 $(m,n)$ 在第三象限.故选 C.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先需要把题目给出的一元二次方程整理成$ax^2+bx+c=0$的标准一般形式，对应找到系数$a、b、c$的值；②题目要求两根之和与两根之积，直接用一元二次方程根与系数的关系计算即可，不需要解方程求根，可提高解题效率；③得到$m、n$的数值后，根据四个象限的坐标符号特点（第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$），即可判断点所在的象限。
【解析】
首先整理给定方程：
将$x(x+2)-3=0$展开并移项，得到一元二次方程的一般形式：$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$，
根据根与系数的关系：两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，
代入系数计算可得：$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$，
因为$m=-2＜0$，$n=-3＜0$，横、纵坐标均为负的点位于第三象限，因此点$(m,n)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 根与系数的关系 2. 象限点坐标特征 3. 一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和平面直角坐标系的基础知识点结合考查，难度较低，熟练掌握韦达定理和各象限点的坐标符号规律即可快速解题，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.85
解题思路可分为三步：①首先需要把题目给出的一元二次方程整理成$ax^2+bx+c=0$的标准一般形式，对应找到系数$a、b、c$的值；②题目要求两根之和与两根之积，直接用一元二次方程根与系数的关系计算即可，不需要解方程求根，可提高解题效率；③得到$m、n$的数值后，根据四个象限的坐标符号特点（第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$），即可判断点所在的象限。
【解析】
首先整理给定方程：
将$x(x+2)-3=0$展开并移项，得到一元二次方程的一般形式：$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$，
根据根与系数的关系：两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，
代入系数计算可得：$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$，
因为$m=-2＜0$，$n=-3＜0$，横、纵坐标均为负的点位于第三象限，因此点$(m,n)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 根与系数的关系 2. 象限点坐标特征 3. 一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和平面直角坐标系的基础知识点结合考查，难度较低，熟练掌握韦达定理和各象限点的坐标符号规律即可快速解题，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.85
12. 学科特色 易错题 「2026广东广州海珠月考，★☆」已知关于x的一元二次方程$x^2+(2k+3)x+k^2=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$，则k的值是（
A.3
B.-1
C.3或-1
D.不存在
A
）A.3
B.-1
C.3或-1
D.不存在
答案
12.A 由题意可知 $\Delta=(2k+3)^2-4k^2＞0$,解得 $k＞-\frac{3}{4}$,且 $x_1+x_2=-(2k+3)=-2k-3,x_1x_2=k^2$,
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2k-3}{k^2}=-1$,
整理得 $k^2-2k-3=0$,解得 $k=3$ 或 $k=-1$,
$\because k＞-\frac{3}{4},\therefore k=3$.故选 A.
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2k-3}{k^2}=-1$,
整理得 $k^2-2k-3=0$,解得 $k=3$ 或 $k=-1$,
$\because k＞-\frac{3}{4},\therefore k=3$.故选 A.
解析
【分析】
解决这道题需分三步思考：第一步，题目明确一元二次方程有两个不相等的实数根，因此首先要利用根的判别式Δ＞0求出参数k的取值范围，这是后续计算的前提，避免求出不符合题意的k值；第二步，已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$，先将这个分式通分变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于k的表达式，代入变形后的等式，得到关于k的方程；第三步，解出k的可能值后，结合第一步求出的k的取值范围，舍去不符合要求的解，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+(2k+3)x+k^2=0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta=(2k+3)^2-4×1× k^2＞0$，
展开计算得：$4k^2+12k+9-4k^2＞0$，
化简得$12k+9＞0$，解得$k＞-\frac{3}{4}$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k+3)=-2k-3$，$x_1x_2=k^2$。
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
代入已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得：
$\frac{-2k-3}{k^2}=-1$，
两边同乘$k^2$整理得：$k^2-2k-3=0$，
因式分解得$(k-3)(k+1)=0$，解得$k=3$或$k=-1$。
结合之前求得的k的取值范围$k＞-\frac{3}{4}$，可知$k=-1$不符合要求，舍去，
∴ $k=3$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题是常见易错题，易错点是容易忽略方程有两个不相等实根的前提条件，未用判别式限制k的取值范围，误选C。解决这类结合根与系数关系求参数的题目时，一定要先根据根的情况确定参数的取值范围，最后对求出的参数值进行验证，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
解决这道题需分三步思考：第一步，题目明确一元二次方程有两个不相等的实数根，因此首先要利用根的判别式Δ＞0求出参数k的取值范围，这是后续计算的前提，避免求出不符合题意的k值；第二步，已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$，先将这个分式通分变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于k的表达式，代入变形后的等式，得到关于k的方程；第三步，解出k的可能值后，结合第一步求出的k的取值范围，舍去不符合要求的解，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+(2k+3)x+k^2=0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta=(2k+3)^2-4×1× k^2＞0$，
展开计算得：$4k^2+12k+9-4k^2＞0$，
化简得$12k+9＞0$，解得$k＞-\frac{3}{4}$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k+3)=-2k-3$，$x_1x_2=k^2$。
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
代入已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得：
$\frac{-2k-3}{k^2}=-1$，
两边同乘$k^2$整理得：$k^2-2k-3=0$，
因式分解得$(k-3)(k+1)=0$，解得$k=3$或$k=-1$。
结合之前求得的k的取值范围$k＞-\frac{3}{4}$，可知$k=-1$不符合要求，舍去，
∴ $k=3$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，分式化简
【点评】
本题是常见易错题，易错点是容易忽略方程有两个不相等实根的前提条件，未用判别式限制k的取值范围，误选C。解决这类结合根与系数关系求参数的题目时，一定要先根据根的情况确定参数的取值范围，最后对求出的参数值进行验证，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
13.「2026四川遂宁月考，★☆」在解一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$时，小刚看错了常数项$c$，得到的解为$x_1=3,x_2=4$。小明看错了一次项系数$b$，得到的解为$x_1=1,x_2=2$，则原来的方程为（
A.$x^2 -7x +2=0$
B.$x^2 -7x +14=0$
C.$x^2 +7x +2=0$
D.$x^2 +7x +14=0$
A
）A.$x^2 -7x +2=0$
B.$x^2 -7x +14=0$
C.$x^2 +7x +2=0$
D.$x^2 +7x +14=0$
答案
13.A 根据题意得 $3+4=-b,1×2=c$,解得 $b=-7,c=2$,
$\therefore$ 原来的方程为 $x^2-7x+2=0$.故选 A.
$\therefore$ 原来的方程为 $x^2-7x+2=0$.故选 A.
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：首先明确小刚仅看错常数项$c$，说明他求解时所用的一次项系数$b$是正确的，因此他得到的两根之和符合原方程的根与系数关系；小明仅看错一次项系数$b$，说明他求解时所用的常数项$c$是正确的，因此他得到的两根之积符合原方程的根与系数关系，最后分别代入韦达定理求出$b、c$的值即可得到原方程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$
① 小刚看错常数项$c$，一次项$b$正确，因此他得到的两根之和是正确的：
$3 + 4 = -b$，解得$b = -7$
② 小明看错一次项$b$，常数项$c$正确，因此他得到的两根之积是正确的：
$1×2 = c$，解得$c = 2$
将$b=-7、c=2$代入原方程，可得原方程为$x^2 -7x +2 = 0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某类系数时，另一类系数对应的根的关系不受影响”这一关键点，不需要重新求解方程，通过根的关系即可快速算出未知系数，难度较低，熟练掌握韦达定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：首先明确小刚仅看错常数项$c$，说明他求解时所用的一次项系数$b$是正确的，因此他得到的两根之和符合原方程的根与系数关系；小明仅看错一次项系数$b$，说明他求解时所用的常数项$c$是正确的，因此他得到的两根之积符合原方程的根与系数关系，最后分别代入韦达定理求出$b、c$的值即可得到原方程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$
① 小刚看错常数项$c$，一次项$b$正确，因此他得到的两根之和是正确的：
$3 + 4 = -b$，解得$b = -7$
② 小明看错一次项$b$，常数项$c$正确，因此他得到的两根之积是正确的：
$1×2 = c$，解得$c = 2$
将$b=-7、c=2$代入原方程，可得原方程为$x^2 -7x +2 = 0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某类系数时，另一类系数对应的根的关系不受影响”这一关键点，不需要重新求解方程，通过根的关系即可快速算出未知系数，难度较低，熟练掌握韦达定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
14.「2026河北沧州期中，★☆」如果方程$x^2 - px +1=0$有实数根且它的两根之差是1，那么p值可能为（
A.$-2$
B.$-4$
C.$-\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{5}$
D
）A.$-2$
B.$-4$
C.$-\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{5}$
答案
14.D 设方程 $x^2-px+1=0$ 的两根分别为 $x_1,x_2$,
原方程两根之差是1即 $|x_1-x_2|=1$,则 $(x_1-x_2)^2=1$,
由根与系数的关系得 $x_1+x_2=p,x_1x_2=1$,
$\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=p^2-4=1$,
$\therefore p^2=5,\therefore p=\pm\sqrt{5}$,经检验,均符合题意,结合选项可知 $p$ 值可能为 $-\sqrt{5}$.故选 D.
原方程两根之差是1即 $|x_1-x_2|=1$,则 $(x_1-x_2)^2=1$,
由根与系数的关系得 $x_1+x_2=p,x_1x_2=1$,
$\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=p^2-4=1$,
$\therefore p^2=5,\therefore p=\pm\sqrt{5}$,经检验,均符合题意,结合选项可知 $p$ 值可能为 $-\sqrt{5}$.故选 D.
解析
【分析】
遇到涉及一元二次方程两根关系求参数的问题，可优先用根与系数的关系求解：第一步，先设方程两根为$x_1、x_2$，题目给出两根差为1，直接处理差的正负比较麻烦，因此对差取绝对值后平方得到$(x_1-x_2)^2=1$；第二步，回忆完全平方公式变形，$(x_1-x_2)^2$可转化为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，而$x_1+x_2$和$x_1x_2$可通过根与系数的关系用$p$表示；第三步，代入后建立关于$p$的方程求解，再结合方程有实根的条件验证解的合理性，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：设方程$x^2 - px +1=0$的两根分别为$x_1,x_2$，
由题意两根之差为1，可得$|x_1-x_2|=1$，两边平方得：$(x_1-x_2)^2=1$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，
结合完全平方公式变形得：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入上式得：$p^2 - 4×1=1$，
整理得$p^2=5$，解得$p=\pm\sqrt{5}$，
验证方程有实根的条件：判别式$\Delta = p^2 -4 =5-4=1＞0$，两个$p$值均符合题意，
结合选项可知，$p$值可能为$-\sqrt{5}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是将两根差的条件转化为可用两根和、两根积表示的形式，既避免了直接求根的复杂计算，也能快速建立关于参数的方程，解题时注意不要遗漏方程有实根的验证步骤，最后结合选项筛选答案即可。
【难度系数】
0.7
遇到涉及一元二次方程两根关系求参数的问题，可优先用根与系数的关系求解：第一步，先设方程两根为$x_1、x_2$，题目给出两根差为1，直接处理差的正负比较麻烦，因此对差取绝对值后平方得到$(x_1-x_2)^2=1$；第二步，回忆完全平方公式变形，$(x_1-x_2)^2$可转化为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，而$x_1+x_2$和$x_1x_2$可通过根与系数的关系用$p$表示；第三步，代入后建立关于$p$的方程求解，再结合方程有实根的条件验证解的合理性，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：设方程$x^2 - px +1=0$的两根分别为$x_1,x_2$，
由题意两根之差为1，可得$|x_1-x_2|=1$，两边平方得：$(x_1-x_2)^2=1$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，
结合完全平方公式变形得：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入上式得：$p^2 - 4×1=1$，
整理得$p^2=5$，解得$p=\pm\sqrt{5}$，
验证方程有实根的条件：判别式$\Delta = p^2 -4 =5-4=1＞0$，两个$p$值均符合题意，
结合选项可知，$p$值可能为$-\sqrt{5}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是将两根差的条件转化为可用两根和、两根积表示的形式，既避免了直接求根的复杂计算，也能快速建立关于参数的方程，解题时注意不要遗漏方程有实根的验证步骤，最后结合选项筛选答案即可。
【难度系数】
0.7
15. 学科$\frac{特色}{降次法}$「2025 四川泸州中考，★☆」若一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根为$α,β$，则$2α^2 - 3α + 3β$的值为
10
。答案
15.答案 10
解析 $\because α$ 是方程的根,$\therefore 2α^2-6α-1=0,\therefore 2α^2=6α+1$.$\because$ 方程 $2x^2-6x-1=0$ 的两根为 $α,β$,$\therefore α+β=3$,
$\therefore 2α^2-3α+3β=6α+1-3α+3β=3(α+β)+1=10$.
解析 $\because α$ 是方程的根,$\therefore 2α^2-6α-1=0,\therefore 2α^2=6α+1$.$\because$ 方程 $2x^2-6x-1=0$ 的两根为 $α,β$,$\therefore α+β=3$,
$\therefore 2α^2-3α+3β=6α+1-3α+3β=3(α+β)+1=10$.
解析
【分析】
所求代数式中含有α的二次项，直接求解α、β的具体值计算繁琐，可按以下思路求解：第一步，利用一元二次方程根的定义，将α代入原方程，得到2α²的一次表达式，实现降次；第二步，将降次后的表达式代入所求代数式化简，可得到含α+β的结构；第三步，利用根与系数的关系求出两根之和α+β，整体代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
∴ 将α代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，整理得$2α^2 = 6α + 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根为α、β，
∴ $α+β = \frac{6}{2} = 3$。
将$2α^2 = 6α + 1$代入所求代数式：
$2α^2 - 3α + 3β = 6α + 1 - 3α + 3β = 3α + 3β + 1 = 3(α+β) + 1$，
再将$α+β=3$代入得：$3×3 +1 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；降次法求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，无需计算两根的具体数值，通过降次转化、整体代入即可简化计算，考察了整体思想和知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
所求代数式中含有α的二次项，直接求解α、β的具体值计算繁琐，可按以下思路求解：第一步，利用一元二次方程根的定义，将α代入原方程，得到2α²的一次表达式，实现降次；第二步，将降次后的表达式代入所求代数式化简，可得到含α+β的结构；第三步，利用根与系数的关系求出两根之和α+β，整体代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
∴ 将α代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，整理得$2α^2 = 6α + 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根为α、β，
∴ $α+β = \frac{6}{2} = 3$。
将$2α^2 = 6α + 1$代入所求代数式：
$2α^2 - 3α + 3β = 6α + 1 - 3α + 3β = 3α + 3β + 1 = 3(α+β) + 1$，
再将$α+β=3$代入得：$3×3 +1 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；降次法求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，无需计算两根的具体数值，通过降次转化、整体代入即可简化计算，考察了整体思想和知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
16. 学科特色易错题「★☆」已知关于x的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-m+2=0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$，且$x_1+x_2+x_1x_2=2$，则$m=$
3
。答案
16.答案 3
解析 $\because$ 该方程有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta=(2m)^2-4(m^2-m+2)=4m-8＞0,\therefore m＞2$,
由根与系数的关系得 $x_1+x_2+x_1x_2=-2m+m^2-m+2=2$,
$\therefore m^2-3m=0$,解得 $m_1=0$(舍去),$m_2=3$.
故答案为 3.
解析 $\because$ 该方程有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta=(2m)^2-4(m^2-m+2)=4m-8＞0,\therefore m＞2$,
由根与系数的关系得 $x_1+x_2+x_1x_2=-2m+m^2-m+2=2$,
$\therefore m^2-3m=0$,解得 $m_1=0$(舍去),$m_2=3$.
故答案为 3.
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步，由一元二次方程有两个不相等实数根的条件，结合根的判别式Δ＞0求出m的取值范围；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理），写出x₁+x₂和x₁x₂关于m的表达式，代入题干给出的等量关系列方程求解m的可能值；第三步，结合第一步得到的m的取值范围，对求出的m值进行取舍，排除不符合条件的解，得到最终结果。
【解析】
∵ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2-m+2)＞0$，
计算化简得：$4m-8＞0$，解得$m＞2$。
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-2m$，$x_1x_2=m^2-m+2$，
代入$x_1+x_2+x_1x_2=2$得：
$-2m+m^2-m+2=2$，
整理得$m^2-3m=0$，因式分解为$m(m-3)=0$，
解得$m_1=0$，$m_2=3$。
结合$m＞2$的限制条件，$m=0$不符合要求，舍去，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
根的判别式，韦达定理，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的综合易错题，易错点为容易忽略方程有两个不相等实数根的前提，未对求出的参数值进行取舍，导致出现增根错误。
【难度系数】
0.6
解决本题需分三步思考：第一步，由一元二次方程有两个不相等实数根的条件，结合根的判别式Δ＞0求出m的取值范围；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理），写出x₁+x₂和x₁x₂关于m的表达式，代入题干给出的等量关系列方程求解m的可能值；第三步，结合第一步得到的m的取值范围，对求出的m值进行取舍，排除不符合条件的解，得到最终结果。
【解析】
∵ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2-m+2)＞0$，
计算化简得：$4m-8＞0$，解得$m＞2$。
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-2m$，$x_1x_2=m^2-m+2$，
代入$x_1+x_2+x_1x_2=2$得：
$-2m+m^2-m+2=2$，
整理得$m^2-3m=0$，因式分解为$m(m-3)=0$，
解得$m_1=0$，$m_2=3$。
结合$m＞2$的限制条件，$m=0$不符合要求，舍去，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
根的判别式，韦达定理，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的综合易错题，易错点为容易忽略方程有两个不相等实数根的前提，未对求出的参数值进行取舍，导致出现增根错误。
【难度系数】
0.6
17.「2025江苏宿迁中考，★☆」方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，则$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)=\_\_\_\_\_\_$
答案
17.答案 -4 048
解析 $\because$ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m,n$,$\therefore m^2-2024m-2025=0,n^2-2024n-2025=0$,
$m+n=2024,mn=-2025$,
$\therefore m^2=2024m+2025,n^2=2024n+2025$,
$\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$,故答案为-4 048.
解析 $\because$ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m,n$,$\therefore m^2-2024m-2025=0,n^2-2024n-2025=0$,
$m+n=2024,mn=-2025$,
$\therefore m^2=2024m+2025,n^2=2024n+2025$,
$\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$,故答案为-4 048.
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两根为m、n，要求含m、n的代数式的值，解题思路如下：首先根据一元二次方程根的定义，将m、n代入原方程，得到m²、n²关于m、n的一次表达式，实现降次；再将m²、n²的表达式代入所求代数式，化简得到含m+n和mn的形式；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n和mn的值，整体代入化简后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，可大幅简化计算。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2024$，$mn=-2025$，
∴ 变形得$m^2=2024m+2025$，$n^2=2024n+2025$，
将上述式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - m - n + 1\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m+n=2024$，$mn=-2025$代入得：
原式$=-2025 - 2024 + 1 = -4048$。
【答案】
-4048
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的定义和韦达定理的结合应用，解题关键是利用根的定义对高次代数式降次，避免直接求根的繁琐计算，掌握整体代入思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程的两根为m、n，要求含m、n的代数式的值，解题思路如下：首先根据一元二次方程根的定义，将m、n代入原方程，得到m²、n²关于m、n的一次表达式，实现降次；再将m²、n²的表达式代入所求代数式，化简得到含m+n和mn的形式；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n和mn的值，整体代入化简后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，可大幅简化计算。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2024$，$mn=-2025$，
∴ 变形得$m^2=2024m+2025$，$n^2=2024n+2025$，
将上述式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - m - n + 1\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m+n=2024$，$mn=-2025$代入得：
原式$=-2025 - 2024 + 1 = -4048$。
【答案】
-4048
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的定义和韦达定理的结合应用，解题关键是利用根的定义对高次代数式降次，避免直接求根的繁琐计算，掌握整体代入思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
18. 核心素养抽象能力「2026湖北襄阳月考」已知实数$a,b$满足$a^2 - 3a + 2 = 0$, $b^2 - 3b + 2 = 0$, 则$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$的值为
$2或\frac{5}{2}$
.答案
18.答案 $2 或 \frac{5}{2}$
解析 ①当 $a=b$ 时,原式 $=1+1=2$;
②当 $a\ne b$ 时,构造方程 $x^2-3x+2=0,\Delta=1＞0$,
则 $a,b$ 可看作方程 $x^2-3x+2=0$ 的两根,此时 $a+b=3$,
$ab=2$,$\therefore$ 原式 $=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{5}{2}$.
综上所述,$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值为 2 或 $\frac{5}{2}$.
解析 ①当 $a=b$ 时,原式 $=1+1=2$;
②当 $a\ne b$ 时,构造方程 $x^2-3x+2=0,\Delta=1＞0$,
则 $a,b$ 可看作方程 $x^2-3x+2=0$ 的两根,此时 $a+b=3$,
$ab=2$,$\therefore$ 原式 $=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{5}{2}$.
综上所述,$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值为 2 或 $\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
首先观察已知条件，a和b满足同一个一元二次方程，且题干未说明a≠b，因此需要分两种情况讨论：①当a=b时，可直接代入所求代数式计算；②当a≠b时，可将a、b看作一元二次方程$x^2-3x+2=0$的两个不等实根，利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，再将所求代数式$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$通分变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，代入计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
①当$a = b$时，$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = 1 + 1 = 2$；
②当$a ≠ b$时，由题意可知，a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个实数根，
该方程的判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×2 = 1 ＞ 0$，符合题意，
根据根与系数的关系可得：$a + b = 3$，$ab = 2$，
对所求代数式变形：$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab} = \dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$，
将$a+b=3$，$ab=2$代入得：原式$=\dfrac{3^2 - 2×2}{2} = \dfrac{9 - 4}{2} = \dfrac{5}{2}$。
综上所述，$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$的值为2或$\dfrac{5}{2}$。
【答案】
2或$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分类讨论思想 3. 分式化简
【点评】
本题易错点是忽略$a=b$的情况，直接默认a、b为方程的两个不等实根导致漏解，解题时要注意审题，若题干未明确两个数不相等，需分类讨论；同时要熟练掌握分式的恒等变形，以及根与系数关系的应用条件。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，a和b满足同一个一元二次方程，且题干未说明a≠b，因此需要分两种情况讨论：①当a=b时，可直接代入所求代数式计算；②当a≠b时，可将a、b看作一元二次方程$x^2-3x+2=0$的两个不等实根，利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，再将所求代数式$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$通分变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，代入计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
①当$a = b$时，$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = 1 + 1 = 2$；
②当$a ≠ b$时，由题意可知，a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个实数根，
该方程的判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×2 = 1 ＞ 0$，符合题意，
根据根与系数的关系可得：$a + b = 3$，$ab = 2$，
对所求代数式变形：$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab} = \dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$，
将$a+b=3$，$ab=2$代入得：原式$=\dfrac{3^2 - 2×2}{2} = \dfrac{9 - 4}{2} = \dfrac{5}{2}$。
综上所述，$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$的值为2或$\dfrac{5}{2}$。
【答案】
2或$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分类讨论思想 3. 分式化简
【点评】
本题易错点是忽略$a=b$的情况，直接默认a、b为方程的两个不等实根导致漏解，解题时要注意审题，若题干未明确两个数不相等，需分类讨论；同时要熟练掌握分式的恒等变形，以及根与系数关系的应用条件。
【难度系数】
0.6
19. 核心 素养 运算能力 「2026江苏无锡期中改编」定义:已知$x_1$，$x_2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，若$x_1＜x_2＜0$，且$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$，则称这个方程为“特根方程”.请解答下列问题：
(1)方程$x^2+9x+14=0$
(2)若关于$x$的一元二次方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$是“特根方程”，且方程的两根$x_1$，$x_2$满足$x_1+x_2+x_1x_2=-1$，求$k$的值.
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2-m)x-2m=0$是“特根方程”，求整数$m$的值.
(1)方程$x^2+9x+14=0$
是
(填“是”或“不是”)“特根方程”.(2)若关于$x$的一元二次方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$是“特根方程”，且方程的两根$x_1$，$x_2$满足$x_1+x_2+x_1x_2=-1$，求$k$的值.
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2-m)x-2m=0$是“特根方程”，求整数$m$的值.
答案
19.解析 (1)解方程 $x^2+9x+14=0$ 得 $x_1=-7,x_2=-2$,
满足 $x_1＜x_2＜0$,且 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{7}{2}$,符合 $3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$,故答案为是.
(2)由一元二次方程 $2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$ 可得 $x_1+x_2=-\frac{k+7}{2},x_1x_2=\frac{k^2+3}{2}$,
由 $x_1+x_2+x_1x_2=-1$ 得 $-\frac{k+7}{2}+\frac{k^2+3}{2}=-1$,整理得 $k^2-k-2=0$,解得 $k_1=2,k_2=-1$.
当 $k=2$ 时,方程为 $2x^2+9x+7=0$,解得 $x_1=-3.5,x_2=-1$,满足定义;
当 $k=-1$ 时,方程为 $2x^2+6x+4=0$,解得 $x_1=-2,x_2=-1$,则 $\frac{x_1}{x_2}=2$,不满足定义,故舍去.综上所述,$k=2$.
(3)已知方程 $x^2+(2-m)x-2m=0$,
因式分解得 $(x+2)(x-m)=0$,解得 $x=m$ 或 $-2$,
$\because x_1＜x_2＜0$,$\therefore m＜0$.
令 $r=\frac{x_1}{x_2}$,当 $-2＜m＜0$ 时,$r=\frac{-2}{m}$,
则 $3＜\frac{-2}{m}＜4$,解得 $-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$,无符合条件的整数 $m$;
当 $m＜-2$ 时,$r=-\frac{m}{2}$,
则 $3＜-\frac{m}{2}＜4$,解得 $-8＜m＜-6$,则整数 $m$ 的值为-7.
综上所述,整数 $m$ 的值为-7.
满足 $x_1＜x_2＜0$,且 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{7}{2}$,符合 $3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$,故答案为是.
(2)由一元二次方程 $2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$ 可得 $x_1+x_2=-\frac{k+7}{2},x_1x_2=\frac{k^2+3}{2}$,
由 $x_1+x_2+x_1x_2=-1$ 得 $-\frac{k+7}{2}+\frac{k^2+3}{2}=-1$,整理得 $k^2-k-2=0$,解得 $k_1=2,k_2=-1$.
当 $k=2$ 时,方程为 $2x^2+9x+7=0$,解得 $x_1=-3.5,x_2=-1$,满足定义;
当 $k=-1$ 时,方程为 $2x^2+6x+4=0$,解得 $x_1=-2,x_2=-1$,则 $\frac{x_1}{x_2}=2$,不满足定义,故舍去.综上所述,$k=2$.
(3)已知方程 $x^2+(2-m)x-2m=0$,
因式分解得 $(x+2)(x-m)=0$,解得 $x=m$ 或 $-2$,
$\because x_1＜x_2＜0$,$\therefore m＜0$.
令 $r=\frac{x_1}{x_2}$,当 $-2＜m＜0$ 时,$r=\frac{-2}{m}$,
则 $3＜\frac{-2}{m}＜4$,解得 $-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$,无符合条件的整数 $m$;
当 $m＜-2$ 时,$r=-\frac{m}{2}$,
则 $3＜-\frac{m}{2}＜4$,解得 $-8＜m＜-6$,则整数 $m$ 的值为-7.
综上所述,整数 $m$ 的值为-7.
解析
【分析】
本题是基于“特根方程”的新定义题型，解题核心是先准确理解定义：一元二次方程两个实根满足$x_1＜x_2＜0$，且$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$。各小问解题思路如下：(1)先求解方程得到两个根，直接对照定义验证即可判断；(2)先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积，代入已知等式$x_1+x_2+x_1x_2=-1$求出$k$的可能值，再分别代入方程求根，验证是否符合“特根方程”定义，舍去不符合的解；(3)先通过因式分解求解方程的两个根，结合两根均为负数先确定$m$的大致范围，再分情况讨论两个根哪个是$x_1$、哪个是$x_2$，根据比值的范围列不等式组求解，找出符合条件的整数$m$。
【解析】
(1) 解方程$x^2+9x+14=0$，因式分解得$(x+2)(x+7)=0$，解得$x_1=-7,x_2=-2$。
满足$x_1＜x_2＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}=3.5$，符合$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$的要求。
(2) 对于一元二次方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{k+7}{2}$，$x_1x_2=\frac{k^2+3}{2}$。
代入$x_1+x_2+x_1x_2=-1$得：
$-\frac{k+7}{2}+\frac{k^2+3}{2}=-1$
两边同乘2整理得$k^2-k-2=0$，因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k_1=2,k_2=-1$。
①当$k=2$时，方程为$2x^2+9x+7=0$，解得$x_1=-3.5,x_2=-1$，满足$x_1＜x_2＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=3.5$，符合定义；
②当$k=-1$时，方程为$2x^2+6x+4=0$，化简得$x^2+3x+2=0$，解得$x_1=-2,x_2=-1$，此时$\frac{x_1}{x_2}=2$，不满足$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$，故舍去。
(3) 解方程$x^2+(2-m)x-2m=0$，因式分解得$(x+2)(x-m)=0$，解得$x=-2$或$x=m$。
由“特根方程”定义知$x_1＜x_2＜0$，因此两个根均为负数，故$m＜0$，分两种情况讨论：
①当$-2＜m＜0$时，$x_1=-2$，$x_2=m$，则$\frac{x_1}{x_2}=\frac{-2}{m}$，由$3＜\frac{-2}{m}＜4$，解得$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$，此范围内无整数$m$；
②当$m＜-2$时，$x_1=m$，$x_2=-2$，则$\frac{x_1}{x_2}=\frac{m}{-2}$，由$3＜\frac{-m}{2}＜4$，解得$-8＜m＜-6$，此范围内的整数$m$为$-7$。
【答案】
(1) 是；(2) $k=2$；(3) 整数$m$的值为$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法 2. 根与系数的关系 3. 不等式组求解
【点评】
本题为新定义类综合题，结合了一元二次方程的核心知识点，既考查基础运算能力，也渗透分类讨论的数学思想，解题时要注意求出参数后需返回验证是否符合新定义的要求，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
本题是基于“特根方程”的新定义题型，解题核心是先准确理解定义：一元二次方程两个实根满足$x_1＜x_2＜0$，且$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$。各小问解题思路如下：(1)先求解方程得到两个根，直接对照定义验证即可判断；(2)先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积，代入已知等式$x_1+x_2+x_1x_2=-1$求出$k$的可能值，再分别代入方程求根，验证是否符合“特根方程”定义，舍去不符合的解；(3)先通过因式分解求解方程的两个根，结合两根均为负数先确定$m$的大致范围，再分情况讨论两个根哪个是$x_1$、哪个是$x_2$，根据比值的范围列不等式组求解，找出符合条件的整数$m$。
【解析】
(1) 解方程$x^2+9x+14=0$，因式分解得$(x+2)(x+7)=0$，解得$x_1=-7,x_2=-2$。
满足$x_1＜x_2＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}=3.5$，符合$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$的要求。
(2) 对于一元二次方程$2x^2+(k+7)x+k^2+3=0$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{k+7}{2}$，$x_1x_2=\frac{k^2+3}{2}$。
代入$x_1+x_2+x_1x_2=-1$得：
$-\frac{k+7}{2}+\frac{k^2+3}{2}=-1$
两边同乘2整理得$k^2-k-2=0$，因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k_1=2,k_2=-1$。
①当$k=2$时，方程为$2x^2+9x+7=0$，解得$x_1=-3.5,x_2=-1$，满足$x_1＜x_2＜0$，且$\frac{x_1}{x_2}=3.5$，符合定义；
②当$k=-1$时，方程为$2x^2+6x+4=0$，化简得$x^2+3x+2=0$，解得$x_1=-2,x_2=-1$，此时$\frac{x_1}{x_2}=2$，不满足$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$，故舍去。
(3) 解方程$x^2+(2-m)x-2m=0$，因式分解得$(x+2)(x-m)=0$，解得$x=-2$或$x=m$。
由“特根方程”定义知$x_1＜x_2＜0$，因此两个根均为负数，故$m＜0$，分两种情况讨论：
①当$-2＜m＜0$时，$x_1=-2$，$x_2=m$，则$\frac{x_1}{x_2}=\frac{-2}{m}$，由$3＜\frac{-2}{m}＜4$，解得$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$，此范围内无整数$m$；
②当$m＜-2$时，$x_1=m$，$x_2=-2$，则$\frac{x_1}{x_2}=\frac{m}{-2}$，由$3＜\frac{-m}{2}＜4$，解得$-8＜m＜-6$，此范围内的整数$m$为$-7$。
【答案】
(1) 是；(2) $k=2$；(3) 整数$m$的值为$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法 2. 根与系数的关系 3. 不等式组求解
【点评】
本题为新定义类综合题，结合了一元二次方程的核心知识点，既考查基础运算能力，也渗透分类讨论的数学思想，解题时要注意求出参数后需返回验证是否符合新定义的要求，避免产生增解。
【难度系数】
0.6
